B II

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
In einer Kleinstadt sind drei Handwerksbetriebe $B, M$ und $S$ untereinander und mit dem Markt nach dem Leontiefmodell verbunden.
Es gilt folgende Inputmatrix $A = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 \\ 0{,}05 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ 0{,}05 & 0{,}1 & 0{,}04 \end{pmatrix}$
1. Bestimmen Sie die vollständige Input-Output-Tabelle, wenn $B$ $100$ ME, $M$ $60$ ME und $S$ $50$ ME produzieren.
2. Wgen eines technischen Defekts kann der Betrieb $S$ nicht mehr an den Markt liefern. Der Betrieb $B$ erhöht seine Marktabgabe auf $67,8$ ME und der Betrieb $M$ senkt seine Marktabgabe auf $40,4$ ME. Berechnen Sie, wie viel die einzelnen Betriebe in diesem Fall produzieren.
3. Im Rahmen einer Marktanalyse wird der Produktionsvektor
  $\vec {{x}}(t) = \begin{pmatrix} 100-t \\ 60-2t \\ 50 \end{pmatrix}$ mit $t\in\mathbb{R}$ , $t \geq 0 t ≥ 0$ betrachtet. Bestimmen Sie die Marktabgaben der einzelnen Betriebe in Abhängigkeit von $t$ und ermitteln Sie das Intervall der für $t$ sinnvollen Werte. Berechnen Sie außerdem, für welchen Wert von $t$ die Summe der Marktabgaben den Maximalwert annimmt, und bestimmen Sie diesen Maximalwert.
2
In einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R^3}$ sind die Punkte $A (1 ∣ 0 ∣ 1)$ und $B (1 ∣ 1 ∣ 0)$ sowie die Geraden $g_a:\overrightarrow x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $h:\overrightarrow x=\overrightarrow{OB}+s\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$
mit $r, a, s \in \mathbb{R}$ gegeben.
1. Geben Sie die besondere Lage der Geraden $g_{a}$ im Koordinatensystem in Abhängigkeit von $a$ an.
2. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden $g_{a}$ und $h$ in Abhängigkeit von $a$ und geben Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes $P$ an.
3. Für $a = - 2$ wird die Ebene $E$ durch die Gerade $g_{- 2}$ und den Punkt $B$ festgelegt, welcher nicht auf $g_{- 2}$ liegt (Nachweis nicht erforderlich!).
  1. Bestimmen Sie je eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene $E$ .
  [ Mögliches Ergebnis: $E: x_1 + 2x_2 + 2x_3\, – 3 = 0$ ]
  2. Zeigen Sie, dass die Gerade $h$ in der Ebene $E$ liegt.
  3. Fertigen Sie eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Ebene $E$ , der Geraden
  $g_{- 2}$ und $h$ sowie der Punkte $A, B$ und $P$ erkennbar ist. Verwenden Sie kein
  Koordinatensystem.
  4. Die Punkte $A, B, C (3 ∣ 0 ∣ 0)$ und $D (d_{1} ∣ d_{2} ∣ d_{3})$ bilden ein Parallelogramm (siehe Skizze).
  Bestimmen Sie die Koordinaten von $D$ und überprüfen Sie, ob das Parallelogramm
  $A B C D$ in der Ebene $E$ liegt.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?