Begründe, dass der Graph von $h_a$ für $x<0$ unterhalb der $x$-Achse verläuft

Gegeben ist $h_a(x)=x\cdot {\mathrm{e}}^{a\cdot x}$ mit $a\ne 0$.

Betrachtet werden x-Werte mit $x<0$.

Dann gilt:

$h_a(x)=\underset{<0}{\underbrace{x}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{a\cdot x}}}\Rightarrow (-)\cdot (+)=(-)\Rightarrow h_a(x)<0$ für $x<0$.

Für $x<0$ verläuft der Graph von $h_a$ unterhalb der $x$-Achse.

Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe die Entscheidung

Der Graph von Abbildung 3 gehört zu einem positiven $a$.

Begründung

In der Aufgabenstellung ist $a>0$ vorgegeben.

Betrachte das Verhalten von $h_a(x)$ für $x\to \pm \infty$:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{h}_a(x)=\underset{\to +\infty }{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to +\infty }{\underbrace{{\mathrm{e}}^{a\cdot x}}}=+\infty$ und $\underset{x\to -\infty }{\lim }{h}_a(x)=\underset{\to -\infty }{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{a\cdot x}}}=0$

(Anmerkung: Die e-Funktion geht stärker gegen null als $x$ gegen minus unendlich.)

Diese beiden Aussagen über das Verhalten des Graphen für $x\to \pm \infty$ gehören zur Abbildung 3.