Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_a(x) =\frac{1}{a^3}x^3 −\frac1ax^2 + x$ und $a\in\mathbb{R}^+$ .

Skizzieren Sie den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1.
Geben Sie die Extrempunkte von $f_{4}$ an. [5BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1
$f_4(x)=\dfrac{1}{64}x^3-\dfrac{1}{4}x^2+x$
Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an
$\text{Löse}(f_4'(x)=0)$ mit den beiden Lösungen $x=\dfrac{8}{3}$ und $x = 8$ .
$f_4(8)=0\;\Rightarrow\;TP(8|0)$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(8 ∣ 0)$ .
$f_4(\frac{8}{3})=\dfrac{32}{27}\approx1{,}2\;\Rightarrow\;HP\left(\frac{8}{3}|\frac{32}{27}\right)$
Der Hochpunkt hat etwa die Koordinaten $(2,7 ∣ 1,2)$ .
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Teil 1
Skizziere den Graphen von $f_{4} (x)$ .
Teil 2
$\text{Löse}(f'(x)=0)$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$ .
Berechne $f_{4} (x_{1})$ und $f_{4} (x_{2})$ .
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt.
[5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$
$f_{1}(x)=x^3-x^2+x$
$\text{Löse}(f_1(x)=f_4(x))$ :
Man erhält die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_2=\dfrac{16}{21}\approx0{,}76$ .
$f_{1} (0) = f_{4} (0) = 0$ und $f_1\left(\dfrac{16}{21}\right)=f_4\left(\dfrac{16}{21}\right)\approx0{,}62$
$\Rightarrow\;P_1(0|0)$ und $P_2(0{,}76|0{,}62)$
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ sind $(0 ∣ 0)$ und etwa $(0,76 ∣ 0,62)$ .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt
Es gilt unabhängig von $a$ :
$f_{a} (0) = 0$
Betrachte z.B. die Funktion $f_3(x)=\dfrac{1}{27}x^3-\dfrac{1}{3}x^2+x$ und berechne $f_3(\frac{16}{21})$ : $f_3(\frac{16}{21})\approx 0{,}58\neq f_4(\frac{16}{21})\approx0{,}62$
Demnach gibt es nur den Punkt $(0 ∣ 0)$ der auf allen Graphen der Funktionenschar liegt.
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Teil 1
$\text{Löse}(f_1(x)=f_4(x))$ $\;\Rightarrow\;$ $x_{1}$ und $x_{2}$
Berechne $f_{1} (x_{1})$ und $f_1(x_2)\;\Rightarrow\;P_1(x_1|f_1(x_1))$ und $P_{1} (x_{2} ∣ f_{1} (x_{2}))$
Teil 2
Welcher Funktionswert ist unabhängig von $a$ ?
Betrachte z.B. die Funktion $f_{3} (x)$ . Berechne $f_{3} (x_{2})$ und vergleiche mit $f_{4} (x_{2})$ .
Die Gleichung $f_{a} (x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\frac{a^2−\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ und $0$ und $\frac{a^2+\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme
Es gilt: $a\in\mathbb{R}^+$
Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot(a-4)$ in den beiden Termen $\frac{a^2\pm\sqrt{a^3⋅(a−4)}}{2}$ .
Für $a > 4$ ist $D>0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $3$ Nullstellen.
Für $a = 4$ ist $D=0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $2$ Nullstellen.
Für $a < 4$ ist $D<0\;\Rightarrow\; G_{f_a}$ hat $1$ Nullstelle.
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Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D=a^3\cdot(a-4)$
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac {a^2}{3}|y_a)$ .
Bestimmen Sie den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac {a^2}{3}|y_a)$ .
$\Rightarrow\;x_{WP}=\dfrac{a^2}{3}$
Berechne $f_a(\frac{a^2}{3})$ :
Es ist $f_a(\frac{a^2}{3})=f(a)=-\dfrac{2}{27}\cdot a^3+\dfrac{1}{3}\cdot a^2$ .
$f^{'} (a) = 0$ liefert die Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$ .
$f''(3)=-\dfrac{18}{27}<0\;\Rightarrow\;$ Der Term $f_a(\frac{a^2}{3})$ ist für $a = 3$ maximal.
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Berechne $f_a(\frac{a^2}{3})$ und finde das Maximum von $f_a(\frac{a^2}{3})=f(a)$ .
Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U 1$ und $U 2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \le t \le 30$ durch die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$ und $w(t) =\frac{1}{216}t^3 −\dfrac{1}{6}t^2 + t$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v (t)$ ist die
Geschwindigkeit von $U 1$ in Meter pro Minute und $w (t)$ ist die Geschwindigkeit von $U 2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und
interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
Die Gleichung $v^{'} (t) = 0$ hat die beiden Lösungen $x_1\approx 2{,}228$ und $x_2\approx14{,}021$ .
Wegen $v^{''} (14,021) > 0$ liegt bei $x_{2}$ ein Tiefpunkt vor.
Es ist $v(14{,}021)\approx-6{,}334\;\Rightarrow\;TP(14|-6{,}3)$
Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ sind etwa $(14 ∣ - 6,3)$ .
Interpretiere die Werte im Sachkontext
Etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die größte Sinkgeschwindigkeit von $U 1$ etwa $6{,}3 \;\dfrac{\text{m}}{\text{min}}$ .
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Löse die Gleichung $v'(t)=0\;\Rightarrow\;t_1$ und $t_{2}$ .
Überprüfe mit $v''(t_{1})>0$ oder $v^{''} (t_{2}) > 0$ an welcher Stelle $t_{P}$ sich der Tiefpunkt befindet.
Berechne $v (t_{P})$ $\;\Rightarrow\;TP(t_P|v(t_P))$
Zu der Zeit $t_{P}$ nach Beobachtungsbeginn hat $U 1$ die größte Sinkgeschwindigkeit.
Mit $v^{'}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten
Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die momentane Änderungsrate - Ganz mathematisch!
Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum
Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U 1$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate
der Geschwindigkeit von $U 1$ positiv. Also sinkt $U 1$ in diesem Zeitraum immer
langsamer.
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Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ ?
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche
des Sees $10$ Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Integral
Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
$v(t) = −\frac{6}{25}t \cdot (4t − 25) ⋅ e^{−\frac15\cdot t}$
Betrachte den Term $4 t - 25$ .
Für $t>\dfrac{25}{4}=6{,}25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
$U 1$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand
zur Wasseroberfläche.
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
Der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31{,}7\;\text{m}$ .
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Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist.
Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U 1$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
Zu Beobachtungsbeginn: $10+\displaystyle\int_0^{t_x}v(t)\;\mathrm{d}t$
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ und steigt langsamer als $U_{1}$ .
Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander.
Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H (t_{H} ∣ y_{H})$ .
Erläutern Sie, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln
kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann
Bei der t-Koordinate $t_{s}$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w (t) < v (t)$ zu $v (t) < w (t)$ . Somit
nimmt der vertikale Abstand von $U 1$ und $U 2$ bis zum Zeitpunkt $t_{s}$ zu und danach
wieder ab. Folglich ist $t_{H} = t_{s}$ .
Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .
$\Rightarrow\;y_H = 5 + \displaystyle\int_0^{t_s}(v(t)-w(t))\;\mathrm{d}t$
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Innerhalb der ersten Minuten gibt es einen Schnittpunkt der Graphen von $v$ und $w$ .
Was passiert zu diesem Zeitpunkt?
Beachte: $U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .

Aufgabe 1A

Skizziere den Graphen von f4f_4f4​ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von f4f_4f4​ an

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Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von f1f_1f1​ und f4f_4f4​

Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt

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Gib die Anzahl der Nullstellen von faf_afa​ in Abhängigkeit von 𝑎𝑎a an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

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Bestimme den Wert von 𝑎𝑎a zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate

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Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von vvv

Interpretiere die Werte im Sachkontext

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Interpretiere die Aussage: v(t)<0v(t) < 0v(t)<0 und v′(t)>0v'(t) > 0v′(t)>0 in Bezug auf die Bewegung von U1U1U1 in diesem Zeitraum

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Ermittle den Abstand von U1U1U1 zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

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Erläutere, wie man tHt_HtH​ anhand der Graphen von vvv und www ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von yHy_HyH​ an

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Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1

Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme

Bestimme den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$

Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum

Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn

Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann

Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an