Nachtermin Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B 3

Gegeben sind die Funktionen $f_{1}$ mit der Gleichung $y = - 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1$ und $f_{2}$ mit der Gleichung $y = 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 2) + 1 (x, y \in ℝ)$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ und zeichnen Sie den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 1,5; 10]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 3 \leq x \leq 10; - 5 \leq y \leq 7$ (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
Berechne die Nullstelle der Funktion $f_{1}$
Gegeben ist $y = - 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1$ .
Für die Berechnung der Nullstelle setze $y = 0$ :
$0$ $=$ $- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1$ $+ 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3)$
↓
Löse nach $x$ auf.
$1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3)$ $=$ $1$ $: 1,5$
$\log_{0,5} (x + 3)$ $=$ $\frac{2}{3}$ ${0,5}^{()}$
$x + 3$ $=$ ${0,5}^{\frac{2}{3}}$ $- 3$
$x$ $=$ ${0,5}^{\frac{2}{3}} - 3$
$x$ $\approx$ $- 2,37$
$L = {- 2,37}$
Die Nullstelle der Funktion $f_{1}$ liegt etwa bei $x = - 2,37$ .
Zeichne den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 1,5; 10]$ in ein Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen in den angegebenen Intervallen. Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die beiden Funktionen.
$f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 10]$
$x$
-2,5
-2,37
-1,5
-0,5
0
1
2
4
6
8
10
$y$
$- 0,52$
$0$
$1,87$
$2,98$
$3,38$
$4$
$4,48$
$5,21$
$5,75$
$6,19$
$6,55$
$f_{2}$ für $x \in [- 1,5; 10]$
$x$
-1,5
-0,5
0
1
2
4
6
8
10
$y$
$2,49$
$0,13$
$- 0,5$
$- 1,38$
$- 2$
$- 2,88$
$- 3,5$
$- 3,98$
$- 4,38$
$f_{1}$ und $f_{2}$
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Teil 1
Setze $y = 0$ und löse nach $x$ auf.
Teil 2
Erstelle eine Wertetabelle für die beiden Funktionen in den angegebenen Intervallen. Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die beiden Funktionen.
Punkte $A_{n} (x | - 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit den Punkten $C (9 | - 3)$ und $D (9 | 4)$ sind sie für $- 1,38 < x < 9$ Eckpunkte von Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ .
Zeichnen Sie das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Zeichne das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein
Für das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ :
Gegeben sind $C (9 | - 3)$ und $D (9 | 4)$ , sowie $A_{1} (- 0,5 | f_{1} (- 0,5))$ und $A_{2} (6 | f_{1} (6))$ .
Für das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ :
Gegeben sind $C (9 | - 3)$ und $D (9 | 4)$ , sowie $B_{2} (- 0,5 | f_{2} (- 0,5))$ und $A_{2} (6 | f_{2} (6))$ .
Trage alle Punkte ein und verbinde sie.
Eingezeichnete Trapeze $A_{1} B_{1} C D$ und $A_{2} B_{2} C D$
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Für das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ :
Gegeben sind $C (9 | - 3)$ und $D (9 | 4)$ , sowie $A_{1} (- 0,5 | f_{1} (- 0,5))$ und $A_{2} (6 | f_{1} (6)) .$
Für das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ :
Gegeben sind $C (9 | - 3)$ und $D (9 | 4)$ , sowie $B_{2} (- 0,5 | f_{2} (- 0,5))$ und $A_{2} (6 | f_{2} (6))$ .
Trage alle Punkte ein und verbinde sie.
Berechnen Sie das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangensfunktion
Berechne das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$
Geben ist $D (9 | 4)$ .
Berechne $\tan ∢ B_{2} A_{2} D$ :
$\tan ∢ B_{2} A_{2} D = \frac{x_{D} - x_{A_{2}}}{y_{A_{2}} - y_{D}}$ , dabei ist $A_{2} (6 | - 1,5 \cdot \log_{0,5} (6 + 3) + 1)) \Rightarrow A_{2} (6 | 5,75)$
Dann folgt für den gesuchten Winkel:
$\tan ∢ B_{2} A_{2} D = \frac{x_{D} - x_{A_{2}}}{y_{A_{2}} - y_{D}} = \frac{9 - 6}{5,75 - 4} = \frac{3}{1,75}$
$\Rightarrow ∢ B_{2} A_{2} D = \tan^{- 1} (\frac{3}{1,75}) \approx {59,74}^{\circ}$
Das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$ beträgt rund ${59,74}^{\circ}$ .
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Berechne $\tan ∢ B_{2} A_{2} D$ .

$x$	-2,5	-2,37	-1,5	-0,5	0	1	2	4	6	8	10
$y$	$- 0,52$	$0$	$1,87$	$2,98$	$3,38$	$4$	$4,48$	$5,21$	$5,75$	$6,19$	$6,55$

$x$	-1,5	-0,5	0	1	2	4	6	8	10
$y$	$2,49$	$0,13$	$- 0,5$	$- 1,38$	$- 2$	$- 2,88$	$- 3,5$	$- 3,98$	$- 4,38$

Die Länge der Strecken $A_{n} B_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ lässt sich durch einen Term der Form $| A_{n} B_{n} | (x) = [- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x^{2} + b x + c)] LE$ mit $b, c \in ℝ$ darstellen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Werte für $b$ und $c$ . (2,5 P)

Begründen Sie rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt. (3,5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechteck
Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt
Wenn es ein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gäbe, dann müsste gelten:
$y_{A_{3}} = y_{D} = 4$ und $y_{B_{3}} = y_{C} = - 3$ .
Löse die Gleichung $y_{A_{3}} = 4$ nach $x$ auf.
$4$ $=$ $- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1$ $- 1$
↓
Löse nach $x$ auf.
$3$ $=$ $- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3)$ $: (- 1,5)$
$- 2$ $=$ $\log_{0,5} (x + 3)$ ${0,5}^{()}$
${0,5}^{- 2}$ $=$ $x + 3$ $- 3$
${0,5}^{- 2} - 3$ $=$ $x$
$4 - 3$ $=$ $x$
$1$ $=$ $x$
$L = {1}$
Berechne nun $y_{B_{3}} (1)$ :
$y_{B_{3}} = 1,5 \cdot \log_{0,5} (1 + 2) + 1 = 1,5 \cdot \log_{0,5} (3) + 1 \approx - 1,38$ .
Das Ergebnis $y_{B_{3}} = - 1,38$ widerspricht aber der geforderten Gleichung $y_{B_{3}} = y_{C} = - 3$ .
Daher gibt es kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ .
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Wenn es ein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gäbe, dann müsste gelten: $y_{A_{3}} = y_{D} = 4$ und $y_{B_{3}} = y_{C} = - 3$ .
Löse die Gleichung $y_{A_{3}} = 4$ nach $x$ auf. $\Rightarrow x_{1}$
Berechne $y_{B_{3}} (x_{1})$ und vergleiche das Ergebnis mit der Gleichung $y_{B_{3}} = y_{C} = - 3$ .

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\| A_{n} B_{n} \| (x)$	$=$	$[- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1 - (1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 2) + 1)]$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$[- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1 - 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 2) - 1]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$[- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) - 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 2)]$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$- 1,5 \cdot [\log_{0,5} (x + 3) + \log_{0,5} (x + 2)]$
	↓	Wende ein Logarithmusgesetz an.
	$=$	$- 1,5 \cdot [\log_{0,5} ((x + 3) \cdot (x + 2))]$
	↓	Rechne das Produkt aus.
	$=$	$- 1,5 \cdot [\log_{0,5} (x^{2} + 2 x + 3 x + 6)]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- 1,5 \cdot [\log_{0,5} (x^{2} + 5 x + 6)]$

$0$	$=$	$- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1$	$+ 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3)$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3)$	$=$	$1$	$: 1,5$
$\log_{0,5} (x + 3)$	$=$	$\frac{2}{3}$	${0,5}^{()}$
$x + 3$	$=$	${0,5}^{\frac{2}{3}}$	$- 3$
$x$	$=$	${0,5}^{\frac{2}{3}} - 3$
$x$	$\approx$	$- 2,37$

$4$	$=$	$- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3) + 1$	$- 1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$3$	$=$	$- 1,5 \cdot \log_{0,5} (x + 3)$	$: (- 1,5)$
$- 2$	$=$	$\log_{0,5} (x + 3)$	${0,5}^{()}$
${0,5}^{- 2}$	$=$	$x + 3$	$- 3$
${0,5}^{- 2} - 3$	$=$	$x$
$4 - 3$	$=$	$x$
$1$	$=$	$x$

Aufgabe B 3

Berechne die Nullstelle der Funktion f1

Zeichne den Graphen zu f1 für x∈[−2,5;10] sowie den Graphen zu f2 für x∈[−1,5;10] in ein Koordinatensystem

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Zeichne das Trapez A1B1CD für x=−0,5 und das Trapez A2B2CD für x=6 in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein

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Berechne das Maß des Winkels B2A2D

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Bestimme rechnerisch die Werte für b und c

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Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen AnBnCD kein Rechteck A3B3CD gibt

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Berechne die Nullstelle der Funktion $f_{1}$

Zeichne den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 2,5; 10]$ sowie den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 1,5; 10]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne das Trapez $A_{1} B_{1} C D$ für $x = - 0,5$ und das Trapez $A_{2} B_{2} C D$ für $x = 6$ in das Koordinatensystem zur Aufgabe b) ein

Berechne das Maß des Winkels $B_{2} A_{2} D$

Bestimme rechnerisch die Werte für $b$ und $c$

Begründe rechnerisch, weshalb es unter den Trapezen $A_{n} B_{n} C D$ kein Rechteck $A_{3} B_{3} C D$ gibt