Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 3

Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y =-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y =1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)+1\;\;(x,y \in\mathbb{R})$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\mathrm{cm}$ ; $-3 \leq x \leq 10; -5 \leq y \leq 7$ (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle

Berechne die Nullstelle der Funktion $f_{1}$

Gegeben ist $y =-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$ .

Für die Berechnung der Nullstelle setze $y = 0$ :

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$	$\displaystyle +1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :1{,}5$
$\displaystyle \log_{0{,}5} (x + 3)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{3}$	$\displaystyle {0{,}5}^{()}$
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^{\frac{2}{3}}$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0{,}5^{\frac{2}{3}}-3$
$\displaystyle x$	$\approx ≈$	$\displaystyle -2{,}37$

\displaystyle L=\{-2{,}37\}

Die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ liegt etwa bei $x = - 2,37$ .

Zeichne den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$ in ein Koordinatensystem

Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen in den angegebenen Intervallen. Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die beiden Funktionen.

$f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$

$x$	-2,5	-2,37	-1,5	-0,5	0	1	2	4	6	8	10
$y$	$- 0,52$	$0$	$1,87$	$2,98$	$3,38$	$4$	$4,48$	$5,21$	$5,75$	$6,19$	$6,55$

$f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$

$x$	-1,5	-0,5	0	1	2	4	6	8	10
$y$	$2,49$	$0,13$	$- 0,5$	$- 1,38$	$- 2$	$- 2,88$	$- 3,5$	$- 3,98$	$- 4,38$

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Punkte $A_n (x |-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit den Punkten $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ sind sie für $- 1,38 < x < 9$ Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ .
Zeichnen Sie das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Zeichne das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein
Für das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $A_1(-0{,}5|f_1(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{1} (6))$ .
Für das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $B_2(-0{,}5|f_2(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{2} (6))$ .
Trage alle Punkte ein und verbinde sie.
Eingezeichnete Trapeze $A_{1} B_{1} C D$ und $A_{2} B_{2} C D$
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Für das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $A_1(-0{,}5|f_1(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{1} (6)) .$
Für das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ :
Gegeben sind $C (9 ∣ - 3)$ und $D (9 ∣ 4)$ , sowie $B_2(-0{,}5|f_2(-0{,}5))$ und $A_{2} (6 ∣ f_{2} (6))$ .
Trage alle Punkte ein und verbinde sie.
Berechnen Sie das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion
Berechne das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$
Geben ist $D (9 ∣ 4)$ .
Berechne $\tan\sphericalangle B_2A_2D$ :
$\tan\sphericalangle B_2A_2D=\dfrac{x_D-x_{A_2}}{y_{A_2}-y_D}$ , dabei ist $A_2(6|-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (6 + 3)+1))\;\Rightarrow\;A_2(6|5{,}75)$
Dann folgt für den gesuchten Winkel:
$\tan\sphericalangle B_2A_2D=\dfrac{x_D-x_{A_2}}{y_{A_2}-y_D}=\dfrac{9-6}{5{,}75-4}=\dfrac{3}{1{,}75}$
$\Rightarrow\;\sphericalangle B_2A_2D=\tan^{-1}\left(\dfrac{3}{1{,}75}\right)\approx59{,}74^\circ$
Das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$ beträgt rund $59{,}74^\circ$ .
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Berechne $\tan\sphericalangle B_2A_2D$ .

Die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ lässt sich durch einen Term der Form $|\overline{A_nB_n}|(x)=\big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x^2 + bx + c)\big]\;\mathrm{LE}$ mit $b,c \in\mathbb{R}$ darstellen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Werte für $b$ und $c$ . (2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus

Bestimme rechnerisch die Werte für $b$ und $c$

Gegeben ist $|\overline{A_nB_n}|(x)=\big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x^2 + bx + c\big]\;\mathrm{LE}$ mit $x \in\mathbb{R}$ und $- 1,38 < x < 9$ . Weiterhin gegeben sind $A_n (x |-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1)$ und $B_n(x|1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)+1)$ .

Dann ist $|\overline{A_nB_n}|(x)=y_{A_n}-y_{B_n}=\big[-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1-(1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+2)+1)\big]$ .

$\displaystyle \|\overline{A_nB_n}\|(x)$	$=$	$\displaystyle \big[-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1-(1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+2)+1)\big]$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+3)+1-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)-1\big]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \big[-1{,}5\cdot\log_{0{,}5}(x+3)-1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 2)\big]$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}(x+3)+ \log_{0{,}5} (x + 2)\big]$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}\left((x+3)\cdot(x+2)\right)\big]$
	↓	Rechne das Produkt aus.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}\left(x^2+2x+3x+6\right)\big]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot\big[\log_{0{,}5}\left(x^2+5x+6\right)\big]$

Der Vergleich mit dem gegebenen Term liefert die gesuchten Werte.

Die Werte für $b$ und $c$ sind $b = 5$ und $c = 6$ .

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Begründen Sie rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt. (3,5 P)

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)+1$	$\displaystyle -1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -1{,}5\cdot \log_{0{,}5} (x + 3)$	$\displaystyle :(-1{,}5)$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle \log_{0{,}5} (x + 3)$	$\displaystyle 0{,}5^{()}$
$\displaystyle 0{,}5^{-2}$	$=$	$\displaystyle x+3$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 0{,}5^{-2}-3$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 4-3$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle x$

Aufgabe B 3

Berechne die Nullstelle der Funktion f1f_1f1​

Zeichne den Graphen zu f1f_1f1​ für x∈[−2,5;10]x\in[-2{,}5;10]x∈[−2,5;10] sowie den Graphen zu f2f_2f2​ für x∈[−1,5;10]x\in[-1{,}5;10]x∈[−1,5;10] in ein Koordinatensystem

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Zeichne das Trapez A1B1CDA_1B_1CDA1​B1​CD für x=−0,5x =-0{,}5x=−0,5 und das Trapez A2B2CDA_2B_2CDA2​B2​CD für x=6x= 6x=6 in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein

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Berechne das Maß des Winkels B2A2DB_2A_2DB2​A2​D

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Bestimme rechnerisch die Werte für bbb und ccc

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Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen AnBnCDA_nB_nCDAn​Bn​CD kein Rechteck A3B3CDA_3B_3CDA3​B3​CD gibt

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Berechne die Nullstelle der Funktion $f_{1}$

Zeichne den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-2{,}5;10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-1{,}5;10]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein

Berechne das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$

Bestimme rechnerisch die Werte für $b$ und $c$

Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt