Abiturprüfungen Mathe eA mit Lösungen

1

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_a(x) =\frac{1}{a^3}x^3 −\frac1ax^2 + x$ und $a\in\mathbb{R}^+$ .

Skizzieren Sie den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1.
Geben Sie die Extrempunkte von $f_{4}$ an. [5BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1
$f_4(x)=\dfrac{1}{64}x^3-\dfrac{1}{4}x^2+x$
Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an
$\text{Löse}(f_4'(x)=0)$ mit den beiden Lösungen $x=\dfrac{8}{3}$ und $x = 8$ .
$f_4(8)=0\;\Rightarrow\;TP(8|0)$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(8 ∣ 0)$ .
$f_4(\frac{8}{3})=\dfrac{32}{27}\approx1{,}2\;\Rightarrow\;HP\left(\frac{8}{3}|\frac{32}{27}\right)$
Der Hochpunkt hat etwa die Koordinaten $(2,7 ∣ 1,2)$ .
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Teil 1
Skizziere den Graphen von $f_{4} (x)$ .
Teil 2
$\text{Löse}(f'(x)=0)$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
Berechne $f_{4} (x_{1})$ und $f_{4} (x_{2})$ .
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt.
[5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$
$f_{1}(x)=x^3-x^2+x$
$\text{Löse}(f_1(x)=f_4(x))$ :
Man erhält die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_2=\dfrac{16}{21}\approx0{,}76$ .
$f_{1} (0) = f_{4} (0) = 0$ und $f_1\left(\dfrac{16}{21}\right)=f_4\left(\dfrac{16}{21}\right)\approx0{,}62$
$\Rightarrow\;P_1(0|0)$ und $P_2(0{,}76|0{,}62)$
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ sind $(0 ∣ 0)$ und etwa $(0,76 ∣ 0,62)$ .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt
Es gilt unabhängig von $a$ :
$f_{a} (0) = 0$
Betrachte z.B. die Funktion $f_3(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+x$ und berechne $f_3(\frac{16}{21})$ : $f_3(\frac{16}{21})\approx 0{,}58\neq f_4(\frac{16}{21})\approx0{,}62$
Demnach gibt es nur den Punkt $(0 ∣ 0)$ der auf allen Graphen der Funktionenschar liegt.
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Teil 1
$\text{Löse}(f_1(x)=f_4(x))$ $\;\Rightarrow\;$ $x_{1}$ und $x_{2}$
Berechne $f_{1} (x_{1})$ und $f_1(x_2)\;\Rightarrow\;P_1(x_1|f_1(x_1))$ und $P_{1} (x_{2} ∣ f_{1} (x_{2}))$
Teil 2
Welcher Funktionswert ist unabhängig von $a$ ?
Betrachte z.B. die Funktion $f_{3} (x)$ . Berechne $f_{3} (x_{2})$ und vergleiche mit $f_{4} (x_{2})$ .
Die Gleichung $f_{a} (x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\frac{a^2−\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ und $0$ und $\frac{a^2+\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme
Es gilt: $a\in\mathbb{R}^+$
Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot(a-4)$ in den beiden Termen $\frac{a^2\pm\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ .
Für $a > 4$ ist $D>0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $3$ Nullstellen.
Für $a = 4$ ist $D=0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $2$ Nullstellen.
Für $a < 4$ ist $D<0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $1$ Nullstelle.
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Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot(a-4)$
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac {a^2}{3}|y_a)$ .
Bestimmen Sie den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac {a^2}{3}|y_a)$ .
$\Rightarrow\;x_{WP}=\dfrac{a^2}{3}$
Berechne $f_a(\frac{a^2}{3})$ :
Es ist $f_a(\frac{a^2}{3})=f(a)=-\dfrac{2}{27}\cdot a^3+\dfrac{1}{3}\cdot a^2$ .
$f^{'} (a) = 0$ liefert die Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$ .
$f''(3)=-\dfrac{18}{27}<0\;\Rightarrow\;$ Der Term $f_a(\frac{a^2}{3})$ ist für $a = 3$ maximal.
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Berechne $f_a(\frac{a^2}{3})$ und finde das Maximum von $f_a(\frac{a^2}{3})=f(a)$ .
Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U 1$ und $U 2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \le t \le 30$ durch die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$ und $w(t) =\frac{1}{216}t^3 −\dfrac{1}{6}t^2 + t$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v (t)$ ist die
Geschwindigkeit von $U 1$ in Meter pro Minute und $w (t)$ ist die Geschwindigkeit von $U 2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und
interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
Die Gleichung $v^{'} (t) = 0$ hat die beiden Lösungen $x_1\approx 2{,}228$ und $x_2\approx14{,}021$ .
Wegen $v^{''} (14,021) > 0$ liegt bei $x_{2}$ ein Tiefpunkt vor.
Es ist $v(14{,}021)\approx-6{,}334\;\Rightarrow\;TP(14|-6{,}3)$
Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ sind etwa $(14 ∣ - 6,3)$ .
Interpretiere die Werte im Sachkontext
Etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die größte Sinkgeschwindigkeit von $U 1$ etwa $6{,}3 \;\dfrac{\text{m}}{\text{min}}$ .
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Löse die Gleichung $v'(t)=0\;\Rightarrow\;t_1$ und $t_{2}$ .
Überprüfe mit $v''(t_{1})>0$ oder $v^{''} (t_{2}) > 0$ an welcher Stelle $t_{P}$ sich der Tiefpunkt befindet.
Berechne $v (t_{P})$ $\;\Rightarrow\;TP(t_P|v(t_P))$
Zu der Zeit $t_{P}$ nach Beobachtungsbeginn hat $U 1$ die größte Sinkgeschwindigkeit.
Mit $v^{'}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten
Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die momentane Änderungsrate - Ganz mathematisch!
Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum
Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U 1$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate
der Geschwindigkeit von $U 1$ positiv. Also sinkt $U 1$ in diesem Zeitraum immer
langsamer.
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Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ ?
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche
des Sees $10$ Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Integral
Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$
Betrachte den Term $4 t - 25$ .
Für $t>\dfrac{25}{4}=6{,}25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
$U 1$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand
zur Wasseroberfläche.
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
Der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31{,}7\;\text{m}$ .
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Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist.
Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U 1$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
Zu Beobachtungsbeginn: $10+\displaystyle\int_0^{t_x}v(t)\;\mathrm{d}t$
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ und steigt langsamer als $U_{1}$ .
Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander.
Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H (t_{H} ∣ y_{H})$ .
Erläutern Sie, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln
kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann
Bei der t-Koordinate $t_{s}$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w (t) < v (t)$ zu $v (t) < w (t)$ . Somit
nimmt der vertikale Abstand von $U 1$ und $U 2$ bis zum Zeitpunkt $t_{s}$ zu und danach
wieder ab. Folglich ist $t_{H} = t_{s}$ .
Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .
$\Rightarrow\;y_H = 5 + \displaystyle\int_0^{t_s}(v(t)-w(t))\;\mathrm{d}t$
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Innerhalb der ersten Minuten gibt es einen Schnittpunkt der Graphen von $v$ und $w$ .
Was passiert zu diesem Zeitpunkt?
Beachte: $U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .

2

Aufgabe 1B

Die zeitliche Entwicklung der Blutalkoholkonzentration (BAK) kann für eine bestimmte

Person nach dem Verzehr von zwei Gläsern Wein durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$

mit $f(t)= 1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$ beschrieben werden. Dabei gibt $f$ die Zeit nach dem

Trinken in Stunden an und $f (t)$ die BAK in Gramm pro Kilogramm $\left(\frac{\text{g}}{\text{kg}}\right)$ . Es soll vereinfacht

davon ausgegangen werden, dass die gesamte Menge Wein auf einmal konsumiert wird.

Geben Sie die Nullstellen von $f$ an.
Begründen Sie, dass das Intervall $[0; 7,2]$ eine angemessene Einschränkung des
Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Gib die Nullstellen von $f$ an
$f(t)= 1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$
$\text{Löse}(f(t)=0,t)$ mit den beiden Lösungen $t_{1} = 0$ und $t_2\approx7{,}2$ .
Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $7,2$ .
Begründe, dass das Intervall $[0; 7,2]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist
Da die BAK nur positive Werte hat, sollte der Definitionsbereich auf das Intervall
zwischen den Nullstellen eingeschränkt werden $\;\Rightarrow\;[0; 7{,}2]$ .
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Teil 1
$\text{Löse}(f(t)=0,t)$
Teil 2
Beachte, dass die BAK nur positive Werte hat.
Berechnen Sie die maximale BAK der betrachteten Person.
Bei einer BAK von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ oder mehr darf die Person in Deutschland kein Auto mehr fahren.
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Berechne die maximale BAK der betrachteten Person
$\text{Löse}(f'(t)=0,t)$ mit der Lösung $t=\ln\left(\dfrac{1081}{150}\right)$ .
Berechne $f\left(\dfrac{1081}{150}\right)$ :
$f\left(\dfrac{1081}{150}\right) \approx 0{,}63$
Die maximale BAK beträgt demnach etwa $0{,}63\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf
Es soll $f(t)\geq 0{,}5$ sein:
$\text{Löse}(f(t)=0.5,t)$ mit den beiden Lösungen $t_1\approx 0{,}88$ und $t_2 \approx 3{,}69$ .
Im Zeitraum von etwa $0,88$ Stunden bis $3,69$ Stunden nach dem Trinken darf die Person kein Auto fahren.
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Teil 1
$\text{Löse}(f'(t)=0,t)\;\Rightarrow\;t_1$
Berechne $f (t_{1})$ .
Teil 2
$\text{Löse}(f(t)=0.5,t)$ $\;\Rightarrow\;$ $t_{1}$ und $t_{2}$ .
Mit Hilfe einer linearen Funktion können Näherungswerte für die BAK berechnet werden.
Für jede Person ergibt sich je nach individuellen Eigenschaften und konsumierter
Alkoholmenge eine andere lineare Funktion.
Der y-Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet.
Für die betrachtete Person wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(t) = 1{,}081 − 0{,}15\cdot t$ verwendet. Dabei beschreibt $t$ die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $h (t)$ Näherungswerte der BAK in $\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Zeigen Sie, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt.
Zur Bestimmung der linearen Funktion für eine zweite Person werden zwei Messungen durchgeführt: $4$ Stunden nach dem Verzehr beträgt die BAK $0{,}48\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ und weitere $30$ Minuten später $0{,}39\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Berechnen Sie damit die theoretische maximale BAK der zweiten Person. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt
Der y-Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet. Der y-Achsenabschnitt $\left(h(0)\right)$ der Funktion $h$ ist $1,081$ .
Demnach ist $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person.
Berechne die theoretische maximale BAK der zweiten Person
Die lineare Funktion der zweiten Person ist $g(t)=m\cdot t+b$ .
Gegeben ist $g (4) = 0,48$ und $g (4,5) = 0,39$ :
Dann folgt für die Steigung $m=\dfrac{0{,}39-0{,}48}{4{,}5-4}=-\dfrac{0{,}09}{0{,}5}=-0{,}18$
Setze die Koordinaten des Punktes $(4 ∣ 0,48)$ in $g(t)=-0{,}18\cdot t+b$ ein:
$0{,}48=-0{,}18\cdot 4+b\;\Rightarrow\;b=0{,}48+0{,}72=1{,}2$
Die theoretische maximale BAK der zweiten Person ist $1{,}2\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
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Teil 1
Lies den y-Achsenabschnitt der Funktion $h$ ab.
Teil 2
Die lineare Funktion der zweiten Person ist $g(t)=m\cdot t+b$ .
Bestimme mit den zwei gegebenen Messungen $m$ und $b$ .
$b$ ist die theoretische maximale BAK der zweiten Person.
Begründen Sie mit Hilfe des Terms von $f$ , dass die Werte der BAK der ersten
betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale
BAK. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen
Begründe mit Hilfe des Terms von $f$ , dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK
$1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ ist die theoretische maximale BAK für die 1. Person.
Es wird behauptet, dass $1{,}081>1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$ :
Es gilt für $t\geq 0$ :
$\underbrace{\underbrace{1{,}081\cdot(\underbrace{1−\underbrace{e^{−t}}_{>0}}_{<1}}_{<1{,}081})−0{,}15\cdot t}_{<1{,}081}$
Die Behauptung stimmt. $\Rightarrow\; 1{,}081>1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t$
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Untersuche den Term $1-e^{-t}$ auf seine Größe und schließe dann auf den gesamten Ausdruck.
Zeigen Sie, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung
$f'(t) = k\cdot (G − (f(t) + m\cdot t)) − m$
mit $k = 1$ , $G = 1,081$ und $m = 0,15$ ist. [4 BE]
Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist
$f(t)=1{,}081\cdot(1−e^{−t})−0{,}15\cdot t=1{,}081-1{,}081\cdot e^{-t}-0{,}15\cdot t$
Bilde die 1. Ableitung von $f (t)$ :
$f'(t)=1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15$
Setze $k = 1$ , $G = 1,081$ , $m = 0,15$ , $f^{'} (t)$ und $f (t)$ in die DGL ein:
$1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15 = 1\cdot (1{,}081 − (1{,}081-1{,}081\cdot e^{-t}-0{,}15\cdot t + 0{,}15\cdot t)) − 0{,}15$
Löse die Klammer auf:
$1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15 = 1\cdot (1{,}081 − 1{,}081+1{,}081\cdot e^{-t}+0{,}15\cdot t - 0{,}15\cdot t) − 0{,}15$
Fasse zusammen:
$1{,}081 \cdot e^{-t}-0{,}15 = 1{,}081\cdot e^{-t} − 0{,}15$
Du hast eine Gleichung erhalten, die für alle $t\in \mathbb{R}$ eine wahre Aussage ist.
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Bilde die 1. Ableitung von $f (t)$ .
Setze $k = 1$ , $G = 1,081$ , $m = 0,15$ , $f^{'} (t)$ und $f (t)$ in die Differenzialgleichung ein und vereinfache.
Für verschiedene Personen ergeben sich individuelle zeitliche Verläufe der BAK.
Für $0 < m < 1,081$ werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{m}$ mit
$f_m(t) = 1{,}081 \cdot (1 −e^{−t}) − m \cdot t$ betrachtet.
$t$ beschreibt die Zeit nach dem Trinken in Stunden und $f_{m} (t)$ die BAK in $\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ .
Bestimmen Sie alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet
Gesucht ist eine Extremstelle von $f_{m} (t)$ .
Berechne $f_{m}^{'} (t) = 0$ :
Du erhältst die Lösung $t_E=\ln\left(\dfrac{1081}{1000m}\right)$
Weiterhin gilt: $f^{''} (t_{e}) = - m < 0$ , d.h. hier liegt ein lokales Maximum vor.
Gefordert ist nun:
$f_m(t_E)=0{,}5$ .
Man erhält die beiden Lösungen $m_1\approx0{,}22682...$ und $m_2\approx2{,}27659...$ .
Mit $f_m(t_E)<0{,}5$ für $m_{1} < m < m_{2}$ ergeben sich die gesuchten Werte $m$ zu $m_1 < m < 1{,}081$ .
Anmerkung: $0 < m < 1,081$ ist in der Aufgabe vorgegeben.
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Gesucht ist eine Extremstelle von $f_{m} (t)$ . Berechne $f_{m}^{'} (t) = 0$ $\;\Rightarrow\;t_1$
Prüfe $f^{''} (t_{1})$ .
Gefordert ist nun $f_m(t_E)=0{,}5$ $\;\Rightarrow\;m_1$ und $m_{2}$
Beachte: $0 < m < 1,081$ ist in der Aufgabe vorgegeben.
Unabhängig vom Sachkontext wird für $a > 0$ die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $p_{a}$ betrachtet mit $p_a(x) = 2 \cdot(1 − e^{−ax}) −\frac15 \cdot x$ .
Zeigen Sie, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle
$x = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ hat.
Begründen Sie, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ hat.
Die möglichen Extremstellen der Schar ergeben sich mit dem Ansatz $p_a{'} (x) = 0$ .
Dies führt zur Lösung:
$x_1=\dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$
Mit $p_a{''}(x_1)=-\dfrac{a}{5}<0$ , für $a > 0$ ⁣ folgt dann die Aussage.
Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden
Betrachte eine neue Funktion $q(a)=\dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ .
Die möglichen Extremstellen der Funktion $q$ ergeben sich mit dem Ansatz $q^{'} (a) = 0$ .
Dies führt auf die einzige Lösung: $a=\dfrac{e}{10}$
Weiterhin gilt:
$q{''}\left(\dfrac{e}{10}\right)=-\dfrac{1000}{e^3}<0$
An der Stelle $a=\dfrac{e}{10}$ liegt ein Maximum vor.
Für $a>\dfrac{e}{10}$ werden deshalb die x-Koordinaten der Hochpunkte für wachsende Werte von $a$ kleiner.
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Teil 1
Ansatz $p_a{'} (x) = 0$ $\;\Rightarrow\;x_1$
Prüfe $p_a{''}(x_1)$ .
Teil 2
Betrachte eine neue Funktion $q(a)=\dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ .
Zeige, dass die Funktion $q$ ein Maximum hat.
Der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von $p_{0{,}5}$ und $p_{3}$ auf dem Intervall $[0; 1]$ soll
an der Stelle $u$ durch eine Parallele zur y-Achse halbiert werden.
Bestimmen Sie $u$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme $u$
Im Intervall $[0; 1]$ gilt:
Alle Funktionswerte von $p_{3}$ sind für $0<x\leq 1$ größer als die Funktionswerte von $p_{0{,}5}$ .
Das führt zu dem Ansatz:
$\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^u(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x$
Man erhält die relevante Lösung $u\approx 0{,}59$ .
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Überlege, welche der beiden Funktionen im Intervall $[0; 1]$ größer ist.
Berechne dann $\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^u(p_3-p_{0{,}5})\mathrm{d}x$ .

3

Aufgabe 2A

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich $30 %$ der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

Es werden $500$ Personen der betrachteten Gruppe zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser
Personen häufig von Fertiggerichten ernährt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt
$X$ : Anzahl der Personen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 500$ und $p = 0,3$ .
Ein Viertel von $500$ Personen sind $125$ Personen.
Berechne $P(X\geq 125)=\text{binomCdf}(500{,}0.3{,}125{,}500)\approx0{,}9942$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt rund $99 %$ .
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Berechne ein Viertel von $500$ .
Berechne $P(X\geq 125)$ .
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term
$1-\displaystyle\sum^{200}_{k=55}\binom{200}{k}\cdot 0{,}3^k\cdot 0{,}7^{200−k}$
berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Gib dieses Ereignis an
Es ist $n = 200$ , $k = 55$ und $p = 0,3$ .
Es gilt dann:
$P(X\geq 55)=1-P(X<55)\;\Rightarrow\;P(X<55)=1- P(X\geq 55)$
Demnach ist:
$P(X<55)=1- P(X\geq 55)=1-\displaystyle\sum^{200}_{k=55}\binom{200}{k}\cdot 0{,}3^k\cdot 0{,}7^{200−k}$ .
Zufallsexperiment: $200$ Personen der betrachteten Gruppe werden zufällig
ausgewählt.
Ereignis: $P (X < 55)$ bedeutet, dass weniger als $55$ Personen sich häufig von Fertiggerichten ernähren.
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Es ist $n = 200$ , $k = 55$ und $p = 0,3$ .
Interpretiere dann den Ausdruck $1-\displaystyle\sum^{200}_{k=55}\binom{200}{k}\cdot 0{,}3^k\cdot 0{,}7^{200−k}$ .
Neben der Ernährung durch Fertiggerichte wird auch der Verzehr von Zucker untersucht. Der Anteil der Personen der betrachteten Gruppe, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren und zu viel Zucker verzehren, beträgt $24 %$ .
Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren. Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt.
Untersucht werden folgende Ereignisse:
- $F$ : „Die Person ernährt sich häufig von Fertiggerichten.“
- $Z$ : „Die Person verzehrt zu viel Zucker.“
Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel
Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 %$ beträgt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 %$ beträgt
Gegeben ist $P(Z\cap F)=0{,}24$ und $P (F) = 0,3$ sowie $P(\overline{F})=0{,}7$
(siehe Aufgabe a).
Dann ist $P_F(Z)=\dfrac{P(Z\cap F)}{P(F)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}3}=0{,}8$ .
Gesucht ist $P(Z\cap \overline{F})$ .
Bekannt ist: Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren.
Das bedeutet:
$P_F(Z)=2\cdot P_{\overline{F}}(Z)\;\Rightarrow\;P_{\overline{F}}(Z)=\dfrac{1}{2}\cdot P_F(Z)$
Dann ist $P(Z\cap \overline{F})=P(\overline{F})\cdot P_{\overline{F}}(Z)=P(\overline{F}) \cdot \dfrac{1}{2}\cdot P_F(Z)=0{,}7\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 0{,}8=0{,}28$
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt $28 %$ .
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Gegeben ist $P(Z\cap F)=0{,}24$ und $P (F) = 0,3$ sowie $P(\overline{F})=0{,}7$ (siehe Aufgabe a).
Berechne $P_{F} (Z)$ .
Bekannt ist: Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren. Das bedeutet: $P_F(Z)=2\cdot P_{\overline{F}}(Z)$
Gesucht ist $P(Z\cap \overline{F})$ . Forme entsprechend um.
Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar
Bekannt sind bisher:
$P(F)=0{,}3,\;P(\overline{F})=0{,}7;\;P(Z\cap F)=0{,}24,\;P(Z\cap \overline{F})=0{,}28$
Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein:
Addiere die Werte in der 1. Zeile: $0,24 + 0,28 = 0,52$
Dann folgen:
$P(\overline{Z})=1-0{,}52=0{,}48$
$P(\overline{Z}\cap {F})=0{,}3-0{,}24=0{,}06$
$P(\overline{Z}\cap \overline{F})=0{,}7-0{,}28=0{,}48$
Ergänze die Werte in der Vierfeldertafel:
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Bekannt sind bisher: $P(F)=0{,}3,\;P(\overline{F})=0{,}7;\;P(Z\cap F)=0{,}24,\;P(Z\cap \overline{F})=0{,}28$
Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein und ergänze die fehlenden Werte.
Das Institut untersucht den Anteil $p$ der Personen der betrachteten Gruppe, die einen
bestimmten zuckerfreien Müsliriegel gegenüber einem vergleichbaren zuckerhaltigen
Müsliriegel bevorzugen.
Aufgrund früherer Untersuchungen wird von einem Anteil $p$ von $35 %$ ausgegangen.
Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der
betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen.
Abgebildet sind die Graphen der für
$p \in [0; 1]$ definierten Funktionen
$f: p ↦ p − 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ und
$g: p ↦ p + 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ .
Geben Sie die Werte von $a$ und $b$ an.
Interpretieren Sie das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$ (vgl. Abbildung 1). [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognoseintervalle
Gib die Werte von $a$ und $b$ an
Die senkrechte Gerade für $p = 0,35$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $(0,35 ∣ 0,2839)$ und den Graphen von $g$ im Punkt $(0,35 ∣ 0,4161)$ .
Graphische Lösung:
Man findet $a\approx 0{,}284$ und $b \approx 0{,}416$ .
Rechnerische Lösung:
Setze $p = 0,35$ in $f(p)= p − 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ ein:
$f(0{,}35)= 0{,}35 − 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{0{,}35⋅(1−0{,}35)}{200}} \approx0{,}28389...$
Setze $p = 0,35$ in $g(p)= p + 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ ein:
$g(0{,}35)= 0{,}35 + 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{0{,}35⋅(1−0{,}35)}{200}} \approx0{,}41610...$
Man findet $a\approx 0{,}284$ und $b \approx 0{,}416$ .
Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$
Das Intervall $[a; b]$ ist das $95 %$ -Prognoseintervall zu $p = 0,35$ .
(Der Wert $1,96$ in den Funktionstermen von $f$ und $g$ gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95 %$ .)
Gegeben ist weiterhin:
Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen $\;\Rightarrow\;h=\dfrac{86}{200}=0{,}43$ .
Nun ist aber $h=0{,}43>b \;(\text{die\;rechte Intervallgrenze\;ist}\;0{,}416)$ .
Damit ist das Umfrageergebnis bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 %$ nicht mit der Annahme $p = 0,35$ verträglich.
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Teil 1
Die senkrechte Gerade für $p = 0,35$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $(0,35 ∣ a)$ und den Graphen von $g$ im Punkt $(0,35 ∣ b)$ . Lies die Werte ab.
Teil 2
Der Wert $1,96$ in den Funktionstermen von $f$ und $g$ gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95 %$ $\;\Rightarrow\;$ Prognoseintervall
Gegeben ist weiterhin: Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen.
Berechne die relative Häufigkeit $h$ und vergleiche mit dem Wert von $b$ .
Nach der Durchführung einer Werbemaßnahme für den zuckerfreien Müsliriegel möchte das Institut Anhaltspunkte darüber gewinnen, wie groß der Anteil $p$ inzwischen ist.
In der betrachteten Gruppe wurden daraufhin $n$ Personen befragt.
Die Auswertung ergab, dass etwa $61 %$ der befragten Personen den zuckerfreien Riegel bevorzugen. Das zugehörige $95 %$ -Konfidenzintervall, dessen Ränder mit den Gleichungen
$h = p_{max} − 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{max} \cdot (1−p_{max})}{n}$ und $h = p_{min} + 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{min}⋅(1−p_{min})}{ n}$
ermittelt werden, besitzt eine Länge, die kleiner als $0,1$ ist.
Zeigen Sie, dass der kleinstmögliche Wert von $n$ zwischen $300$ und $400$ liegt. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konfidenzintervalle
Für $n = 300$ erhält man die Schnittstellen der Graphen der Funktionen mit den Termen $p_{min} + 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{min}⋅(1−p_{min})}{ n}$ bzw. $p_{max} − 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{max} \cdot (1−p_{max})}{n}$
und $h = 0,61$ :
$p_{min1} \approx 0{,}554$ und $p_{max1}\approx0{,}663$
Siehe die folgende Abbildung:
Für $n = 400$ erhält man die folgende Abbildung:
Hier ist $p_{min2}\approx0{,}561$ und $p_{max2}\approx 0{,}657$ .
Die Schnittstellen geben jeweils die Ränder des zugehörigen Konfidenzintervalls
an.
Da $p_{max1} − p_{min1} \approx 0{,}109 > 0{,}1$ und $p_{max2} − p_{min2} \approx 0{,}096 < 0{,}1$ und die Länge der Konfidenzintervalle mit wachsendem $n$ kleiner wird, liegt der kleinstmögliche Wert zwischen $300$ und $400$ .
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Bestimme graphisch das Konfidenzintervall für $n = 300$ und berechne die Intervalllänge $p_{max1} − p_{min1}$ .
Bestimme graphisch das Konfidenzintervall für $n = 400$ und berechne die Intervalllänge $p_{max2} − p_{min2}$ .
Vergleiche die beiden Intervalllängen mit der Intervalllänge $0,1$ .

4

Aufgabe 2B

Bei einer statistischen Erhebung werden in einer deutschen Großstadt die privaten

Haushalte mit mindestens einem Kind im Vorschulalter betrachtet. Diese werden im

Folgenden als „junge Haushalte“ bezeichnet. Es wird festgestellt, dass $60 %$ der jungen

Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind und $8 %$ der jungen Haushalte mit mindestens einem Lastenrad. In $14 %$ der jungen Haushalte ohne Pkw ist mindestens ein Lastenrad vorhanden.

Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten
Vierfeldertafel dar. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Festlegung:
$A$ : „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Pkw ausgestattet.“
$B$ : „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet.“
Gegeben sind $P (A) = 0,6$ und $P (B) = 0,08$ . Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein.
Durch Differenzbildung findest Du zwei weitere Werte.
$P(\overline{A})=1-06=0{,}4$
$P(\overline{B})=1-0{,}08=0{,}92$
Weiterhin ist bekannt, dass in $14 %$ der jungen Haushalte ohne Pkw $\left(P(\overline{A})\right)$ mindestens ein Lastenrad vorhanden ist.
$P(B\cap \overline{A})=0{,}14\cdot 0{,}4=0{,}56$
Ergänze die Vierfeldertafel mit diesen Werten.
Die restlichen Felder erhältst Du durch Differenzbildung:
$P(B\cap A)=0{,}08-0{,}056=0{,}24$
$P(\overline{B}\cap \overline{A})=0{,}4-0{,}056=0{,}344$
$P(\overline{B}\cap A)=0{,}92-0{,}344=0{,}576$
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$A$ : „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Pkw ausgestattet.“ $B$ : „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet.“
Gegeben sind $P (A) = 0,6$ und $P (B) = 0,08$ . Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein.
Durch Differenzbildung findest Du zwei weitere Werte.
Weiterhin ist bekannt, dass in $14 %$ der jungen Haushalte ohne Pkw $\left(P(\overline{A})\right)$ mindestens ein Lastenrad vorhanden ist. Ergänze die Vierfeldertafel mit diesen Werten. Die restlichen Felder erhältst Du durch Differenzbildung.
Beurteilen Sie für diese Großstadt die folgende Aussage: [4 BE]
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter junger Haushalt mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet ist, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw mehr als dreimal so groß wie bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Beurteile für diese Großstadt die Aussage
Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw... $\;\Rightarrow\;P_{\overline{A}}(B)$
Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet, ist bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw... $\;\Rightarrow\;P_A( B)$
Die Aussage lautet nun: $P_{\overline{A}}(B)>3\cdot P_A(B)$
$\Rightarrow\;P_{\overline{A}}(B)=\dfrac{P(B\cap \overline{A})}{P(\overline{A})}=\dfrac{0{,}056}{0{,}4}=0{,}14$
und $P_A(B)=\dfrac{P(B\cap A)}{P(A)}=\dfrac{0{,}024}{0{,}6}=0{,}04$
Damit folgt dann: $0{,}14>3\cdot 0{,}04=0{,}12$
Die Aussage ist wahr.
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Zeige, dass gilt $P_{\overline{A}}(B)>3\cdot P_A(B)$ .
$300$ junge Haushalte dieser Großstadt werden zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser
Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind
$X$ : Anzahl der Haushalte mit mindestens einem Lastenrad
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 300$ und $p = 0,08$
Berechne $P(21\leq X\leq 30)$ :
$\text{binomCdf}(300{,}0.08{,}21{,}30)\approx0{,}680955$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind, beträgt rund $68 %$ .
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$X$ : Anzahl der Haushalte mit mindestens einem Lastenrad
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 300$ und $p = 0,08$
Berechne $P(21\leq X\leq 30)$ .
Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem
Term
$1 − \displaystyle\sum^{300}_{𝑘=201} \binom{300}{𝑘}\cdot 0{,}6^𝑘 \cdot 0{,}4^{300−𝑘}$
berechnet werden kann. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $1 − \displaystyle\sum^{300}_{𝑘=201} \binom{300}{𝑘}\cdot 0{,}6^𝑘 \cdot 0{,}4^{300−𝑘}$ berechnet werden kann
Im Term tritt die Wahrscheinlichkeit $0,6$ auf. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein junger Haushalt mit mindestens einem Pkw ausgestattet ist.
Weiterhin entnimmt man dem Term $n = 300$ und $k = 201$ .
Der Summenterm berechnet somit die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 201)$ .
Dann ist die Gegenwahrscheinlichkeit $1-P(X\geq 201)=P(X\leq 200)$
$P(X\leq 200)$ besagt, dass höchstens 200 dieser Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind.
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Im Term tritt die Wahrscheinlichkeit $0,6$ auf. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein junger Haushalt mit mindestens einem Pkw ausgestattet ist.
Weiterhin entnimmt man dem Term $n = 300$ und $k = 201$ . Der Summenterm berechnet somit die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 201)$ .
Was ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit?
Betrachtet werden Vorderrad- und Hinterradreifen für Lastenräder. Die Laufleistung gibt die Gesamtstrecke an, bis ein Reifen unbrauchbar wird. Die Zufallsgröße $V$ beschreibt die Laufleistung in Kilometern ( $\text{km}$ ) der Vorderradreifen eines Herstellers, die Zufallsgröße $H$ die Laufleistung der Hinterradreifen desselben Herstellers. Beide Zufallsgrößen sind normalverteilt. Es gilt:
$\mu_V = 6800\;\text{km}$ und $\sigma_V = 530\;\text{km}$
$\mu_H = 4600\;\text{km}$ und $\sigma_H= 480\;\text{km}$
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter
Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\;\text{km}$ vom Erwartungswert
für diese Laufleistung abweicht. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\;\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht
Gesucht ist $P(|V-\mu_V|\leq 600)$ :
Gegeben sind $\mu_V = 6800\;\text{km}$ und $\sigma_V = 530\;\text{km}$ .
Dann ist folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:
$P(6800-600\leq X\leq6800+600)=P(6200\leq X\leq7400)$
$P(6200\leq X\leq7400)=\Phi\left(\dfrac{7400-6800}{530}\right)-\Phi\left(\dfrac{6200-6800}{530}\right)$
$\Rightarrow\;\Phi\left(\dfrac{600}{530}\right)-\Phi\left(-\dfrac{600}{530}\right)=2\cdot \Phi\left(\dfrac{600}{530}\right)-1\approx2\cdot0{,}8712-1=0{,}7424$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\;\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht, beträgt rund $74 %$ .
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Gegeben sind $\mu_V = 6800\;\text{km}$ und $\sigma_V = 530\;\text{km}$ .
Gesucht ist $P(|V-\mu_V|\leq 600)$ $\;\Rightarrow\;P(6200\leq X\leq7400)$ .
Beachte $\Phi(z)- \Phi(-z)=2\cdot \Phi(z)-1$ .
Begründen Sie, dass die folgende Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen wahr
ist: [4 BE]
Die Laufleistung, die ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen gemäß dem Modell mit der Wahrscheinlichkeit von $90 %$ übertreffen wird, wird ein zufällig ausgewählter Hinterradreifen nahezu mit Sicherheit unterschreiten.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Begründe, dass die Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen wahr ist
Für den Vorderradreifen wird behauptet:
$P (V > c) = 0,9$
Es gilt: $P(X\geq a)=1-\Phi\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)$
Dann folgt:
$P(V > c) = 1-\Phi\left(\dfrac{c-\mu_V}{\sigma_V}\right)=0{,}9$
$0{,}1=\Phi\left(\dfrac{c-6800}{530}\right)$
$\Phi(z)=0{,}1$ liefert $z\approx -1{,}282$ und damit folgt die Gleichung:
$-1{,}282=\dfrac{c-6800}{530}$
Dann ist $c=-1{,}282\cdot 530+6800\approx 6120$ .
Betrachtet man nun einen Hinterradradreifen, dann kann $P (H < 6120)$ berechnet werden:
Es gilt $\mu_H = 4600\;\text{km}$ und $\sigma_H = 480\;\text{km}$ .
$P(H < 6120)= \Phi\left(\dfrac{6120-4600}{480}\right)\approx\Phi(3{,}167)\approx0{,}9992$
Ein zufällig ausgewählter Hinterradradreifen hat wegen $P(H < 6120) \approx0{,}9992$ mit einer sehr großen Wahrscheinlichkeit eine Laufleistung von weniger als $6120⁡\;\text{km}$ .
Die Aussage ist wahr.
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Für den Vorderradreifen wird behauptet: $P (V > c) = 0,9$
Es gilt: $P(X\geq a)=1-\Phi\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)$
Berechne mit den gegebenen Werten $c$ .
Für einen Hinterradradreifen kann dann $P (H < c)$ berechnet werden.
Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt die
Laufleistung in km der Hinterradreifen
eines anderen Herstellers.
$Z$ wird als normalverteilt mit dem Erwartungswert $\mu_Z$ und der Standardabweichung $\sigma_Z$ angenommen.
Die Abbildung stellt den Graphen der
Funktion $f$ mit $f(x)=P(Z \leq 1000 \cdot x)$ dar.
Ermitteln Sie die Werte von $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ jeweils in km. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalverteilung
Ermittle die Werte von $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ jeweils in km
Aus dem Graphen entnimmt man $f (5,5) = 0,5$ .
Mit $f(x)=P(Z \leq 1000 \cdot x)$ folgt dann:
$0{,}5 =P(Z \leq 1000 \cdot 5{,}5)=P(Z \leq 5500)=\Phi\left(\dfrac{5500-\mu_z}{\sigma_z}\right)$
Andererseits ist $\Phi(0)=0{,}5\;\Rightarrow\;\dfrac{5500-\mu_z}{\sigma_z}=0$ .
$\dfrac{5500-\mu_z}{\sigma_z}=0\;\Rightarrow\;\mu_z=5500$
Zur Bestimmung von $\sigma_z$ wird ein zweiter Punkt des Graphens benötigt.
Es ist $f (6) = 0,9$ .
$f(6)=0{,}9\;\Rightarrow\;P(Z \leq 1000 \cdot 6)=P(Z \leq 6000)=\Phi\left(\dfrac{6000-5500}{\sigma_z}\right)=0{,}9$
Mit $\Phi\left(\dfrac{6000-5500}{\sigma_z}\right)=0{,}9$ folgt $\Phi(z)=0{,}9$ und $z\approx 1{,}283$ .
Dann erhält man:
$\dfrac{6000-5500}{\sigma_z}\approx1{,}283\;\Rightarrow\;\sigma_z=\dfrac{500}{1{,}283}\approx389{,}7$
Damit sind $\mu_z=5500\;\text{km}$ und $\sigma_z=390\;\text{km}$ .
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Aus dem Graphen entnimmt man $f (5,5) = 0,5$ . Berechne damit $\mu_z$ .
Entnimm dem Graphen einen weiteren Punkt und berechne $\sigma_z$ .

5

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $A B C D S$ mit den Eckpunkten $A (- 3 ∣ - 3 ∣ 0)$ , $B (3 ∣ - 3 ∣ 0)$ ,

$C (3 ∣ 3 ∣ 0)$ , $D (- 3 ∣ 3 ∣ 0)$ und $S (0 ∣ 0 ∣ 4)$ sowie den Punkt $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt.

Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .

Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche der Pyramide. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide
$O = G + M$
$O=\left|\overrightarrow{AB}\right|^2+4\cdot A_{\triangle}$
Berechne die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AS}$ (siehe Skizze der Pyramide):
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\left|\overrightarrow{AB}\right|=6$
Für die Seitenfläche wird noch die Höhe $h$ benötigt.
Berechne $h$ mit dem Satz des Pythagoras:
$h=\sqrt{3^3+4^2}=\sqrt{25}=5$
Dann folgt für die Oberfläche:
$O=\left|\overrightarrow{AB}\right|^2+4\cdot A_{\triangle}\\O=6^2+4\cdot\dfrac{6\cdot 5}{2}=36+60=96$
Der Inhalt der Oberfläche der Pyramide beträgt $96 \;\text{FE}$ .
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Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche und den Flächeninhalt der vier Seitenflächen.
Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [3 BE]
[Zur Kontrolle: $4 y + 3 z = 12$ ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform
Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ :
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\4\end{pmatrix}$
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
$\vec n=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\-3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\24\\18\end{pmatrix}=6\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$
$E: \left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OS}\right)\circ\vec n=0\;\Rightarrow\;\left(\overrightarrow{OX}-\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}=0$
Ausmultipliziert, erhält man die Koordinatenform der Ebene $E$ :
$E : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 12 = 0$
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Die Seitenfläche $C D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Berechne die Richtungsvektoren $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{CS}$ .
Der Normalenvektor der Ebene $E$ ist das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Erstelle die Ebenengleichung in Normalform und wandle sie in die Koordinatenform um.
Es gibt einen Punkt $P (0 ∣ 0 ∣ p)$ , der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier
Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe
des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen: $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\mathrm{I}\qquad &\overrightarrow{OQ} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ p \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right)\\ \mathrm{II}\quad~~~ &4 ⋅ 4t + 3 ⋅ (p + 3t) = 12\\ \mathrm{III}\quad~~ &|\overrightarrow{PQ}| = p\end{aligned}$

Geben Sie die geometrische Bedeutung dieser Gleichungen an. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen (Projektionsverfahren)
Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen
Gleichung I:
Gleichung I beschreibt eine Gerade, deren Aufpunkt der Vektor $\overrightarrow{OP}$ ist und deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene $E$ ist. Die Gerade ist somit Lotgerade zur Ebene E.
Gleichung II:
In die Gleichung der Ebene $E$ wurde die Geradengleichung eingesetzt, um $t$ berechnen zu können. Mit $t$ kann der Lotfußpunkt berechnet werden.
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche. Dieser Abstand muss gleich dem Wert von $p$ sein $\;\Rightarrow\;\left| \overrightarrow{PQ} \right|=p$ .
Siehe Skizze (Seitenansicht):
Die beiden orangefarbigen Strecken sind gleich lang.
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Gleichung I:
Geradengleichung, welche Gerade wird beschrieben?
Gleichung II:
Ebenengleichung $E$ ; was wurde in diese Gleichung eingesetzt und was kann man berechnen?
Gleichung III:
Der Betrag des Vektors $\overrightarrow{PQ}$ ist der gesuchte Abstand des Punktes P von den Seitenflächen und auch von der Grundfläche.
Welche beiden Längen sind gleich groß?

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4k \cdot x + 4\sqrt{1 − k^2} \cdot y + 3 \cdot z = 12$ mit

$k \in [−1; 1]$ . Die Seitenfläche $A D S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{- 1}$ der Schar, die Seitenfläche $B C S$ in der Ebene $E_{1}$ .

Zeigen Sie, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist. [2 BE]

Weisen Sie nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$
schneidet, unabhängig von $k$ ist. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel von Geraden und Ebenen
Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist
Schnittwinkel Gerade Ebene:
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec n\circ \vec u|}{|\vec n|\cdot|\vec u|}$
Die Gerade $O S$ startet im Koordinatenursprung und geht durch den Punkt $S (0 ∣ 0 ∣ 4)$ .
Der Richtungsvektor der Geraden ist dann der Vektor $\vec u=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$ und der Normalenvektor der Ebene ist $\vec n=\begin{pmatrix}4k\\4\sqrt{1-k^2}\\3\end{pmatrix}$ .
Dann folgt:
$\sin\alpha=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4k\\4\sqrt{1-k^2}\\3\end{pmatrix}\right|}{4\cdot\sqrt{(4k)^2+16\cdot(1-k^2)+9}}$
$\sin\alpha=\dfrac{12}{4\cdot\sqrt{16k^2+16-16k^2+9}}=\dfrac{12}{4\cdot\sqrt{25}}=\dfrac{3}{5}$
Der Winkel zwischen Gerade und Ebene ist unabhängig von $k$ .
Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels
Es ist $\alpha=\sin^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right)\approx36{,}9^\circ$ .
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Teil 1
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Geraden und der Ebene mit: $\sin\alpha=\dfrac{|\vec n\circ \vec u|}{|\vec n|\cdot|\vec u|}$
Dabei ist der Vektor $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden und $\vec n$ der Normalenvektor der Ebene $E_{k}$ .
Welche Schlussfolgerung kann man aus dem Ergebnis ziehen?
Teil 2
Berechne $\alpha$ .
Jede Ebene $E_{k}$ der Schar schneidet die
xy-Ebene in einer Gerade $g_{k}$ . Mit $R_{k}$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_{k}$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat. In Abbildung 2 sind $g_{k}$ und $R_{k}$ beispielhaft für eine Ebene $E_{k}$ der Schar dargestellt.
Zeichnen Sie die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)
Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein
$Pyramide mit den Punkten R_1 und R_{-1}$
Pyramide mit den Punkten $R_{1}$ und $R_{- 1}$
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Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein.
Beachte Aufgabe d).
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich die Fläche $O R_{k} S$ um die Strecke $\overline{OS}$ . Dabei entsteht ein Körper. Beschreiben Sie die Form des entstehenden Körpers und bestimmen Sie das Volumen dieses Körpers. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Beschreibe die Form des entstehenden Körpers
Durchläuft $k$ alle Werte von $- 1$ bis $1$ , dann dreht sich das Dreieck $O R_{k} S$ um die Strecke $[O S]$ . Es entsteht ein halber Kreiskegel. Er hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ .
(siehe Skizze)
Das Dreieck $O R_{k} S$ dreht sich um die Strecke $[O S]$ .
Bestimme das Volumen dieses Körpers
Der halbe Kreiskegel hat den Radius $r = 3$ und die Höhe $h = 4$ , dann folgt für das Volumen:
$V=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot r^2\cdot h\;\Rightarrow\; V=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 3^2\cdot 4=6\pi$
Das Volumen des Körpers beträgt $6\pi\; \text{VE}$ .
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Teil 1
Das sich drehende Dreieck von $R_{- 1}$ bis $R_{1}$ erzeugt einen Körper. Welcher Körper ist das?
Teil 2
Berechne das Volumen des Körpers.

6

Aufgabe 3B

Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Terrasse,

die von zwei Hauswänden und einer Rasenfläche begrenzt wird.

Ebenfalls dargestellt ist ein ausfahrbares

Sonnendach, im Folgenden als Markise

bezeichnet.

Der horizontale Boden, zu dem die Terrasse und die Rasenfläche gehören, wird im abgebildeten Koordinatensystem durch die $x_{1} x_{2}$ -Ebene dargestellt.

Die Terrasse wird durch das Fünfeck mit den Eckpunkten $A (0 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (3 ∣ 0 ∣ 0)$ , $C (3 ∣ 3 ∣ 0)$ , $D (2 ∣ 5 ∣ 0)$ und $E (0 ∣ 5 ∣ 0)$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\;\text{m}$ in der Realität.

Bestimmen Sie die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten sowie
den Flächeninhalt der Terrasse. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Bestimme die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten
$l= |\overrightarrow{BC}|+ |\overrightarrow{CD}|+ |\overrightarrow{DE}|$
Berechne die Vektoren und ihre Beträge:
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{BC}|=3$
$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+0}=\sqrt{5}$
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$
$|\overrightarrow{DE}|=2$
Dann folgt: $l=3+\sqrt{5}+2=5+\sqrt{5}\approx 7{,}24$
Die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten beträgt rund $7{,}24\;\text{m}$ .
Bestimme den Flächeninhalt der Terrasse
Zerlege die Fläche in ein Quadrat mit der Seitenlänge $3$ und ein Trapez.
Siehe Skizze:
Dann erhält man für den Flächeninhalt der Terrasse:
$A=A_{\text{Quadrat}}+A_{\text{Trapez}}=3\cdot 3+\dfrac{3+2}{2}\cdot 2=9+5=14$
Der Flächeninhalt der Terrasse beträgt $14\;\text{m}^2$ .
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Teil 1
Berechne $l= |\overrightarrow{BC}|+ |\overrightarrow{CD}|+ |\overrightarrow{DE}|$ .
Teil 2
Zerlege die Fläche in ein Quadrat mit der Seitenlänge $3$ und ein Trapez.
Die Befestigung der Markise an der Hauswand $2$ hat die Endpunkte $P (0 ∣ 5 ∣ 2,3)$ und
$Q (0 ∣ 0 ∣ 2,3)$ .
Ist die Markise vollständig ausgefahren, sind ihre weiteren Eckpunkte $R (2,4 ∣ 0 ∣ 1,9)$ und $S (2,4 ∣ 5 ∣ 1,9)$ . Die Markise ist rechteckig und liegt im Modell in der Ebene $M$ mit der Gleichung $x_1 + 6x_3 = 13{,}8$ .
Das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Terrasse einfallende Sonnenlicht wird durch
parallele Geraden mit dem Richtungsvektor beschrieben.
Untersuchen Sie, ob zu diesem Zeitpunkt bei vollständig ausgefahrener Markise mehr
als die Hälfte der Terrassenfläche im Schatten liegt. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Untersuche, ob zu diesem Zeitpunkt bei vollständig ausgefahrener Markise mehr als die Hälfte der Terrassenfläche im Schatten liegt
Der Lichteinfall erfolgt parallel zur Hauswand $1$ . Der Schatten von $\overline{RS}$ liegt also parallel zu Hauswand $2$ und ist die Begrenzungslinie des Schattens auf der Terrasse.
Berechne den Schattenpunkt $R^{'}$ von $R$ .
Erstelle dazu eine Geradengleichung durch den Punkt R mit dem Richtungsvektor $\vec v_\text{Licht}$ .
$g_\text{Licht}: \vec x=\overrightarrow{OR}+r\cdot \vec v_\text{Licht}=\begin{pmatrix}2{,}4\\0\\1{,}9\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-0{,}92 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}$
Schneide $g_\text{Licht}$ mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene, d.h. $x_{3} = 0$ :
$\Rightarrow\; 0=1{,}9-2\cdot r\;\Rightarrow\;r=0{,}95$
$r = 0,95$ eingesetzt in $g_\text{Licht}$ :
$\vec x_{R'}=\begin{pmatrix}2{,}4\\0\\1{,}9\end{pmatrix}+0{,}95\cdot \begin{pmatrix}-0{,}92 \\ 0 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}4+0{,}95\cdot(-0{,}92)\\0\\1{,}9+0{,}95\cdot (-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}526\\0\\0\end{pmatrix}$
Der Terrassenpunkt $R^{'}$ hat die Koordinaten $R^{'} (1,526 ∣ 0 ∣ 0)$ .
Die Terrasse liegt also bis zu einem Abstand von $1{,}526\;\text{m}$ von Hauswand $2$ im
Schatten. Da jeder Punkt der Terrasse maximal $3\;\text{m}$ von Hauswand $2$ entfernt
ist, liegt mehr als die Hälfte der Terrasse im Schatten.
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Der Lichteinfall erfolgt parallel zur Hauswand $1$ . Der Schatten von $\overline{RS}$ liegt also parallel zu Hauswand $2$ und ist die Begrenzungslinie des Schattens auf der Terrasse.
Berechne den Schattenpunkt $R^{'}$ von $R$ . Erstelle dazu eine Geradengleichung durch den Punkt R mit dem Richtungsvektor $\vec v_\text{Licht}$ .
Die Koordinaten von $R^{'}$ sagen etwas darüber aus, wie weit der Schatten von Hauswand 2 aus reicht.

Abbildung $2$ zeigt die Oberseite der Markise mit ihren beiden gestrichelt dargestellten Gelenkarmen. Der rechte Gelenkarm besteht aus der oberen Stange $\overline{PG_k}$ , einem Gelenk im Punkt $G_{k}$ und einer unteren Stange $\overline{G_kS_k}$ .

Die obere und die untere Stange

sind gleich lang. Beim Ausfahren der Markise verändern sich die Positionen der Punkte $G_{k}$ und $S_{k}$ .

Die obere Stange wird beschrieben durch $o_k: \vec x = \begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2{,}4k\\ -0{,}8 \\ -0{,}4k \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ und $0{,}04 \le k \le 1$ .

Je größer $k$ ist, desto weiter ist die Markise ausgefahren. Für $k = 1$ ist sie vollständig

ausgefahren und für $k = 0,04$ ist sie vollständig eingefahren.

Zeigen Sie, dass alle Geraden $o_{k}$ in der Ebene $M$ mit $x_1 + 6x_3 = 13{,}8$ liegen. [4 BE]

Die folgende Rechnung liefert die Größen zweier Winkel:
$\def\arraystretch{1.25} \cos(\alpha)=\frac{\Bigg|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} 2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{array}\right)\Bigg|} {\Bigg|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\Bigg|\cdot\Bigg|\left(\begin{array}{c} 2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{array}\right)\Bigg|}$ liefert $\alpha\approx 71{,}8^\circ$ und damit $\beta = 2 \cdot \alpha \approx 143{,}6^\circ$ .
Geben Sie die Bedeutung von $\alpha$ und $\beta$ im Sachzusammenhang an. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Gib die Bedeutung von $\alpha$ und $\beta$ im Sachzusammenhang an
Der Vektor $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ zeigt in Richtung der $x_{2}$ -Achse (hintere Markisenkante).
Der Vektor $\begin{pmatrix}2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}$ ist der Richtungsvektor der oberen Stange für $k = 1$ , d.h. bei ausgefahrener Markise. Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ist der Winkel $\alpha$ , der berechnet wird und mit dem Winkel $\alpha$ wird der Winkel $\beta$ berechnet.
Deshalb gilt bei vollständig ausgefahrener Markise:
$\alpha$ ist die Größe des Winkels zwischen der hinteren Kante der Markise und der oberen Stange.
$\beta$ ist die Größe des Winkels zwischen den beiden Stangen des Gelenkarms.
Siehe Skizze:
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Der Vektor $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ zeigt in Richtung der $x_{2}$ -Achse (hintere Markisenkante).
Der Vektor $\begin{pmatrix}2{,}4 \\ -0{,}8 \\ -0{,}4 \end{pmatrix}$ ist der Richtungsvektor der oberen Stange für $k = 1$ , d.h. bei ausgefahrener Markise.
Sowohl die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms sind $1{,}28\;\text{m}$ lang.
Bestimmen Sie die Koordinaten von $G_{k}$ für $k = 0,5$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung in der analytischen Geometrie
Bestimme die Koordinaten von $G_{k}$ für $k = 0,5$
Für $k = 0,5$ folgt $o_{0{,}5}$ :
$o_{0{,}5}: \vec x = \begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}2{,}4\cdot 0{,}5\\ -0{,}8 \\ -0{,}4\cdot 0{,}5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}1{,}2\\ -0{,}8 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}$
Der Richtungsvektor von $o_{0{,}5}$ hat die Länge:
$\Bigg|\begin{pmatrix}1{,}2\\ -0{,}8 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}\Bigg|=\sqrt{1{,}2^2+(-0{,}8)^2+(-0{,}2)^2}=\sqrt{2{,}12}\approx1{,}46$
Dann folgt:
$\vec x \approx \begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\dfrac{\lambda_1}{1{,}46}\cdot\begin{pmatrix}1{,}2\\ -0{,}8 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}$
Sowohl die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms sind $1{,}28\;\text{m}$ lang.
$G_{0{,}5}$ liegt auf $𝑜_{0{,}5}$ und hat mit $\lambda_1= 1{,}28$ die Koordinaten:
$\vec x \approx \begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\dfrac{1{,}28}{1{,}46}\cdot\begin{pmatrix}1{,}2\\ -0{,}8 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\dfrac{1{,}28}{1{,}46}\cdot\begin{pmatrix}1{,}2\\ -0{,}8 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}$
$\vec x \approx \begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\dfrac{1{,}28}{1{,}46}\cdot\begin{pmatrix}1{,}2\\ -0{,}8 \\ -0{,}2 \end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0 \\ 5 \\ 2{,}3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1{,}05\\ -0{,}70 \\ -0{,}18 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}05\\4{,}30\\2{,}12\end{pmatrix}$
Die gesuchten Koordinaten von $G_{0{,}5}$ sind etwa $(1,05 ∣ 4,30 ∣ 2,12)$ .
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Bestimme die Gleichung von $o_{0{,}5}$ und berechne die Länge des Richtungsvektors dieser Geraden.
Schreibe die Geradengleichung mit einem Einheitsrichtungsvektor.
$G_{0{,}5}$ liegt auf $𝑜_{0{,}5}$ . Beachte, dass die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms $1{,}28\;\text{m}$ lang sind.
Ersetze den Parameter in der Geradengleichung mit einem Einheitsrichtungsvektor durch $1,28$ und berechne die gesuchten Koordinaten.

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4k\cdot x_1+4\sqrt{1-k^2}\cdot x_2+3x_3-12$
	↓	Setze $S (0 ∣ 0 ∣ 4)$ ein:
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4k\cdot 0+4\sqrt{1-k^2}\cdot 0+3\cdot 4-12$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 12-12$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0$

$\displaystyle x_1 + 6\cdot x_3$	$=$	$\displaystyle 13{,}8$
	↓	Setze $o_{k}$ ein.
$\displaystyle 0+\lambda \cdot 2{,}4k+6\cdot(2{,}3-\lambda \cdot 0{,}4k)$	$=$	$\displaystyle 13{,}8$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle \lambda \cdot 2{,}4k+13{,}8-\lambda \cdot 2{,}4k)$	$=$	$\displaystyle 13{,}8$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 13{,}8$	$=$	$\displaystyle 13{,}8$

Wahlteil - CAS

Aufgabe 1A

Skizziere den Graphen von f4f_4f4​ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von f4f_4f4​ an

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Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1f_1f1​ und f4f_4f4​

Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt

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Gib die Anzahl der Nullstellen von faf_afa​ in Abhängigkeit von 𝑎𝑎a an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

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Bestimme den Wert von 𝑎𝑎a zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate

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Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von vvv

Interpretiere die Werte im Sachkontext

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Interpretiere die Aussage: v(t)<0v(t) < 0v(t)<0 und v′(t)>0v'(t) > 0v′(t)>0 in Bezug auf die Bewegung von U1U1U1 in diesem Zeitraum

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Ermittle den Abstand von U1U1U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

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Erläutere, wie man tHt_HtH​ anhand der Graphen von vvv und www ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von yHy_HyH​ an

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Aufgabe 1B

Gib die Nullstellen von fff an

Begründe, dass das Intervall [0;7,2][0; 7{,}2][0;7,2] eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion fff für den Sachzusammenhang ist

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Berechne die maximale BAK der betrachteten Person

Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf

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Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person 1,081 gkg1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}1,081kgg​ beträgt

Berechne die theoretische maximale BAK der zweiten Person

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Begründe mit Hilfe des Terms von fff, dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK

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Zeige, dass fff eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist

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Bestimme alle Werte von mmm so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von 0,5 gkg0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}0,5kgg​ überschreitet

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Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle x=ln⁡(10⋅a)ax = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}x=aln(10⋅a)​ hat.

Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von aaa kleiner werden

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Bestimme uuu

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Aufgabe 2A

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt

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Gib dieses Ereignis an

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, 28 %28\;\%28% beträgt

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Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

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Gib die Werte von aaa und bbb an

Graphische Lösung:

Rechnerische Lösung:

Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls a≤y≤ba \le y \le ba≤y≤b

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Aufgabe 2B

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Beurteile für diese Großstadt die Aussage

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 202020 und höchstens 303030 dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens 600 km600\;\text{km}600km vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht

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Begründe, dass die Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen wahr ist

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Ermittle die Werte von μZ\mu_ZμZ​ und σZ\sigma_ZσZ​ jeweils in km

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Aufgabe 3A

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide

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Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform

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Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von ppp zugrunde liegen

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Zeige, dass der Punkt SSS in allen Ebenen der Schar enthalten ist

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Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

Bestimme den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum

Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an

Gib die Nullstellen von $f$ an

Begründe, dass das Intervall $[0; 7,2]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist

Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $1{,}081\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt

Begründe mit Hilfe des Terms von $f$ , dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK

Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist

Bestimme alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $0{,}5\;\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet

Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x = \dfrac{\ln(10\cdot a)}{a}$ hat.

Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden

Bestimme $u$

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 %$ beträgt

Gib die Werte von $a$ und $b$ an

Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\;\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht

Ermittle die Werte von $\mu_Z$ und $\sigma_Z$ jeweils in km

Erläutere die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $p$ zugrunde liegen

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $O S$ die Ebene $E_{k}$ schneidet, unabhängig von $k$ ist

Zeichne die Punkte $R_{- 1}$ und $R_{1}$ in Abbildung 2 ein

Zeige, dass alle Geraden $o_{k}$ in der Ebene $M$ mit $x_1 + 6x_3 = 13{,}8$ liegen

Gib die Bedeutung von $\alpha$ und $\beta$ im Sachzusammenhang an

Bestimme die Koordinaten von $G_{k}$ für $k = 0,5$