Wahlteil - CAS - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2A

Ein Institut für Ernährungsforschung untersucht die Essgewohnheiten von in Deutschland lebenden Personen einer bestimmten Altersgruppe. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass sich $30 %$ der Personen der betrachteten Gruppe häufig von Fertiggerichten ernähren.

Es werden $500$ Personen der betrachteten Gruppe zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser
Personen häufig von Fertiggerichten ernährt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt
$X$ : Anzahl der Personen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren
$X$ ist binomialverteilt mit $n = 500$ und $p = 0,3$ .
Ein Viertel von $500$ Personen sind $125$ Personen.
Berechne $P(X\geq 125)=\text{binomCdf}(500{,}0.3{,}125{,}500)\approx0{,}9942$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt rund $99 %$ .
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Berechne ein Viertel von $500$ .
Berechne $P(X\geq 125)$ .
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term
$1-\displaystyle\sum^{200}_{k=55}\binom{200}{k}\cdot 0{,}3^k\cdot 0{,}7^{200−k}$
berechnet werden kann. Geben Sie dieses Ereignis an. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Gib dieses Ereignis an
Es ist $n = 200$ , $k = 55$ und $p = 0,3$ .
Es gilt dann:
$P(X\geq 55)=1-P(X<55)\;\Rightarrow\;P(X<55)=1- P(X\geq 55)$
Demnach ist:
$P(X<55)=1- P(X\geq 55)=1-\displaystyle\sum^{200}_{k=55}\binom{200}{k}\cdot 0{,}3^k\cdot 0{,}7^{200−k}$ .
Zufallsexperiment: $200$ Personen der betrachteten Gruppe werden zufällig
ausgewählt.
Ereignis: $P (X < 55)$ bedeutet, dass weniger als $55$ Personen sich häufig von Fertiggerichten ernähren.
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Es ist $n = 200$ , $k = 55$ und $p = 0,3$ .
Interpretiere dann den Ausdruck $1-\displaystyle\sum^{200}_{k=55}\binom{200}{k}\cdot 0{,}3^k\cdot 0{,}7^{200−k}$ .
Neben der Ernährung durch Fertiggerichte wird auch der Verzehr von Zucker untersucht. Der Anteil der Personen der betrachteten Gruppe, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren und zu viel Zucker verzehren, beträgt $24 %$ .
Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren. Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt.
Untersucht werden folgende Ereignisse:
- $F$ : „Die Person ernährt sich häufig von Fertiggerichten.“
- $Z$ : „Die Person verzehrt zu viel Zucker.“
Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel
Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 %$ beträgt. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 %$ beträgt
Gegeben ist $P(Z\cap F)=0{,}24$ und $P (F) = 0,3$ sowie $P(\overline{F})=0{,}7$
(siehe Aufgabe a).
Dann ist $P_F(Z)=\dfrac{P(Z\cap F)}{P(F)}=\dfrac{0{,}24}{0{,}3}=0{,}8$ .
Gesucht ist $P(Z\cap \overline{F})$ .
Bekannt ist: Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren.
Das bedeutet:
$P_F(Z)=2\cdot P_{\overline{F}}(Z)\;\Rightarrow\;P_{\overline{F}}(Z)=\dfrac{1}{2}\cdot P_F(Z)$
Dann ist $P(Z\cap \overline{F})=P(\overline{F})\cdot P_{\overline{F}}(Z)=P(\overline{F}) \cdot \dfrac{1}{2}\cdot P_F(Z)=0{,}7\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 0{,}8=0{,}28$
Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, beträgt $28 %$ .
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Gegeben ist $P(Z\cap F)=0{,}24$ und $P (F) = 0,3$ sowie $P(\overline{F})=0{,}7$ (siehe Aufgabe a).
Berechne $P_{F} (Z)$ .
Bekannt ist: Der Anteil der Personen, die zu viel Zucker verzehren, ist unter denjenigen, die sich häufig von Fertiggerichten ernähren, doppelt so groß wie unter denjenigen, die sich nicht häufig von Fertiggerichten ernähren. Das bedeutet: $P_F(Z)=2\cdot P_{\overline{F}}(Z)$
Gesucht ist $P(Z\cap \overline{F})$ . Forme entsprechend um.
Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar
Bekannt sind bisher:
$P(F)=0{,}3,\;P(\overline{F})=0{,}7;\;P(Z\cap F)=0{,}24,\;P(Z\cap \overline{F})=0{,}28$
Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein:
Addiere die Werte in der 1. Zeile: $0,24 + 0,28 = 0,52$
Dann folgen:
$P(\overline{Z})=1-0{,}52=0{,}48$
$P(\overline{Z}\cap {F})=0{,}3-0{,}24=0{,}06$
$P(\overline{Z}\cap \overline{F})=0{,}7-0{,}28=0{,}48$
Ergänze die Werte in der Vierfeldertafel:
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Bekannt sind bisher: $P(F)=0{,}3,\;P(\overline{F})=0{,}7;\;P(Z\cap F)=0{,}24,\;P(Z\cap \overline{F})=0{,}28$
Trage diese Werte in die Vierfeldertafel ein und ergänze die fehlenden Werte.
Das Institut untersucht den Anteil $p$ der Personen der betrachteten Gruppe, die einen
bestimmten zuckerfreien Müsliriegel gegenüber einem vergleichbaren zuckerhaltigen
Müsliriegel bevorzugen.
Aufgrund früherer Untersuchungen wird von einem Anteil $p$ von $35 %$ ausgegangen.
Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der
betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen.
Abgebildet sind die Graphen der für
$p \in [0; 1]$ definierten Funktionen
$f: p ↦ p − 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ und
$g: p ↦ p + 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ .
Geben Sie die Werte von $a$ und $b$ an.
Interpretieren Sie das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$ (vgl. Abbildung 1). [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prognoseintervalle
Gib die Werte von $a$ und $b$ an
Die senkrechte Gerade für $p = 0,35$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $(0,35 ∣ 0,2839)$ und den Graphen von $g$ im Punkt $(0,35 ∣ 0,4161)$ .
Graphische Lösung:
Man findet $a\approx 0{,}284$ und $b \approx 0{,}416$ .
Rechnerische Lösung:
Setze $p = 0,35$ in $f(p)= p − 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ ein:
$f(0{,}35)= 0{,}35 − 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{0{,}35⋅(1−0{,}35)}{200}} \approx0{,}28389...$
Setze $p = 0,35$ in $g(p)= p + 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{p⋅(1−p)}{200}}$ ein:
$g(0{,}35)= 0{,}35 + 1{,}96 ⋅ \sqrt{\frac{0{,}35⋅(1−0{,}35)}{200}} \approx0{,}41610...$
Man findet $a\approx 0{,}284$ und $b \approx 0{,}416$ .
Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$
Das Intervall $[a; b]$ ist das $95 %$ -Prognoseintervall zu $p = 0,35$ .
(Der Wert $1,96$ in den Funktionstermen von $f$ und $g$ gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95 %$ .)
Gegeben ist weiterhin:
Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen $\;\Rightarrow\;h=\dfrac{86}{200}=0{,}43$ .
Nun ist aber $h=0{,}43>b \;(\text{die\;rechte Intervallgrenze\;ist}\;0{,}416)$ .
Damit ist das Umfrageergebnis bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 %$ nicht mit der Annahme $p = 0,35$ verträglich.
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Teil 1
Die senkrechte Gerade für $p = 0,35$ schneidet den Graphen von $f$ im Punkt $(0,35 ∣ a)$ und den Graphen von $g$ im Punkt $(0,35 ∣ b)$ . Lies die Werte ab.
Teil 2
Der Wert $1,96$ in den Funktionstermen von $f$ und $g$ gehört zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95 %$ $\;\Rightarrow\;$ Prognoseintervall
Gegeben ist weiterhin: Bei einer Umfrage unter $200$ Personen der betrachteten Gruppe gaben $86$ Personen an, den zuckerfreien Müsliriegel zu bevorzugen.
Berechne die relative Häufigkeit $h$ und vergleiche mit dem Wert von $b$ .
Nach der Durchführung einer Werbemaßnahme für den zuckerfreien Müsliriegel möchte das Institut Anhaltspunkte darüber gewinnen, wie groß der Anteil $p$ inzwischen ist.
In der betrachteten Gruppe wurden daraufhin $n$ Personen befragt.
Die Auswertung ergab, dass etwa $61 %$ der befragten Personen den zuckerfreien Riegel bevorzugen. Das zugehörige $95 %$ -Konfidenzintervall, dessen Ränder mit den Gleichungen
$h = p_{max} − 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{max} \cdot (1−p_{max})}{n}$ und $h = p_{min} + 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{min}⋅(1−p_{min})}{ n}$
ermittelt werden, besitzt eine Länge, die kleiner als $0,1$ ist.
Zeigen Sie, dass der kleinstmögliche Wert von $n$ zwischen $300$ und $400$ liegt. [7 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konfidenzintervalle
Für $n = 300$ erhält man die Schnittstellen der Graphen der Funktionen mit den Termen $p_{min} + 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{min}⋅(1−p_{min})}{ n}$ bzw. $p_{max} − 1{,}96 \cdot \sqrt \frac{p_{max} \cdot (1−p_{max})}{n}$
und $h = 0,61$ :
$p_{min1} \approx 0{,}554$ und $p_{max1}\approx0{,}663$
Siehe die folgende Abbildung:
Für $n = 400$ erhält man die folgende Abbildung:
Hier ist $p_{min2}\approx0{,}561$ und $p_{max2}\approx 0{,}657$ .
Die Schnittstellen geben jeweils die Ränder des zugehörigen Konfidenzintervalls
an.
Da $p_{max1} − p_{min1} \approx 0{,}109 > 0{,}1$ und $p_{max2} − p_{min2} \approx 0{,}096 < 0{,}1$ und die Länge der Konfidenzintervalle mit wachsendem $n$ kleiner wird, liegt der kleinstmögliche Wert zwischen $300$ und $400$ .
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Bestimme graphisch das Konfidenzintervall für $n = 300$ und berechne die Intervalllänge $p_{max1} − p_{min1}$ .
Bestimme graphisch das Konfidenzintervall für $n = 400$ und berechne die Intervalllänge $p_{max2} − p_{min2}$ .
Vergleiche die beiden Intervalllängen mit der Intervalllänge $0,1$ .

Aufgabe 2A

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens ein Viertel dieser Personen häufig von Fertiggerichten ernährt

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Gib dieses Ereignis an

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, 28 %28\;\%28% beträgt

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Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar

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Gib die Werte von aaa und bbb an

Graphische Lösung:

Rechnerische Lösung:

Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls a≤y≤ba \le y \le ba≤y≤b

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Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person zu viel Zucker verzehrt und sich nicht häufig von Fertiggerichten ernährt, $28 %$ beträgt

Gib die Werte von $a$ und $b$ an

Interpretiere das Ergebnis der Umfrage im Hinblick auf die Bedeutung des Intervalls $a \le y \le b$