Teil A

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 1
Im folgenden Koordinatensystem ist die Parabel $p$ gezeichnet $(x,y \in\mathbb{R})$ .
1. Geben Sie die Gleichung der Parabel $p$ in der Scheitelpunktform an. Entnehmen Sie
  der Zeichnung die dazu erforderlichen Informationen. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Gib die Gleichung der Parabel $p$ in der Scheitelpunktform an
  Allgemein gilt:
  Scheitelpunktsform: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ mit dem Scheitelpunkt: $S(d\vert e)$ .
  Lies den Scheitelpunkt ab. Der Scheitelpunkt ist $S (4 ∣ 5)$ . $\;\Rightarrow\;d=4$ und $e = 5$
  Die Parabel ist nach unten geöffnet.
  Vom Punkt $(4 ∣ 5)$ geht man um $1$ nach rechts und um $3$ nach unten zum Punkt $(5 ∣ 2)$ , d.h. die Parabel ist mit dem Faktor $- 3$ gestreckt.
  $\Rightarrow\;f(x)=-3(x-4)^2+5$
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  Lies den Scheitelpunkt ab und bestimme einen weiteren Punkt der Parabel zur Bestimmung des Streckungsfaktors.
  Beachte, die Parabel ist nach unten geöffnet.
2. Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, die keinen gemeinsamen Punkt mit der
  Parabel $p$ hat. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
  Gib die Gleichung einer Geraden an, die keinen gemeinsamen Punkt mit der Parabel $p$ hat
  Der Graph der linearen Funktion sollte oberhalb der Parabel verlaufen.
  Ein mögliches Beispiel:
  Die Gerade $g:\;y=x+4$ verläuft für alle $x$ oberhalb der Parabel, d.h. die Parabel wird nicht geschnitten.
  Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Parabel und Gerade
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  Der Graph der linearen Funktion sollte oberhalb der Parabel verlaufen.
  Wähle einen positiven y-Achsenabschnitt $b$ und eine positive Steigung $m$ größer oder gleich $1$ , sodass die Gerade die Parabel nicht schneidet.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 2
Die Raute $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $M$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ . Das Schrägbild zeigt diese Pyramide mit ihrer Höhe $\overline{MS}$ .
Es gilt: $|\overline{AC}|= 8\;\mathrm{cm}; |\overline{BD}| =12\;\mathrm{cm}; |\overline{MS}| = 7\;\mathrm{cm}.$
In der Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ ; $\omega=45^\circ; \overline{AC}$ liegt auf der Schrägbildachse.
1. Es entstehen neue Pyramiden $A B C_{n} D S_{n}$ mit den Höhen $\overline{MS_n}$ und den Grundflächen $A B C_{n} D$ , wenn man die Strecke $\overline{AC}$ über $C$ hinaus um $2x\;\mathrm{cm}$ verlängert und gleichzeitig die Strecke $\overline{MS}$ von $S$ aus um $x\;\mathrm{cm}$ verkürzt $(x \in \mathbb{R} ; 0 < x < 7)$ .
  Zeichnen Sie für $x = 2$ die Pyramide $A B C_{1} D S_{1}$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung ein. (1,5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
  Verlängere die Strecke $\overline{AC}$ vom Punkt $C$ aus um $4 \;\mathrm{cm}$ . Du erhältst den Punkt $C_{1}$ .
  Verkürze die Strecke $\overline{MS}$ vom Punkt $S$ aus um $2 \;\mathrm{cm}$ . Du erhältst den Punkt $S_{1}$ .
  Verbinde alle Punkte zur Pyramide $A B C_{1} D S_{1}$ .
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  Verlängere die Strecke $\overline{AC}$ vom Punkt $C$ aus um $4 \;\mathrm{cm}$ . Du erhältst den Punkt $C_{1}$ .
  Verkürze die Strecke $\overline{MS}$ vom Punkt $S$ aus um $2 \;\mathrm{cm}$ . Du erhältst den Punkt $S_{1}$ .
  Verbinde alle Punkte zur Pyramide $A B C_{1} D S_{1}$ .
2. Für das Volumen $V$ der Pyramiden $A B C_{n} D S_{n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
  $V(x)= \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot(8+2x)\cdot(7-x)\;\mathrm{cm}^3$ .
  Bei welchem der folgenden Terme wurde $V (x)$ richtig umgeformt?
  Kreuzen Sie diesen Term an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Termumformung mit Variablen
  Kreuze diesen Term an
  Beim 1. Term müsste es in der Klammer $- 2 x^{2}$ heißen.
  Beim 2. Term müsste es $+ 6 x$ heißen.
  Beim 4. Term wurde die $2$ sowohl in die 1. Klammer als auch in die 2. Klammer multipliziert.
  Richtig ist Term 3.
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  Multipliziere die 2 mit dem 1. Term und vergleiche.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 3
Ein Baumarkt bietet zehn gleich große Christbaumkugeln in einer zylinderförmigen Verpackung an.
Ermitteln Sie das ungefähre Volumen der Verpackung in Wirklichkeit. Schätzen Sie die dafür benötigten Größen anhand des Bildes ab. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Ermittele das ungefähre Volumen der Verpackung in Wirklichkeit
Nach der Abbildung entsprechen etwa drei Finger einer Hand dem Durchmesser einer Weihnachtsbaumkugel.
Nimmt man an, dass ein Finger etwa $2 \;\mathrm{cm}$ breit ist, dann haben die Weihnachtskugeln einen Durchmesser von rund $6\;\mathrm{cm}$ und einen Radius von rund $3\;\mathrm{cm}$ .
Da sich $10$ Kugeln in der Verpackung befinden, ist der Zylinder rund $10\cdot 6\;\mathrm{cm}=60\;\mathrm{cm}$ hoch.
Für das Zylindervolumen gilt:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h=\underbrace{\pi\cdot 3^2}_{\approx30}\cdot60\approx30\cdot60\approx1800\;\mathrm{cm}^3$
Das ungefähre Volumen der Verpackung beträgt in Wirklichkeit rund $1800\;\mathrm{cm}^3$ .
Miss die Breite von drei Fingern. Dieser Breite entspricht der Durchmesser $d$ der Weihnachtskugeln.
$10$ Kugeln übereinander ergeben die Zylinderhöhe $h$ .
Die Grundfläche $G$ des Zylinders ist ein Kreis mit $r=\dfrac{d}{2}$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe A 4
Gegeben ist das Dreieck $A B C$ .
Es gilt: $|\overline{AB}|=5\;\mathrm{cm}; |\overline{BC}|=13\;\mathrm{cm}; |\overline{AC}|=12\;\mathrm{cm}$ .
Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck $A B C$ rechtwinklig ist.
Geben Sie an, bei welchem Eckpunkt der rechte Winkel liegt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
Zeige rechnerisch, dass das Dreieck $A B C$ rechtwinklig ist
Wende den Satz des Pythagoras an.
$|\overline{AB}|^2+|\overline{AC}|^2=|\overline{BC}|^2$
$\Rightarrow\;5^2+12^2=13^2\;\Rightarrow\;25+144=169\;\Rightarrow\;169=169\;\checkmark$
Also ist das Dreieck rechtwinklig.
Gib an, bei welchem Eckpunkt der rechte Winkel liegt
Der längeren Seite gegenüber liegt der rechte Winkel.
Hier ist die Seite $|\overline{BC}|=13\;\mathrm{cm}$ die längste Seite. Demnach befindet sich der rechte Winkel im Eckpunkt $A$ .
Teil 1
Wende den Satz des Pythagoras an.
Teil 2
Der längeren Seite gegenüber liegt der rechte Winkel.