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Aufgabe 3B

Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Terrasse,

die von zwei Hauswänden und einer Rasenfläche begrenzt wird.

Ebenfalls dargestellt ist ein ausfahrbares

Sonnendach, im Folgenden als Markise

bezeichnet.

Der horizontale Boden, zu dem die Terrasse und die Rasenfläche gehören, wird im abgebildeten Koordinatensystem durch die x1x2-Ebene dargestellt.

Die Terrasse wird durch das Fünfeck mit den Eckpunkten A(0|0|0), B(3|0|0), C(3|3|0), D(2|5|0) und E(0|5|0) beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei 1m in der Realität.

Bild
  1. Bestimmen Sie die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten sowie

    den Flächeninhalt der Terrasse. [6 BE]

  2. Die Befestigung der Markise an der Hauswand 2 hat die Endpunkte P(0|5|2,3) und

    Q(0|0|2,3).

    Ist die Markise vollständig ausgefahren, sind ihre weiteren Eckpunkte R(2,4|0|1,9) und S(2,4|5|1,9). Die Markise ist rechteckig und liegt im Modell in der Ebene M mit der Gleichung x1+6x3=13,8.

    Das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Terrasse einfallende Sonnenlicht wird durch

    parallele Geraden mit dem Richtungsvektor (0,9202) beschrieben.

    Untersuchen Sie, ob zu diesem Zeitpunkt bei vollständig ausgefahrener Markise mehr als die Hälfte der Terrassenfläche im Schatten liegt. [7 BE]

  3. Abbildung 2 zeigt die Oberseite der Markise mit ihren beiden gestrichelt dargestellten Gelenkarmen. Der rechte Gelenkarm besteht aus der oberen Stange PGk, einem Gelenk im Punkt Gk und einer unteren Stange GkSk.

    Die obere und die untere Stange

    sind gleich lang. Beim Ausfahren der Markise verändern sich die Positionen der Punkte Gk und Sk.

    Die obere Stange wird beschrieben durch ok:x=(052,3)+λ(2,4k0,80,4k)mit λ und 0,04k1.

    Je größer k ist, desto weiter ist die Markise ausgefahren. Für k=1 ist sie vollständig

    ausgefahren und für k=0,04 ist sie vollständig eingefahren.

    Zeigen Sie, dass alle Geraden ok in der Ebene M mit x1+6x3=13,8 liegen. [4 BE]

    Abbildung 2

    Abbildung 2

  4. Die folgende Rechnung liefert die Größen zweier Winkel:

    cos(α)=|(010)(2,40,80,4)||(010)||(2,40,80,4)| liefert α71,8 und damit β=2α143,6.

    Geben Sie die Bedeutung von α und β im Sachzusammenhang an. [3 BE]

  5. Sowohl die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms sind 1,28m lang.

    Bestimmen Sie die Koordinaten von Gk für k=0,5. [5 BE]