Gleichung der Tangente t

$t:y=m\cdot x+bt:\; y=m\backslash cdot\; x+b$

Der y-Achsenabschnitt $b=-8b=-8$ (Schnitt von $tt$ mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man $m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{16}{4}}=4m=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}=\backslash dfrac\{16\}\{4\}=4$.

Also ist $t:y=4\cdot x-8t:\; y=4\backslash cdot\; x-8$.

Tangente an den Graphen von $f_{a}f\_a$ im Punkt $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$ schneidet die y-Achse im Punkt $(0\mathrm{\mid }-f_a(u))(0|-f\_a(u))$

Es ist $f_a(x)=a{x}^2\Rightarrow f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=2axf\_a(x)=ax^2\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; f\_a\text{'}(x)=2ax$ und der Punkt ist $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$.

$\Rightarrow f_a^{\mathrm{\prime }}(u)=2au=m_T\backslash Rightarrow\backslash ;\; f\_a\text{'}(u)=2au=m\_T$

Weiterhin gilt für die Tangente:

$t:y=m_T\cdot x+b=2au\cdot x+bt:\; y=m\_T\backslash cdot\; x+b=2au\backslash cdot\; x+b$

Setze die Koordinaten von $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$ in $t:y=2au\cdot x+bt:\; y=2au\backslash cdot\; x+b$ ein:

$t:f_a(u)=2au\cdot u+b\Rightarrow b=f_a(u)-2a{u}^{2}t:\; f\_a(u)=2au\backslash cdot\; u+b\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=f\_a(u)-2au^2$

Mit $f_a(u)=a{u}^{2}f\_a(u)=au^2$ folgt dann für $b=a{u}^2-2a{u}^2=-a{u}^{2}b=au^2-2au^2=-au^2$

Damit erhält man für die Tangentengleichung im Punkt $(u\mathrm{\mid }{f}_a(u))(u|f\_a(u))$:

Für den Schnittpunkt der Tangente $tt$ mit der y-Achse setze $x=0x=0$ in $tt$ ein:

$t:y=2au\cdot x-a{u}^{2}t:\; y=2au\backslash cdot\; x-au^2$ mit $x=0x=0$ folgt $y=-a{u}^2=-f_a(u)y=-au^2=-f\_a(u)$

Also ist: