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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x↩4+8x−12(x−2)2 mit der maximalen Definitionsmenge Df⊂ℝ. Ihr Graph heißt Gf.

    1. Geben Sie die Df an. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den RĂ€ndern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.

    2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von Gf mit der waagrechten Asymptote.

    3. Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm auch in der Form f(x)=4(x−1)2(x−2)2

      darstellen lÀsst, und ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Gf mit den Koordinatenachsen.

    4. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von f und ermitteln Sie daraus Art und Lage des Extrempunktes.

      [ Teilergebnis : fâ€Č(x)=−8x+8(x−2)3 ]

    5. Zeichnen Sie den Graphen Gf und seine Asymptoten unter BerĂŒcksichtigung aller bisheriger Ergebnisse fĂŒr −6≀x≀10 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    6. Zeigen Sie, dass die Funktion F mit F(x)=4x+8ln⁥(2−x)−4x−2 in DF=]−∞;2[ eine Stammfunktion von f ist. Der Graph Gf schließt mit seiner waagrechten Asymptote und der y-Achse im 1. Quadranten eine endliche FlĂ€che ein. Schraffieren Sie diese FlĂ€che in der Zeichnung von Teilaufgabe 1.e und berechnen Sie die Maßzahl ihres FlĂ€cheninhalts.

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion h:x↩ln⁡(g(x)) mit g(x)=x3+x2 und Dg=ℝ, folglich ergibt sich: h(x)=ln⁡(x3+x2).

    Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge Dh⊂ℝ der Funktion h sowie das Verhalten der Funktion h an den RĂ€ndern ihrer Definitionsmenge.

  3. 3

    Computerviren sind Programme, die sich ĂŒber das Internet rasch verbreiten und von ihnen infizierte Rechner schĂ€digen oder zerstören. Wird ein neuer Virus in Umlauf gebracht, verbreitet er sich zunĂ€chst rasch. Die Infizierungsrate I beschreibt die Anzahl der Computer, die sich pro Tag neu infizieren, und kann nĂ€herungsweise durch den Funktionsterm I(t)=1000⋅t2⋅ea⋅tmit t≄0; a∈ℝ beschrieben werden.

    Die Zeit t wird in Tagen angegeben, wobei t=0 derjenige Zeitpunkt ist, an dem der neue Virus in Umlauf gebracht wird. Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.

    1. Berechnen Sie den Wert fĂŒr a auf 3 Dezimalstellen gerundet, wenn nach 24 Stunden die Infizierungsrate bei 779 Computern pro Tag liegt.

      [ Ergebnis: a=−0,250 ]

    2. Bestimmen Sie den Grenzwert von I fĂŒr t↩∞ und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

    3. Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in denen die Infizierungsrate zunimmt bzw. abnimmt, und ermitteln Sie die maximale Infizierungsrate.

      [ Teilergebnis: I˙(t)=250⋅(8t−t2)⋅e−0,25t]

    4. Zeichnen Sie den Graph von I fĂŒr die ersten 20 Tage in ein Koordinatensystem.

      Maßstab:

      t-Achse: 1 cm=^2 Tage

      I-Achse: 1 cm=^ 1000 infizierter ComputerTag

    5. Kennzeichnen Sie die durch das bestimmte Integral A=∫48I(t)dt beschriebene FlÀche im Koordinatensystem von Teilaufgabe 3.d und schÀtzen Sie dessen Wert durch geometrische Betrachtung nÀherungsweise ab. Achten Sie dabei auf eine klare Darstellung Ihrer Vorgehensweise. Interpretieren Sie die Bedeutung des ermittelten Wertes im Sachzusammenhang.


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