Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $ℝ$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit

$f_{a} (x) = \frac{1}{a^{3}} x^{3} - \frac{1}{a} x^{2} + x$ und $a \in ℝ^{+}$ .

Skizzieren Sie den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1.
Geben Sie die Extrempunkte von $f_{4}$ an. [5BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Skizziere den Graphen von $f_{4}$ in Abbildung 1
$f_{4} (x) = \frac{1}{64} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x$
Gib die Extrempunkte von $f_{4}$ an
$Löse (f_{4}^{'} (x) = 0)$ mit den beiden Lösungen $x = \frac{8}{3}$ und $x = 8$ .
$f_{4} (8) = 0 \Rightarrow T P (8 | 0)$
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $(8 | 0)$ .
$f_{4} (\frac{8}{3}) = \frac{32}{27} \approx 1,2 \Rightarrow H P (\frac{8}{3} | \frac{32}{27})$
Der Hochpunkt hat etwa die Koordinaten $(2,7 | 1,2)$ .
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Teil 1
Skizziere den Graphen von $f_{4} (x)$ .
Teil 2
$Löse (f^{'} (x) = 0)$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
Berechne $f_{4} (x_{1})$ und $f_{4} (x_{2})$ .
Ermitteln Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt.
[5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$
$f_{1} (x) = x^{3} - x^{2} + x$
$Löse (f_{1} (x) = f_{4} (x))$ :
Man erhält die beiden Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = \frac{16}{21} \approx 0,76$ .
$f_{1} (0) = f_{4} (0) = 0$ und $f_{1} (\frac{16}{21}) = f_{4} (\frac{16}{21}) \approx 0,62$
$\Rightarrow P_{1} (0 | 0)$ und $P_{2} (0,76 | 0,62)$
Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_{1}$ und $f_{4}$ sind $(0 | 0)$ und etwa $(0,76 | 0,62)$ .
Weisen Sie nach, dass es nur einen Punkt gibt, der auf allen Graphen der Schar liegt
Es gilt unabhängig von $a$ :
$f_{a} (0) = 0$
Betrachte z.B. die Funktion $f_{3} (x) = \frac{1}{27} x^{3} - \frac{1}{3} x^{2} + x$ und berechne $f_{3} (\frac{16}{21})$ : $f_{3} (\frac{16}{21}) \approx 0,58 \neq f_{4} (\frac{16}{21}) \approx 0,62$
Demnach gibt es nur den Punkt $(0 | 0)$ der auf allen Graphen der Funktionenschar liegt.
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Teil 1
$Löse (f_{1} (x) = f_{4} (x))$ $\Rightarrow$ $x_{1}$ und $x_{2}$
Berechne $f_{1} (x_{1})$ und $f_{1} (x_{2}) \Rightarrow P_{1} (x_{1} | f_{1} (x_{1}))$ und $P_{1} (x_{2} | f_{1} (x_{2}))$
Teil 2
Welcher Funktionswert ist unabhängig von $a$ ?
Betrachte z.B. die Funktion $f_{3} (x)$ . Berechne $f_{3} (x_{2})$ und vergleiche mit $f_{4} (x_{2})$ .
Die Gleichung $f_{a} (x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen $\frac{a^{2} - \sqrt{a^{3} \cdot (a - 4)}}{2}$ und $0$ und $\frac{a^{2} + \sqrt{a^{3} \cdot (a - 4)}}{2}$ .
Geben Sie die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand der obigen Terme. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diskriminante
Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_{a}$ in Abhängigkeit von $𝑎$ an und begründe Deine Angabe anhand der gegebenen Terme
Es gilt: $a \in ℝ^{+}$
Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D = a^{3} \cdot (a - 4)$ in den beiden Termen $\frac{a^{2} \pm \sqrt{a^{3} \cdot (a - 4)}}{2}$ .
Für $a > 4$ ist $D > 0 \Rightarrow G_{f_{a}}$ hat $3$ Nullstellen.
Für $a = 4$ ist $D = 0 \Rightarrow G_{f_{a}}$ hat $2$ Nullstellen.
Für $a < 4$ ist $D < 0 \Rightarrow G_{f_{a}}$ hat $1$ Nullstelle.
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Entscheidend für die Anzahl der Nullstellen ist der Wert der Diskriminante $D = a^{3} \cdot (a - 4)$
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac{a^{2}}{3} | y_{a})$ .
Bestimmen Sie den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate. [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme den Wert von $𝑎$ zu dem Wendepunkt mit der größten y-Koordinate
Der Graph jeder Funktion $f_{a}$ hat genau einen Wendepunkt $(\frac{a^{2}}{3} | y_{a})$ .
$\Rightarrow x_{W P} = \frac{a^{2}}{3}$
Berechne $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ :
Es ist $f_{a} (\frac{a^{2}}{3}) = f (a) = - \frac{2}{27} \cdot a^{3} + \frac{1}{3} \cdot a^{2}$ .
$f^{'} (a) = 0$ liefert die Lösungen $x_{1} = 0$ und $x_{2} = 3$ .
$f^{''} (3) = - \frac{18}{27} < 0 \Rightarrow$ Der Term $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ ist für $a = 3$ maximal.
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Berechne $f_{a} (\frac{a^{2}}{3})$ und finde das Maximum von $f_{a} (\frac{a^{2}}{3}) = f (a)$ .
Für ein Umweltschutzprojekt nehmen zwei Unterwasserdrohnen $U 1$ und $U 2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vor. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d.h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten werden für $0 \leq t \leq 30$ durch die in $ℝ$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschrieben, wobei gilt:
$v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} \cdot t}$ und $w (t) = \frac{1}{216} t^{3} - \frac{1}{6} t^{2} + t$
Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten. $v (t)$ ist die
Geschwindigkeit von $U 1$ in Meter pro Minute und $w (t)$ ist die Geschwindigkeit von $U 2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und
interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$
Die Gleichung $v^{'} (t) = 0$ hat die beiden Lösungen $x_{1} \approx 2,228$ und $x_{2} \approx 14,021$ .
Wegen $v^{''} (14,021) > 0$ liegt bei $x_{2}$ ein Tiefpunkt vor.
Es ist $v (14,021) \approx - 6,334 \Rightarrow T P (14 | - 6,3)$
Die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ sind etwa $(14 | - 6,3)$ .
Interpretiere die Werte im Sachkontext
Etwa $14$ Minuten nach Beobachtungsbeginn beträgt die größte Sinkgeschwindigkeit von $U 1$ etwa $6,3 \frac{m}{min}$ .
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Löse die Gleichung $v^{'} (t) = 0 \Rightarrow t_{1}$ und $t_{2}$ .
Überprüfe mit $v^{''} (t_{1}) > 0$ oder $v^{''} (t_{2}) > 0$ an welcher Stelle $t_{P}$ sich der Tiefpunkt befindet.
Berechne $v (t_{P})$ $\Rightarrow T P (t_{P} | v (t_{P}))$
Zu der Zeit $t_{P}$ nach Beobachtungsbeginn hat $U 1$ die größte Sinkgeschwindigkeit.
Mit $v^{'}$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet. Innerhalb eines bestimmten
Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$
Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die momentane Änderungsrate - Ganz mathematisch!
Interpretiere die Aussage: $v (t) < 0$ und $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ in diesem Zeitraum
Wegen $v (t) < 0$ sinkt $U 1$ . Wegen $v^{'} (t) > 0$ ist die momentane Änderungsrate
der Geschwindigkeit von $U 1$ positiv. Also sinkt $U 1$ in diesem Zeitraum immer
langsamer.
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Was bedeutet $v (t) < 0$ und was bedeutet $v^{'} (t) > 0$ in Bezug auf die Bewegung von $U 1$ ?
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche
des Sees $10$ Meter.
Ermitteln Sie den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Integral
Ermittle den Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn
$v (t) = - \frac{6}{25} t \cdot (4 t - 25) \cdot e^{- \frac{1}{5} \cdot t}$
Betrachte den Term $4 t - 25$ .
Für $t > \frac{25}{4} = 6,25$ ist der Term größer null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) < 0$ .
Für $t < 6,25$ ist der Term kleiner null und wegen des Minuszeichens am Anfang ist dann $v (t) > 0$ .
Somit gilt: $v (t) > 0$ für $0 < t < 6,25$ und $v (t) < 0$ für $6,25 < t < 30$ .
$U 1$ hat somit $6,25$ Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand
zur Wasseroberfläche.
Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees $10$ Meter. Dann berechnet sich der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern:
Der Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn beträgt rund $31,7 m$ .
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Untersuche, in welchem Zeitraum $v (t)$ größer bzw. kleiner $0$ ist.
Zur Zeit $t_{x}$ , bei der sich das Vorzeichen von $v (t)$ ändert, hat $U 1$ den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.
Der geringste Abstand von $U 1$ zur Wasseroberfläche des Sees beträgt $10$ Meter.
Zu Beobachtungsbeginn: $10 + \int_{0}^{t_{x}} v (t) d t$
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ und steigt langsamer als $U_{1}$ .
Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander.
Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H (t_{H} | y_{H})$ .
Erläutern Sie, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln
kann, und geben Sie einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an. [6 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Erläutere, wie man $t_{H}$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann
Bei der t-Koordinate $t_{s}$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w (t) < v (t)$ zu $v (t) < w (t)$ . Somit
nimmt der vertikale Abstand von $U 1$ und $U 2$ bis zum Zeitpunkt $t_{s}$ zu und danach
wieder ab. Folglich ist $t_{H} = t_{s}$ .
Gib einen Term zur Berechnung von $y_{H}$ an
$U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .
$\Rightarrow y_{H} = 5 + \int_{0}^{t_{s}} (v (t) - w (t)) d t$
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Innerhalb der ersten Minuten gibt es einen Schnittpunkt der Graphen von $v$ und $w$ .
Was passiert zu diesem Zeitpunkt?
Beachte: $U_{2}$ ist zu Beobachtungsbeginn $5$ Meter tiefer als $U_{1}$ .