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Gegeben ist die Funktion f:x4+8x12(x2)2f: x\mapsto 4+\dfrac{8x-12}{(x-2)^2} mit der maximalen Definitionsmenge DfRD_f\subset\mathbb{R}. Ihr Graph heißt GfG_f.

  1. Geben Sie die DfD_f an. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.

  2. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von GfG_f mit der waagrechten Asymptote.

  3. Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm auch in der Form f(x)=4(x1)2(x2)2f(x)=\dfrac{4(x-1)^2}{(x-2)^2}

    darstellen lässt, und ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von GfG_f mit den Koordinatenachsen.

  4. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle von ff und ermitteln Sie daraus Art und Lage des Extrempunktes.

    [ Teilergebnis : f(x)=8x+8(x2)3f '(x)=\dfrac{-8x+8}{(x-2)^3} ]

  5. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f und seine Asymptoten unter Berücksichtigung aller bisheriger Ergebnisse für 6x10-6\le x\le 10 in ein kartesisches Koordinatensystem.

  6. Zeigen Sie, dass die Funktion FF mit F(x)=4x+8ln(2x)4x2F(x) = 4x+8\ln(2-x)-\dfrac{4}{x-2} in DF=];2[D_F =]-\infty; 2[ eine Stammfunktion von ff ist. Der Graph GfG_f schließt mit seiner waagrechten Asymptote und der yy-Achse im 1. Quadranten eine endliche Fläche ein. Schraffieren Sie diese Fläche in der Zeichnung von Teilaufgabe 1.e und berechnen Sie die Maßzahl ihres Flächeninhalts.


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