Wahlteil - CAS

Skizziere den Graphen von $f_4$ in Abbildung 1

$f_4(x)={\displaystyle \frac{1}{64}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+x$

Gib die Extrempunkte von $f_4$ an

$\text{Löse}(f_4^{\prime }(x)=0)$ mit den beiden Lösungen $x={\displaystyle \frac{8}{3}}$ und $x=8$.

$f_4(8)=0\Rightarrow TP(8|0)$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(8|0)$.

$f_4(\frac{8}{3})={\displaystyle \frac{32}{27}}\approx \mathrm{1,2}\Rightarrow HP\left(\frac{8}{3}|\frac{32}{27}\right)$

Der Hochpunkt hat etwa die Koordinaten $(\mathrm{2,7}|\mathrm{1,2})$.

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_4$

$f_1(x)=x^3-x^2+x$

$\text{Löse}(f_1(x)=f_4(x))$:

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=0$ und $x_2={\displaystyle \frac{16}{21}}\approx \mathrm{0,76}$.

$f_1(0)=f_4(0)=0$ und $f_1\left({\displaystyle \frac{16}{21}}\right)=f_4\left({\displaystyle \frac{16}{21}}\right)\approx \mathrm{0,62}$

$\Rightarrow P_1(0|0)$ und $P_2(\mathrm{0,76}|\mathrm{0,62})$

Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_4$ sind $(0|0)$ und etwa $(\mathrm{0,76}|\mathrm{0,62})$.

Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt

Es gilt unabhängig von $a$:

$f_a(0)=0$

Betrachte z.B. die Funktion $f_3(x)={\displaystyle \frac{1}{27}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+x$ und berechne $f_3(\frac{16}{21})$:$f_3(\frac{16}{21})\approx \mathrm{0,58}\ne f_4(\frac{16}{21})\approx \mathrm{0,62}$

Demnach gibt es nur den Punkt $(0|0)$ der auf allen Graphen der Funktionenschar liegt.

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

Es gilt: $a\in {ℝ}^{+}$

Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot (a-4)$ in den beiden Termen $\frac{a^2\pm \sqrt{a^3\cdot (a-4)}}{2}$.

Für $a>4$ ist $D>0\Rightarrow G_{f_a}$ hat $3$ Nullstellen.

Für $a=4$ ist $D=0\Rightarrow G_{f_a}$ hat $2$ Nullstellen.

Für $a<4$ ist $D<0\Rightarrow G_{f_a}$ hat $1$ Nullstelle.

Bestimme den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate

Der Graph jeder Funktion $f_a$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac{a^2}{3}|y_a)$.

$\Rightarrow x_{WP}={\displaystyle \frac{a^2}{3}}$

Berechne $f_a(\frac{a^2}{3})$:

Es ist $f_a(\frac{a^2}{3})=f(a)=-{\displaystyle \frac{2}{27}}\cdot a^3+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot a^2$.

$f^{\prime }(a)=0$ liefert die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=3$.

$f^{\prime \prime }(3)=-{\displaystyle \frac{18}{27}}<0\Rightarrow$Der Term $f_a(\frac{a^2}{3})$ ist für $a=3$ maximal.

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Die Gleichung $v^{\prime }(t)=0$ hat die beiden Lösungen $x_1\approx \mathrm{2,228}$ und $x_2\approx \mathrm{14,021}$.

Wegen $v^{\prime \prime }(\mathrm{14,021})>0$ liegt bei $x_2$ ein Tiefpunkt vor.

Es ist $v(\mathrm{14,021})\approx -\mathrm{6,334}\Rightarrow TP(14|-\mathrm{6,3})$

Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ sind etwa $(14|-\mathrm{6,3})$.

Interpretiere die Werte im Sachkontext

Etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die größte Sinkgeschwindigkeit von $U1$ etwa $\mathrm{6,3}{\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{min}}}$.

Interpretiere die Aussage: $v(t)<0$ und $v^{\prime }(t)>0$ in Bezug auf die Bewegung von $U1$ in diesem Zeitraum

Wegen $v(t)<0$ sinkt $U1$. Wegen $v^{\prime }(t)>0$ ist die momentane Änderungsrate

der Geschwindigkeit von $U1$ positiv. Also sinkt $U1$ in diesem Zeitraum immer

langsamer.

Ermittle den Abstand von $U1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

$v(t)=-\frac{6}{25}t\cdot (4t-25)\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot t}$

Betrachte den Term $4t-25$.

Für $t>{\displaystyle \frac{25}{4}}=\mathrm{6,25}$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v(t)<0$.

Für $t<\mathrm{6,25}$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v(t)>0$.

Somit gilt: $v(t)>0$ für $0<t<\mathrm{6,25}$ und $v(t)<0$ für $\mathrm{6,25}<t<30$.

$U1$ hat somit $\mathrm{6,25}$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand

zur Wasseroberfläche.

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U1$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:

Der Abstand von $U1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $\mathrm{31,7}\text{m}$.

Erläutere, wie man $t_H$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann

Bei der t-Koordinate $t_s$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$innerhalb der ersten Minuten wechselt $w(t)<v(t)$ zu $v(t)<w(t)$. Somit

nimmt der vertikale Abstand von $U1$ und $U2$ bis zum Zeitpunkt $t_s$ zu und danach

wieder ab. Folglich ist $t_H=t_s$.

Gib einen Term zur Berechnung von $y_H$ an

$U_2$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_1$.

$$\Rightarrow y_H=5+{\displaystyle {\int }_0^{t_s}(v(t)-w(t))\mathrm{d}t}$$

Gib die Nullstellen von $f$ an

$f(t)=\mathrm{1,081}\cdot (1-e^{-t})-\mathrm{0,15}\cdot t$

$\text{Löse}(f(t)=0,t)$ mit den beiden Lösungen $t_1=0$ und $t_2\approx \mathrm{7,2}$.

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $\mathrm{7,2}$.

Begründe, dass das Intervall $[0;\mathrm{7,2}]$ eine angemessene Einschränkung des Definitionsbereichs der Funktion $f$ für den Sachzusammenhang ist

Da die BAK nur positive Werte hat, sollte der Definitionsbereich auf das Intervall

zwischen den Nullstellen eingeschränkt werden$\Rightarrow [0;\mathrm{7,2}]$.

Berechne die maximale BAK der betrachteten Person

$\text{Löse}(f^{\prime }(t)=0,t)$ mit der Lösung $t=\ln \left({\displaystyle \frac{1081}{150}}\right)$.

Berechne $f\left({\displaystyle \frac{1081}{150}}\right)$:

$f\left({\displaystyle \frac{1081}{150}}\right)\approx \mathrm{0,63}$

Die maximale BAK beträgt demnach etwa $\mathrm{0,63}\frac{\text{g}}{\text{kg}}$.

Bestimme den Zeitraum, in dem die Person nicht Auto fahren darf

Es soll $f(t)\ge \mathrm{0,5}$ sein:

$\text{Löse}(f(t)=0.5,t)$ mit den beiden Lösungen $t_1\approx \mathrm{0,88}$ und $t_2\approx \mathrm{3,69}$.

Im Zeitraum von etwa $\mathrm{0,88}$ Stunden bis $\mathrm{3,69}$ Stunden nach dem Trinken darf die Person kein Auto fahren.

Zeige, dass die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person $\mathrm{1,081}\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ beträgt

Der y-Achsenabschnitt des Graphen der linearen Funktion wird als theoretische maximale BAK bezeichnet. Der y-Achsenabschnitt $(h(0))$ der Funktion $h$ ist $\mathrm{1,081}$.

Demnach ist $\mathrm{1,081}\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ die theoretische maximale BAK für die betrachtete Person.

Berechne die theoretische maximale BAK der zweiten Person

Die lineare Funktion der zweiten Person ist $g(t)=m\cdot t+b$.

Gegeben ist $g(4)=\mathrm{0,48}$ und $g(\mathrm{4,5})=\mathrm{0,39}$:

Dann folgt für die Steigung $m={\displaystyle \frac{\mathrm{0,39}-\mathrm{0,48}}{\mathrm{4,5}-4}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,5}}}=-\mathrm{0,18}$

Setze die Koordinaten des Punktes $(4|\mathrm{0,48})$ in $g(t)=-\mathrm{0,18}\cdot t+b$ ein:

$\mathrm{0,48}=-\mathrm{0,18}\cdot 4+b\Rightarrow b=\mathrm{0,48}+\mathrm{0,72}=\mathrm{1,2}$

Die theoretische maximale BAK der zweiten Person ist $\mathrm{1,2}\frac{\text{g}}{\text{kg}}$.

Begründe mit Hilfe des Terms von $f$, dass die Werte der BAK der ersten betrachteten Person zu jedem Zeitpunkt kleiner sind als ihre theoretische maximale BAK

$\mathrm{1,081}\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ ist die theoretische maximale BAK für die 1. Person.

Es wird behauptet, dass $\mathrm{1,081}>\mathrm{1,081}\cdot (1-e^{-t})-\mathrm{0,15}\cdot t$:

Es gilt für $t\ge 0$:

$\underset{<\mathrm{1,081}}{\underbrace{\underset{<\mathrm{1,081}}{\underbrace{\mathrm{1,081}\cdot (\underset{<1}{\underbrace{1-\underset{>0}{\underbrace{e^{-t}}}}}}})-\mathrm{0,15}\cdot t}}$

Die Behauptung stimmt. $\Rightarrow \mathrm{1,081}>\mathrm{1,081}\cdot (1-e^{-t})-\mathrm{0,15}\cdot t$

Zeige, dass $f$ eine Lösung der Differenzialgleichung (DGL) ist

$f(t)=\mathrm{1,081}\cdot (1-e^{-t})-\mathrm{0,15}\cdot t=\mathrm{1,081}-\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}\cdot t$

Bilde die 1. Ableitung von $f(t)$:

$f^{\prime }(t)=\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}$

Setze $k=1$, $G=\mathrm{1,081}$, $m=\mathrm{0,15}$, $f^{\prime }(t)$ und $f(t)$ in die DGL ein:

$\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}=1\cdot (\mathrm{1,081}-(\mathrm{1,081}-\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}\cdot t+\mathrm{0,15}\cdot t))-\mathrm{0,15}$

Löse die Klammer auf:

$\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}=1\cdot (\mathrm{1,081}-\mathrm{1,081}+\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}+\mathrm{0,15}\cdot t-\mathrm{0,15}\cdot t)-\mathrm{0,15}$

Fasse zusammen:

$\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}=\mathrm{1,081}\cdot e^{-t}-\mathrm{0,15}$

Du hast eine Gleichung erhalten, die für alle $t\in ℝ$ eine wahre Aussage ist.

Bestimme alle Werte von $m$ so, dass die BAK zu keinem Zeitpunkt den Wert von $\mathrm{0,5}\frac{\text{g}}{\text{kg}}$ überschreitet

Gesucht ist eine Extremstelle von $f_m(t)$.

Berechne $f_m^{\prime }(t)=0$:

Du erhältst die Lösung $t_E=\ln \left({\displaystyle \frac{1081}{1000m}}\right)$

Weiterhin gilt: $f^{\prime \prime }(t_e)=-m<0$, d.h. hier liegt ein lokales Maximum vor.

Gefordert ist nun:

$f_m(t_E)=\mathrm{0,5}$.

Man erhält die beiden Lösungen $m_1\approx \mathrm{0,22682...}$ und $m_2\approx \mathrm{2,27659...}$.

Mit $f_m(t_E)<\mathrm{0,5}$ für $m_1<m<m_2$ ergeben sich die gesuchten Werte $m$ zu$m_1<m<\mathrm{1,081}$.

Anmerkung: $0<m<\mathrm{1,081}$ ist in der Aufgabe vorgegeben.

Zeige, dass jede Funktion der Schar ein lokales Maximum an der Stelle $x={\displaystyle \frac{\ln (10\cdot a)}{a}}$ hat.

Die möglichen Extremstellen der Schar ergeben sich mit dem Ansatz $p_a{}^{\prime }(x)=0$.

Dies führt zur Lösung:

$x_1={\displaystyle \frac{\ln (10\cdot a)}{a}}$

Mit $p_a{}^{\prime \prime }(x_1)=-{\displaystyle \frac{a}{5}}<0$, für $a>0$⁣ folgt dann die Aussage.

Begründe, dass die x-Koordinaten der Hochpunkte mit wachsenden Werten von $a$ kleiner werden

Betrachte eine neue Funktion $q(a)={\displaystyle \frac{\ln (10\cdot a)}{a}}$.

Die möglichen Extremstellen der Funktion $q$ ergeben sich mit dem Ansatz $q{}^{\prime }(a)=0$.

Dies führt auf die einzige Lösung: $a={\displaystyle \frac{e}{10}}$

Weiterhin gilt:

$q{}^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{e}{10}}\right)=-{\displaystyle \frac{1000}{e^3}}<0$

An der Stelle $a={\displaystyle \frac{e}{10}}$ liegt ein Maximum vor.

Für $a>{\displaystyle \frac{e}{10}}$ werden deshalb die x-Koordinaten der Hochpunkte für wachsende Werte von $a$ kleiner.

Bestimme $u$

Im Intervall $[0;1]$ gilt:

Alle Funktionswerte von $p_3$ sind für $0<x\le 1$ größer als die Funktionswerte von $p_{\mathrm{0,5}}$.

Das führt zu dem Ansatz:

$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^1(p_3-p_{\mathrm{0,5}})\mathrm{d}x={\displaystyle {\int }_0^u(p_3-p_{\mathrm{0,5}})\mathrm{d}x}}$$

Man erhält die relevante Lösung $u\approx \mathrm{0,59}$.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt

$X$: Anzahl der Personen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren

$X$ ist binomialverteilt mit $n=500$ und $p=\mathrm{0,3}$.

Ein Viertel von $500$ Personen sind $125$ Personen.

Berechne $P(X\ge 125)=\text{binomCdf}(\mathrm{500,0.3,125,500})\approx \mathrm{0,9942}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt rund $99\%$.

Gib dieses Ereignis an

Es ist $n=200$, $k=55$ und $p=\mathrm{0,3}$.

Es gilt dann:

$P(X\ge 55)=1-P(X<55)\Rightarrow P(X<55)=1-P(X\ge 55)$

Demnach ist:

$$P(X<55)=1-P(X\ge 55)=1-{\displaystyle \sum _{k=55}^{200}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{200}{k}\right)\cdot {\mathrm{0,3}}^k\cdot {\mathrm{0,7}}^{200-k}}$$.

Zufallsexperiment: $200$ Personen der betrachteten Gruppe werden zufällig

ausgewählt.

Ereignis: $P(X<55)$ bedeutet, dass weniger als $55$ Personen sich häufig von Fertiggerichten ernähren.

Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28\%$ beträgt

Gegeben ist $P(Z\cap F)=\mathrm{0,24}$ und $P(F)=\mathrm{0,3}$ sowie $P(\overline{F})=\mathrm{0,7}$

(siehe Aufgabe a).

Dann ist $P_F(Z)={\displaystyle \frac{P(Z\cap F)}{P(F)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{0,8}$.

Gesucht ist $P(Z\cap \overline{F})$.

Bekannt ist: Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren.

Das bedeutet:

$P_F(Z)=2\cdot P_{\overline{F}}(Z)\Rightarrow P_{\overline{F}}(Z)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot P_F(Z)$

Dann ist $P(Z\cap \overline{F})=P(\overline{F})\cdot P_{\overline{F}}(Z)=P(\overline{F})\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot P_F(Z)=\mathrm{0,7}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,28}$

Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt $28\%$.

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

Bekannt sind bisher:

$P(F)=\mathrm{0,3},P(\overline{F})=\mathrm{0,7};P(Z\cap F)=\mathrm{0,24},P(Z\cap \overline{F})=\mathrm{0,28}$

Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein:

Addiere die Werte in der 1. Zeile: $\mathrm{0,24}+\mathrm{0,28}=\mathrm{0,52}$

Dann folgen:

$P(\overline{Z})=1-\mathrm{0,52}=\mathrm{0,48}$

$P(\overline{Z}\cap F)=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,24}=\mathrm{0,06}$

$P(\overline{Z}\cap \overline{F})=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,28}=\mathrm{0,48}$

Ergänze die Werte in der Vierfeldertafel:

Gib die Werte von $a$ und $b$ an

Die senkrechte Gerade für $p=\mathrm{0,35}$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $(\mathrm{0,35}|\mathrm{0,2839})$ und den Graphen von $g$ im Punkt $(\mathrm{0,35}|\mathrm{0,4161})$.

Graphische Lösung:

Man findet $a\approx \mathrm{0,284}$ und $b\approx \mathrm{0,416}$.

Rechnerische Lösung:

Setze $p=\mathrm{0,35}$ in $f(p)=p-\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{200}}$ ein:

$f(\mathrm{0,35})=\mathrm{0,35}-\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{\frac{\mathrm{0,35}\cdot (1-\mathrm{0,35})}{200}}\approx \mathrm{0,28389...}$

Setze $p=\mathrm{0,35}$ in $g(p)=p+\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{200}}$ ein:

$g(\mathrm{0,35})=\mathrm{0,35}+\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{\frac{\mathrm{0,35}\cdot (1-\mathrm{0,35})}{200}}\approx \mathrm{0,41610...}$

Man findet $a\approx \mathrm{0,284}$ und $b\approx \mathrm{0,416}$.

Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a\le y\le b$

Das Intervall $[a;b]$ ist das $95\%$-Prognoseintervall zu $p=\mathrm{0,35}$.

(Der Wert $\mathrm{1,96}$ in den Funktionstermen von $f$ und $g$ gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\%$.)

Gegeben ist weiterhin:

Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen$\Rightarrow h={\displaystyle \frac{86}{200}}=\mathrm{0,43}$.

Nun ist aber $h=\mathrm{0,43}>b(\text{die\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}rechte Intervallgrenze\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}ist}\mathrm{0,416})$.

Damit ist das Umfrageergebnis bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\%$ nicht mit der Annahme $p=\mathrm{0,35}$ verträglich.

Für $n=300$ erhält man die Schnittstellen der Graphen der Funktionen mit den Termen $p_{min}+\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{\frac{p_{min}\cdot (1-p_{min})}{n}}$ bzw. $p_{max}-\mathrm{1,96}\cdot \sqrt{\frac{p_{max}\cdot (1-p_{max})}{n}}$

und $h=\mathrm{0,61}$:

$p_{min1}\approx \mathrm{0,554}$ und $p_{max1}\approx \mathrm{0,663}$

Siehe die folgende Abbildung:

Für $n=400$ erhält man die folgende Abbildung:

Hier ist $p_{min2}\approx \mathrm{0,561}$ und $p_{max2}\approx \mathrm{0,657}$.

Die Schnittstellen geben jeweils die Ränder des zugehörigen Konfidenzintervalls

an.

Da $p_{max1}-p_{min1}\approx \mathrm{0,109}>\mathrm{0,1}$ und $p_{max2}-p_{min2}\approx \mathrm{0,096}<\mathrm{0,1}$ und die Länge der Konfidenzintervalle mit wachsendem $n$ kleiner wird, liegt der kleinstmögliche Wert zwischen $300$ und $400$.

Festlegung:

$A$: „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Pkw ausgestattet.“

$B$: „Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet.“

Gegeben sind $P(A)=\mathrm{0,6}$ und $P(B)=\mathrm{0,08}$. Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein.

Durch Differenzbildung findest Du zwei weitere Werte.

$P(\overline{A})=1-06=\mathrm{0,4}$

$P(\overline{B})=1-\mathrm{0,08}=\mathrm{0,92}$

Weiterhin ist bekannt, dass in $14\%$ der jungen Haushalte ohne Pkw $(P(\overline{A}))$ mindestens ein Lastenrad vorhanden ist.

$P(B\cap \overline{A})=\mathrm{0,14}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,56}$

Ergänze die Vierfeldertafel mit diesen Werten.

Die restlichen Felder erhältst Du durch Differenzbildung:

$P(B\cap A)=\mathrm{0,08}-\mathrm{0,056}=\mathrm{0,24}$

$P(\overline{B}\cap \overline{A})=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,056}=\mathrm{0,344}$

$P(\overline{B}\cap A)=\mathrm{0,92}-\mathrm{0,344}=\mathrm{0,576}$

Beurteile für diese Großstadt die Aussage

Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet, ist bei einem jungen Haushalt ohne Pkw...$\Rightarrow P_{\overline{A}}(B)$

Ein junger Haushalt ist mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet, ist bei einem jungen Haushalt mit mindestens einem Pkw...$\Rightarrow P_A(B)$

Die Aussage lautet nun: $P_{\overline{A}}(B)>3\cdot P_A(B)$

$\Rightarrow P_{\overline{A}}(B)={\displaystyle \frac{P(B\cap \overline{A})}{P(\overline{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,056}}{\mathrm{0,4}}}=\mathrm{0,14}$

und $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(B\cap A)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,024}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,04}$

Damit folgt dann: $\mathrm{0,14}>3\cdot \mathrm{0,04}=\mathrm{0,12}$

Die Aussage ist wahr.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind

$X$: Anzahl der Haushalte mit mindestens einem Lastenrad

$X$ ist binomialverteilt mit $n=300$ und $p=\mathrm{0,08}$

Berechne $P(21\le X\le 30)$:

$\text{binomCdf}(\mathrm{300,0.08,21,30})\approx \mathrm{0,680955}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $20$ und höchstens $30$ dieser Haushalte mit mindestens einem Lastenrad ausgestattet sind, beträgt rund $68\%$.

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $$1-{\displaystyle \sum _{𝑘=201}^{300}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{300}{𝑘}\right)\cdot {\mathrm{0,6}}^{𝑘}\cdot {\mathrm{0,4}}^{300-𝑘}}$$ berechnet werden kann

Im Term tritt die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,6}$ auf. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein junger Haushalt mit mindestens einem Pkw ausgestattet ist.

Weiterhin entnimmt man dem Term $n=300$ und $k=201$.

Der Summenterm berechnet somit die Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 201)$.

Dann ist die Gegenwahrscheinlichkeit $1-P(X\ge 201)=P(X\le 200)$

$P(X\le 200)$ besagt, dass höchstens 200 dieser Haushalte mit mindestens einem Pkw ausgestattet sind.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht

Gesucht ist $P(|V-{\mu }_V|\le 600)$:

Gegeben sind ${\mu }_V=6800\text{km}$ und ${\sigma }_V=530\text{km}$.

Dann ist folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:

$P(6800-600\le X\le 6800+600)=P(6200\le X\le 7400)$

$P(6200\le X\le 7400)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{7400-6800}{530}}\right)-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6200-6800}{530}}\right)$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{600}{530}}\right)-\mathrm{\Phi }(-{\displaystyle \frac{600}{530}})=2\cdot \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{600}{530}}\right)-1\approx 2\cdot \mathrm{0,8712}-1=\mathrm{0,7424}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Vorderradreifen eine Laufleistung hat, die um höchstens $600\text{km}$ vom Erwartungswert für diese Laufleistung abweicht, beträgt rund $74\%$.

Begründe, dass die Aussage für die Vorderrad- und Hinterradreifen wahr ist

Für den Vorderradreifen wird behauptet:

$P(V>c)=\mathrm{0,9}$

Es gilt: $P(X\ge a)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{a-\mu }{\sigma }}\right)$

Dann folgt:

$P(V>c)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{c-{\mu }_V}{{\sigma }_V}}\right)=\mathrm{0,9}$

$\mathrm{0,1}=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{c-6800}{530}}\right)$

$\mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{0,1}$ liefert $z\approx -\mathrm{1,282}$ und damit folgt die Gleichung:

$-\mathrm{1,282}={\displaystyle \frac{c-6800}{530}}$

Dann ist $c=-\mathrm{1,282}\cdot 530+6800\approx 6120$.

Betrachtet man nun einen Hinterradradreifen, dann kann $P(H<6120)$ berechnet werden:

Es gilt ${\mu }_H=4600\text{km}$ und ${\sigma }_H=480\text{km}$.

$P(H<6120)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6120-4600}{480}}\right)\approx \mathrm{\Phi }(\mathrm{3,167})\approx \mathrm{0,9992}$

Ein zufällig ausgewählter Hinterradradreifen hat wegen $P(H<6120)\approx \mathrm{0,9992}$ mit einer sehr großen Wahrscheinlichkeit eine Laufleistung von weniger als $6120\text{⁡}\text{km}$.

Die Aussage ist wahr.