Prüfungsaufgaben Mathematik 2024

Aufgabe 4: Kegel

Eine Firma stellt Kegel her.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Grundfläche des Kegels. (2P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
Berechnung der Grundfläche des Kegels
$A = \pi\cdot r^2$
$A = \pi \cdot 30^2 = 2827{,}43$
Der Flächeninhalt der Grundfläche des Kegels beträgt $2~827{,}43\cm^2$ , bzw. $0{,}28\m^2$ .
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Verwende die Formel $A = \pi\cdot r^2$ um die Grundfläche des Kegels zu berechnen.
Setzte den Wert für den Radius $r$ aus der Aufgabenstellung ein und berechne die Fläche des Kreises.
Für den Transport soll der Kegel in einen quaderförmigen Karton verpackt werden.
Die Verpackung soll so klein wie möglich sein, aber so groß, dass der Kegel
vollständig hineinpasst.
Skizzieren Sie den Kegel in die Verpackung. (4P)
Es stehen vier Verpackungen zur Auswahl.
Wählen Sie die kleinstmögliche Verpackung (Länge x Breite x Höhe) für den
Kegel aus. Kreuzen Sie an.
Begründen Sie ihre Entscheidung.
- $31\cm\cdot31\cm\cdot 81\cm$
- $61\cm\cdot 61\cm\cdot 101\cm$
- $61\cm\cdot61\cm\cdot 81\cm$
- $31\cm\cdot61\cm\cdot 81\cm$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader
Berechnung des Durchmessers der Grundfläche des Kegels
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 30 = 60$
Durchmesser $d$ entspricht der minimalen Seitenlänge des Quadrats.
Auswertung der Maße
Höhe des Quaders: mindestens Höhe des Kegels $h = 80\cm$
Länge und Breite: Jeweils mindestens $60\cm$
Die kleinstmögliche Verpackung ist $61\cm \cdot 61\cm \cdot 81\cm$ .
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Beobachte, dass die Höhe des Quaders mindestens der Höhe $h$ des Kegels entsprechen sollte.
Vergewissere dich, dass die Seitenlänge des Quadrats mindestens dem Durchmesser $d$ des Kreises der entspricht.
Berechne den Durchmesser der Grundfläche des Kegels.
Beobachte, dass die Länge und Breite den gleichen Wert haben müssen.
Betrachte nun die einzelnen Forderungen: Länge, Breite und Höhe.
$\large * \,$ Eine andere Firma verschickt den gleichen Kegel in einer zylinderförmigen
Verpackung mit folgenden Innenmaßen: $r=30{,}5\cm$ , $h=81\cm$ .
Um den Kegel beim Transport zu schützen, soll das Restvolumen der
zylinderförmigen Verpackung mit Füllmaterial aufgefüllt werden.
Ermitteln Sie, wie viele $\cm^3$ Füllmaterial benötigt werden. (3P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnung des Zylinder-Volumens
$V_{\text{Zylinder}} = \pi\cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (30{,}5)^2 \cdot 81 = 236~719{,}79$
Berechnung des Kegel-Volumens
$V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot(30)^2 \cdot 80 = 75~398{,}22$
Berechnung des Restvolumens
$V_{\text{Rest}} = V_{\text{Zylinder}} - V_{\text{Kegel}} = 236~719{,}79 - 75~398{,}22 = 161~321{,}57$
Es werden $161~321{,}57 \cm^3$ Füllmaterial benötigt.
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Berechne das Volumen des Zylinders mit $V_{Zylinder} = \pi\cdot r^2 \cdot h$ .
Berechne das Volumen des Kegels mit $V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$ .
Ziehe das Volumen des Kegels von dem Volumen des Zylinders ab.

Aufgabe 4: Kegel

Berechnung der Grundfläche des Kegels

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Berechnung des Durchmessers der Grundfläche des Kegels

Auswertung der Maße

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Berechnung des Zylinder-Volumens

Berechnung des Kegel-Volumens

Berechnung des Restvolumens

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