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1
Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f : x \mapsto \frac{1}{9} (- x^{4} + 4 x^{3})$ mit der Definitionsmenge $D_{f} = ℝ .$ Der Graph der Funktion $f$ wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $f$ mit der jeweiligen Vielfachheit.
2. Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $f$ sowie Art und Koordinaten des Extrempunktes des Graphen $G_{f} .$
3. Bestimmen Sie die Gleichungen aller Wendetangenten an den Graphen $G_{f}$ .
4. Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich $- 1 \leq x \leq 4$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der $y$ -Achse der Bereich $- 3 \leq y \leq 3$ benötigt.
  Maßstab: 1 LE = 1cm.
2
Betrachtet wird weiter die quadratische Funktion $p$ mit der Definitionsmenge $D_{p} = ℝ$ . Ihr Graph wird mit $G_{p}$ bezeichnet.
1. Die Parabel $G_{p}$ berührt den Graphen $G_{f}$ aus Aufgabe 1) im Punkt $B (3 | 3)$ und verläuft durch den Koordinatenursprung. Bestimmen Sie $p (x)$ und zeichnen Sie die Parabel $G_{p}$ im Bereich $- 1 \leq x \leq 4$ in das vorhandene Koordinatensystem ein.
  [ Mögliches Ergebnis: $p (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ ]
2. Die Graphen $G_{f}$ und $G_{p}$ schließen im I. Quadranten des Koordinatensystems ein endli-ches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.
3. Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Schnittpunkts der Graphen $G_{f}$ und $G_{p}$ , der im III. Quadranten des Koordinatensystems liegt.
4. Bestimmen Sie die Steigungen der beiden Geraden durch den Punkt $T (3 | 4)$ , die den Graphen $G_{p}$ berühren.
3
Ein Bastler möchte sich mithilfe folgender Bauanleitung das Grundgerüst für einen zylinder-förmigen Abfallkorb mit Höhe $h$ und Radius $r$ (alle Längen in Meter gemessen) aus Draht bauen (siehe Skizze).
Für das Vorhaben kauft er sich Draht mit der Länge $6$ m. Die Einzelteile werden selbst her-gestellt und zusammengelötet. Die Dicke des Drahts ist zu vernachlässigen. Bei Berech-nungen kann auf Einheiten verzichtet werden.
1. Bestimmen Sie die Maßzahl $V (r)$ des Volumens des Abfallkorbs in Abhängigkeit von $r$ . [Mögliches Ergebnis: $V (r) = π (\frac{3}{2} r^{2} - r^{3} - 2 π r^{3})$ ]
2. Aus praktischen Gründen wird für die Funktion
  $V : r \mapsto V (r)$ als Definitionsmenge $D_{V} = [0,1; 0,2]$ gewählt.
  Berechnen Sie den Radius $r$ des Abfallkorbs für den Fall, dass die Maßzahl des Volumens ihren absolut größten Wert annimmt. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

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