Länge von Kurven mittels Integration

Die Länge des Funktionsgraphen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}f(x)=\backslash sqrt\{x\}$ im Intervall $[0;4][0;4]$ soll berechnet werden.

Lösung:

Zunächst benötigt man die Ableitung der Funktion $f(x)f(x)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}f\text{'}(x)=\backslash frac12\; x^\{-\backslash frac\; 1\; 2\}$

Dann kann man (mit Hilfe eines Taschenrechners) das folgende Integral lösen:

$l={\int }_0^4\sqrt{1+(\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}{)}^2}dx={\int }_0^4\sqrt{1+\frac{1}{4}{x}^{-1}}dx\approx \mathrm{4,8758}l=\backslash int\_0^4\; \backslash sqrt\; \{1+(\backslash frac12\; x^\{-\backslash frac12\})^2\}\; dx=\backslash int\_0^4\; \backslash sqrt\{1+\backslash frac14\; x^\{-1\}\}dx\backslash approx4\{,\}8758$

Die Länge der Kurve beträgt also rund 4,9 Längeneinheiten.