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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x↩4+8x−12(x−2)2f: x\mapsto 4+\dfrac{8x-12}{(x-2)^2} mit der maximalen Definitionsmenge Df⊂RD_f\subset\mathbb{R}. Ihr Graph heißt GfG_f.

    1. Geben Sie die DfD_f an. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den RĂ€ndern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.

    2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von GfG_f mit der waagrechten Asymptote.

    3. Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm auch in der Form f(x)=4(x−1)2(x−2)2f(x)=\dfrac{4(x-1)^2}{(x-2)^2}

      darstellen lÀsst, und ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von GfG_f mit den Koordinatenachsen.

    4. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von ff und ermitteln Sie daraus Art und Lage des Extrempunktes.

      [ Teilergebnis : fâ€Č(x)=−8x+8(x−2)3f '(x)=\dfrac{-8x+8}{(x-2)^3} ]

    5. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f und seine Asymptoten unter BerĂŒcksichtigung aller bisheriger Ergebnisse fĂŒr −6≀x≀10-6\le x\le 10 in ein kartesisches Koordinatensystem.

    6. Zeigen Sie, dass die Funktion FF mit F(x)=4x+8ln⁥(2−x)−4x−2F(x) = 4x+8\ln(2-x)-\dfrac{4}{x-2} in DF=]−∞;2[D_F =]-\infty; 2[ eine Stammfunktion von ff ist. Der Graph GfG_f schließt mit seiner waagrechten Asymptote und der yy-Achse im 1. Quadranten eine endliche FlĂ€che ein. Schraffieren Sie diese FlĂ€che in der Zeichnung von Teilaufgabe 1.e und berechnen Sie die Maßzahl ihres FlĂ€cheninhalts.

  2. 2

    Gegeben ist die Funktion h:x↩ln⁡(g(x))h : x\mapsto \ln(g(x)) mit g(x)=x3+x2g(x)=x^3+x^2 und Dg=RD_g = \mathbb{R}, folglich ergibt sich: h(x)=ln⁡(x3+x2)h(x)=\ln(x^3+x^2).

    Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge Dh⊂RD_h\subset\mathbb{R} der Funktion hh sowie das Verhalten der Funktion hh an den RĂ€ndern ihrer Definitionsmenge.

  3. 3

    Computerviren sind Programme, die sich ĂŒber das Internet rasch verbreiten und von ihnen infizierte Rechner schĂ€digen oder zerstören. Wird ein neuer Virus in Umlauf gebracht, verbreitet er sich zunĂ€chst rasch. Die Infizierungsrate II beschreibt die Anzahl der Computer, die sich pro Tag neu infizieren, und kann nĂ€herungsweise durch den Funktionsterm I(t)=1000⋅t2⋅ea⋅tI(t)=1000\cdot t^2\cdot e^{a\cdot t}mit t≄0t\ge0; a∈Ra\in\mathbb{R} beschrieben werden.

    Die Zeit tt wird in Tagen angegeben, wobei t=0t = 0 derjenige Zeitpunkt ist, an dem der neue Virus in Umlauf gebracht wird. Bei Berechnungen kann auf die Verwendung von Einheiten verzichtet werden. Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.

    1. Berechnen Sie den Wert fĂŒr aa auf 33 Dezimalstellen gerundet, wenn nach 2424 Stunden die Infizierungsrate bei 779779 Computern pro Tag liegt.

      [ Ergebnis: a=−0,250a = −0{,}250 ]

    2. Bestimmen Sie den Grenzwert von II fĂŒr t↩∞t\mapsto \infty und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

    3. Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in denen die Infizierungsrate zunimmt bzw. abnimmt, und ermitteln Sie die maximale Infizierungsrate.

      [ Teilergebnis: I˙(t)=250⋅(8t−t2)⋅e−0,25t\dot I(t)=250\cdot(8t-t^2)\cdot e^{-0{,}25t}]

    4. Zeichnen Sie den Graph von II fĂŒr die ersten 2020 Tage in ein Koordinatensystem.

      Maßstab:

      tt-Achse: 1 cm21\cm\mathop{\widehat{=}} 2 Tage

      II-Achse: 1 cm1\cm\mathop{\widehat{=}} 10001000 infizierter ComputerTag\dfrac{\text{infizierter Computer}}{\text{Tag}}

    5. Kennzeichnen Sie die durch das bestimmte Integral A=∫48I(t) dt\displaystyle A=\int_{4}^{8} I(t) \,\mathrm{d}t beschriebene FlĂ€che im Koordinatensystem von Teilaufgabe 3.d und schĂ€tzen Sie dessen Wert durch geometrische Betrachtung nĂ€herungsweise ab. Achten Sie dabei auf eine klare Darstellung Ihrer Vorgehensweise. Interpretieren Sie die Bedeutung des ermittelten Wertes im Sachzusammenhang.


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