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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Aufgabe 2

In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma ABCDEFA B C D E F mit den Eckpunkten C(0∣0∣0),D(6∣0∣5)C(0|0| 0), D(6|0| 5), E(0∣8∣5)E(0|8| 5) und F(0∣0∣5)F(0|0| 5) sowie der Punkt M(3∣4∣5)M(3|4| 5) gegeben.

Die Ebene WW enthält die Punkte M,FM, F und S(7,5∣0∣0)S(7{,}5|0| 0) (vgl. Abbildung 2).

Prisma mit Ebene

Abbildung 2

  1. Begründen Sie, dass

    x⃗=(005)+m⋅(340)+n⋅(7,50−5),m∈R,n∈R,\def\arraystretch{1.25} \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\5\end{array}\right)+m \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\4 \\0\end{array}\right)+n \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\-5\end{array}\right), m \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{R},

    eine Gleichung von WW in Parameterform ist. (2 P)

  2. Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

    (I)         P(6∣0∣r) mit 0≤r≤5\;\;\;\;P(6|0| r) \text { mit } 0 \leq r \leq 5

    (II) ∣6=3⋅m+7,5⋅n0=4⋅mr=5−5⋅n∣\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{lcc}6 & = & 3 \cdot m+7{,}5 \cdot n \\ 0 & = & 4 \cdot m \\ r & = & 5-5 \cdot n\end{array}\right|.

    Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. (2 P)

  3. Gegeben ist die Gerade gg durch die Gleichung

    g:x⃗=(−1,5810)+k⋅(7,50−5),k∈R\def\arraystretch{1.25} g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1{,}5 \\8 \\10\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\-5\end{array}\right), k \in \mathbb{R}

    Die Gerade hh verläuft durch die Punkte SS und MM und lässt sich beschreiben durch

    h:x⃗=OS→+q⋅SM→=(7,500)+q⋅(−4,545),q∈R\def\arraystretch{1.25} h: \vec{x}=\overrightarrow{O S}+q \cdot \overrightarrow{S M}=\left(\begin{array}{c}7{,}5 \\0 \\0\end{array}\right)+q \cdot\left(\begin{array}{c}-4{,}5 \\4 \\5\end{array}\right), q \in \mathbb{R}.

    Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Gerade gg und die Strecke SM‾\overline{S M} einen gemeinsamen Punkt besitzen. (3 P)

  4. Anstelle des Punktes SS werden nun Punkte St(t∣0∣0)S_{t}(t|0| 0) mit t≥0t \geq 0 auf der xx-Achse betrachtet.

    Bestimmen Sie denjenigen Wert von tt, für den das Dreieck MFSMFS im Punkt MM rechtwinklig ist. (3 P)



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