A I

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $ff$ mit der jeweiligen Vielfachheit.

Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle der Funktion $ff$ sowie Art und Koordinaten des Extrempunktes des Graphen $G_f\mathrm{.}G\_f.$

Bestimmen Sie die Gleichungen aller Wendetangenten an den Graphen $G_{f}G\_f$.

Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}G\_f$ unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse im Bereich $-1\le x\le 4-1\backslash le\; x\backslash le\; 4$ in ein kartesisches Koordinatensystem. Für weitere Teilaufgaben wird auf der $yy$-Achse der Bereich $-3\le y\le 3-3\backslash le\; y\backslash le\; 3$ benötigt.

Maßstab: 1 LE = 1cm.

Die Parabel $G_{p}G\_p$ berührt den Graphen $G_{f}G\_f$ aus Aufgabe 1) im Punkt $B(3\mathrm{\mid }3)B(3\; |\; 3)$ und verläuft durch den Koordinatenursprung. Bestimmen Sie $p(x)p(x)$ und zeichnen Sie die Parabel $G_{p}G\_p$ im Bereich $-1\le x\le 4-1\backslash le\; x\backslash le\; 4$ in das vorhandene Koordinatensystem ein.

[ Mögliches Ergebnis: $p(x)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2+2xp(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{3\}x^2+2x$ ]

Die Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{p}G\_p$ schließen im I. Quadranten des Koordinatensystems ein endli-ches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück in Ihrer Zeichnung und berechnen Sie die Maßzahl seines Inhalts.

Berechnen Sie die Koordinaten desjenigen Schnittpunkts der Graphen $G_{f}G\_f$ und $G_{p}G\_p$, der im III. Quadranten des Koordinatensystems liegt.

Bestimmen Sie die Steigungen der beiden Geraden durch den Punkt $T(3\mathrm{\mid }4)T\; (3\; |\; 4)$, die den Graphen $G_{p}G\_p$ berühren.

Bestimmen Sie die Maßzahl $V(r)V(r\; )$ des Volumens des Abfallkorbs in Abhängigkeit von $rr$. [Mögliches Ergebnis: $V(r)=\pi ({\displaystyle \frac{3}{2}}{r}^2-r^3-2\pi r^3)V(r)=\backslash pi(\backslash dfrac\{3\}\{2\}r^2-r^3-2\backslash pi\; r^3)$ ]

Aus praktischen Gründen wird für die Funktion

$V:r\mapsto V(r)V\; :\; r\backslash mapsto\; V(r)$ als Definitionsmenge $D_V=[\mathrm{0,1};\mathrm{0,2}]D\_V=[0\{,\}1;0\{,\}2]$ gewählt.

Berechnen Sie den Radius $rr$ des Abfallkorbs für den Fall, dass die Maßzahl des Volumens ihren absolut größten Wert annimmt. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.