Begründe, dass der Graph von $h_{a}h\_\{a\}$ für unterhalb der $xx$-Achse verläuft

Gegeben ist $h_a(x)=x\cdot {\mathrm{e}}^{a\cdot x}h\_\{a\}(x)=x\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{a\; \backslash cdot\; x\}$ mit $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$.

Betrachtet werden x-Werte mit .

Dann gilt:

für .

Für verläuft der Graph von $h_{a}h\_\{a\}$ unterhalb der $xx$-Achse.

Entscheide, welcher Graph dies ist, und begründe die Entscheidung

Der Graph von Abbildung 3 gehört zu einem positiven $aa$.

Begründung

In der Aufgabenstellung ist $a>0a>0$ vorgegeben.

Betrachte das Verhalten von $h_a(x)h\_a(x)$ für $x\to \pm \mathrm{\infty }x\backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infty$:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{h}_a(x)=\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{a\cdot x}}}=+\mathrm{\infty }\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}\; h\_\{a\}(x)=\backslash underbrace\{x\}\_\{\backslash rightarrow+\backslash infty\}\; \backslash cdot\; \backslash underbrace\{\backslash mathrm\{e\}^\{a\; \backslash cdot\; x\}\}\_\{\backslash rightarrow+\backslash infty\}=+\backslash infty$ und $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{h}_a(x)=\underset{\to -\mathrm{\infty }}{\underbrace{x}}\cdot \underset{\to 0}{\underbrace{{\mathrm{e}}^{a\cdot x}}}=0\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; h\_\{a\}(x)=\backslash underbrace\{x\}\_\{\backslash rightarrow-\backslash infty\}\; \backslash cdot\; \backslash underbrace\{\backslash mathrm\{e\}^\{a\; \backslash cdot\; x\}\}\_\{\backslash rightarrow0\}=0$

(Anmerkung: Die e-Funktion geht stärker gegen null als $xx$ gegen minus unendlich.)

Diese beiden Aussagen über das Verhalten des Graphen für $x\to \pm \mathrm{\infty }x\backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infty$ gehören zur Abbildung 3.