Teil B: Vektorielle Geometrie

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 ∣ 0 ∣ 0), D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ , $E (0 ∣ 8 ∣ 5)$ und $F (0 ∣ 0 ∣ 5)$ sowie der Punkt $M (3 ∣ 4 ∣ 5)$ (vgl. Abbildung 1).
1. Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A$ an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Koordinatengeometrie im Raum
  Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an
  Der Punkt $A$ liegt auf der x-Achse, senkrecht unter dem Punkt $D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ .
  Demnach gilt: $A (6 ∣ 0 ∣ 0)$ .
  Die Koordinaten des Punktes $A$ sind $(6 ∣ 0 ∣ 0)$ .
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  Der Punkt $A$ liegt auf der x-Achse, senkrecht unter dem Punkt $D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ .
2. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
  Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$
  Mit $\alpha$ wird der Innenwinkel des Dreiecks $D E F$ bei $D$ bezeichnet.
  Dann gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& \cos (\alpha)=\frac{\overrightarrow{D E} \circ \overrightarrow{D F}}{|\overrightarrow{D E}| \cdot|\overrightarrow{D F}|}\end{aligned}$
  Berechne die Vektoren und ihre Beträge:
  $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}$
  $\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert=\sqrt{(-6)^2+8^2+0}=\sqrt{100}=10$
  $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$
  $\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert=6$
  Setze die berechneten Größen in den Kosinus ein:
  $\cos(\alpha)=\dfrac{\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}}{10\cdot 6}=\dfrac{36}{60}=0{,}6$
  $\Rightarrow\;\alpha=\cos^{-1}(0{,}6)\approx53{,}13^{\circ}$
  Die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$ beträgt rund $53{,}13^{\circ}$ .
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{DF}$ und ihre Beträge.
  Setze in $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& \cos (\alpha)=\frac{\overrightarrow{D E} \circ \overrightarrow{D F}}{|\overrightarrow{D E}| \cdot|\overrightarrow{D F}|}\end{aligned}$ ein.
3. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prisma
  Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas
  Für die Oberflächenberechnung werden verschiedene Vektoren und ihre Beträge benötigt.
  Aus Aufgabe a) folgt:
  $\overrightarrow{DE}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}$ , $\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert=10$
  $\overrightarrow{DF}=\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert=6$
  Berechne weiter:
  $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}\\\Big\vert\overrightarrow{FE}\Big\vert=8$
  Die Höhe des Prismas ist $h = 5$ .
  Dann folgt für den Oberflächeninhalt des Prismas:
  $O_\text{Prisma}=\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert\cdot h+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot \Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert$
  $O_\text{Prisma}=(6+8+10)\cdot 5+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=168$
  Der Inhalt der Oberfläche des Prismas beträgt $168\; \text{FE}$ .
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  Berechne den Vektor $\overrightarrow{FE}$ und seinen Betrag.
  Die Höhe des Prismas ist die z-Koordinate eines in der Deckfläche liegenden Punktes.
  $O_\text{Prisma}=\Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert\cdot h+\Big\vert\overrightarrow{DE}\Big\vert\cdot h+2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert\overrightarrow{DF}\Big\vert\cdot \Big\vert\overrightarrow{EF}\Big\vert$
4. Begründen Sie, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Einführung zum Kreis
  Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$ , sowie ihre Beträge.
  $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}$
  $\Big\vert\overrightarrow{DM}\Big\vert=\sqrt{(-3)^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$
  $\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$
  $\Big\vert\overrightarrow{FM}\Big\vert=\sqrt{3^2+4^2+0}=\sqrt{25}=5$
  $\overrightarrow{EM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OE}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\8\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\\0\end{pmatrix}$
  $\Big\vert\overrightarrow{EM}\Big\vert=\sqrt{3^2+(-4)^2+0}=\sqrt{25}=5$
  Es gilt: $\Big\vert\overrightarrow{DM}\Big\vert= \Big\vert\overrightarrow{FM}\Big\vert= \Big\vert\overrightarrow{EM}\Big\vert=5$
  Alle Punkte liegen zusammen mit $M$ in einer Ebene und haben den gleichen Abstand $5$ vom Punkt $M$ und liegen deshalb auf einem Kreis um $M$ mit dem Radius $5$ .
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{DM}, \overrightarrow{FM}$ und $\overrightarrow{EM}$ , sowie ihre Beträge.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 ∣ 0 ∣ 0), D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ , $E (0 ∣ 8 ∣ 5)$ und $F (0 ∣ 0 ∣ 5)$ sowie der Punkt $M (3 ∣ 4 ∣ 5)$ gegeben.
Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M, F$ und $S (7,5 ∣ 0 ∣ 0)$ (vgl. Abbildung 2).
Abbildung 2
1. Begründen Sie, dass
  $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\5\end{array}\right)+m \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\0\end{array}\right)+n \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\-5\end{array}\right), m \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{R},$
  eine Gleichung von $W$ in Parameterform ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
  Begründe, dass die gegebene Ebenengleichung eine Gleichung von $W$ in Parameterform ist
  Gegeben ist: $\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\5\end{array}\right)+m \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\0\end{array}\right)+n \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\-5\end{array}\right)$
  Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M (3 ∣ 4 ∣ 5), F (0 ∣ 0 ∣ 5)$ und $S (7,5 ∣ 0 ∣ 0)$ .
  Wegen $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 5\end{array}\right)+m \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)+n \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\ 0 \\ -5\end{array}\right)=\overrightarrow{O F}+m \cdot \overrightarrow{F M}+n \cdot \overrightarrow{F S}$ ist die angegebene Gleichung eine Parametergleichung der Ebene $W$ .
  
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  Stelle die Ebenengleichung mit den Punkten $F, M$ und $S$ auf und vergleiche sie mit der angegebenen Ebenengleichung.
2. Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
  (I) $\;\;\;\;P(6|0| r) \text { mit } 0 \leq r \leq 5$
  (II) $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{lcc}6 & = & 3 \cdot m+7{,}5 \cdot n \\ 0 & = & 4 \cdot m \\ r & = & 5-5 \cdot n\end{array}\right|$ .
  Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
  Gib eine passende Aufgabenstellung an
  In (I) ist der Punkt $P$ gegeben. Er liegt für $0 \leq r \leq 5$ auf der Strecke $\overline{AD}$ .
  Gleichung (II): Es wird geprüft, ob der Punkt $P$ in der Ebene $W$ aus Aufgabe a) liegt.
  Daraus ergibt sich die folgende Aufgabenstellung:
  Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes der Strecke $\overline{A D}$ , der in der Ebene $W$ liegt.
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  Was ist in (I) gegeben und was stellt die Gleichung in (II) dar?
3. Gegeben ist die Gerade $g$ durch die Gleichung
  $\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1{,}5 \\8 \\10\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\-5\end{array}\right), k \in \mathbb{R}$
  Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $S$ und $M$ und lässt sich beschreiben durch
  $\def\arraystretch{1.25} h: \vec{x}=\overrightarrow{O S}+q \cdot \overrightarrow{S M}=\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\0\end{array}\right)+q \cdot\left(\begin{array}{c}-4{,}5 \\4 \\5\end{array}\right), q \in \mathbb{R}$ .
  Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ einen gemeinsamen Punkt besitzen. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
  Untersuche rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ einen gemeinsamen Punkt besitzen
  Setze $g = h$ :
  $\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{c}-1{,}5 \\8 \\10\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\-5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\0\end{array}\right)+q \cdot\left(\begin{array}{c}-4{,}5 \\4 \\5\end{array}\right)$
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-1{,}5 \\8 \\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7{,}5 \\0 \\0\end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix}-7{,}5 \\0 \\5\end{pmatrix}+q\cdot \begin{pmatrix}-4{,}5 \\4 \\5\end{pmatrix}$
  $\Rightarrow\;\begin{pmatrix}-9\\8\\10\end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix}-7{,}5 \\0 \\5\end{pmatrix}+q\cdot \begin{pmatrix}-4{,}5 \\4 \\5\end{pmatrix}$
  Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt $8=4\cdot q \;\Rightarrow\;q=2$
  Mit $q = 2$ erhält man in Gleichung $\mathrm{III}: 10=5\cdot k+2\cdot 5\;\Rightarrow\;k=0$
  Eingesetz in Gleichung $\mathrm{I}: -9=0\cdot (-7{,}5)+2\cdot (-4{,}5)\;\checkmark$
  Demnach sind $q = 2$ und $k = 0$ die Lösungen des Gleichungssystems.
  Wegen $2 \notin[0 ; 1]$ besitzen die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ keinen gemeinsamen Punkt.
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  Setze $g = h$ und löse das Gleichungssystem nach $k$ und $q$ auf.
  Wenn $0\leq q\leq 1$ , dann haben die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ einen gemeinsamen Punkt.
4. Anstelle des Punktes $S$ werden nun Punkte $S_{t}(t|0| 0)$ mit $t \geq 0$ auf der $x$ -Achse betrachtet.
  Bestimmen Sie denjenigen Wert von $t$ , für den das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Bestimme denjenigen Wert von $t$ , für den das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist
  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{MS_t}$ und $\overrightarrow{MF}$ .
  $\overrightarrow{MS_t}=\overrightarrow{OS_t}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}t\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t-3\\-4\\-5\end{pmatrix}$
  $\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OM}=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}$
  Für einen rechten Winkel muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null sein.
  $\overrightarrow{MS_t}\circ\overrightarrow{MF}=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}t-3\\-4\\-5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}=-3\cdot t+9+16+0=0\;\Rightarrow\;t=\dfrac{25}{3}$
  Für $t=\dfrac{25}{3}$ ist das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig.
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  Berechne die Vektoren $\overrightarrow{MS_t}$ und $\overrightarrow{MF}$ .
  Für einen rechten Winkel muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null sein.

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Teil B: Vektorielle Geometrie

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes AAA an

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Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks DEFDEFDEF bei DDD

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Berechne den Inhalt der Oberfläche des Prismas

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Begründe, dass die Punkte D,ED, ED,E und FFF auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt MMM liegen

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Aufgabe 2

Begründe, dass die gegebene Ebenengleichung eine Gleichung von WWW in Parameterform ist

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Gib eine passende Aufgabenstellung an

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Untersuche rechnerisch, ob die Gerade ggg und die Strecke SM‾\overline{S M}SM einen gemeinsamen Punkt besitzen

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Bestimme denjenigen Wert von ttt, für den das Dreieck MFSMFSMFS im Punkt MMM rechtwinklig ist

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Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an

Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks $D E F$ bei $D$

Begründe, dass die Punkte $D, E$ und $F$ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen

Begründe, dass die gegebene Ebenengleichung eine Gleichung von $W$ in Parameterform ist

Untersuche rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $\overline{S M}$ einen gemeinsamen Punkt besitzen

Bestimme denjenigen Wert von $t$ , für den das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist