Teil B: Vektorielle Geometrie - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 | 0 | 0), D (6 | 0 | 5)$ , $E (0 | 8 | 5)$ und $F (0 | 0 | 5)$ sowie der Punkt $M (3 | 4 | 5)$ gegeben.

Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M, F$ und $S (7,5 | 0 | 0)$ (vgl. Abbildung 2).

Begründen Sie, dass
$\vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + m \cdot (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + n \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{array}), m \in ℝ, n \in ℝ,$
eine Gleichung von $W$ in Parameterform ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Begründe, dass die gegebene Ebenengleichung eine Gleichung von $W$ in Parameterform ist
Gegeben ist: $\vec{x} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + m \cdot (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + n \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{array})$
Die Ebene $W$ enthält die Punkte $M (3 | 4 | 5), F (0 | 0 | 5)$ und $S (7,5 | 0 | 0)$ .
Wegen $(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + m \cdot (\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + n \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) = \vec{O F} + m \cdot \vec{F M} + n \cdot \vec{F S}$ ist die angegebene Gleichung eine Parametergleichung der Ebene $W$ .

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Stelle die Ebenengleichung mit den Punkten $F, M$ und $S$ auf und vergleiche sie mit der angegebenen Ebenengleichung.
Im Folgenden sind zwei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
(I) $P (6 | 0 | r) mit 0 \leq r \leq 5$
(II) $| \begin{array}{lcc} 6 & = & 3 \cdot m + 7,5 \cdot n \\ 0 & = & 4 \cdot m \\ r & = & 5 - 5 \cdot n \end{array} |$ .
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung Punkt-Ebene (Inzidenz)
Gib eine passende Aufgabenstellung an
In (I) ist der Punkt $P$ gegeben. Er liegt für $0 \leq r \leq 5$ auf der Strecke $A D$ .
Gleichung (II): Es wird geprüft, ob der Punkt $P$ in der Ebene $W$ aus Aufgabe a) liegt.
Daraus ergibt sich die folgende Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes der Strecke $A D$ , der in der Ebene $W$ liegt.
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Was ist in (I) gegeben und was stellt die Gleichung in (II) dar?
Gegeben ist die Gerade $g$ durch die Gleichung
$g : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 1,5 \\ 8 \\ 10 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{array}), k \in ℝ$
Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $S$ und $M$ und lässt sich beschreiben durch
$h : \vec{x} = \vec{O S} + q \cdot \vec{S M} = (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + q \cdot (\begin{array}{c} - 4,5 \\ 4 \\ 5 \end{array}), q \in ℝ$ .
Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $S M$ einen gemeinsamen Punkt besitzen. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineares Gleichungssystem
Untersuche rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $S M$ einen gemeinsamen Punkt besitzen
Setze $g = h$ :
$(\begin{array}{c} - 1,5 \\ 8 \\ 10 \end{array}) + k \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ - 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + q \cdot (\begin{array}{c} - 4,5 \\ 4 \\ 5 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} - 1,5 \\ 8 \\ 10 \end{array}) - (\begin{array}{c} 7,5 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 7,5 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + q \cdot (\begin{array}{c} - 4,5 \\ 4 \\ 5 \end{array})$
$\Rightarrow (\begin{array}{c} - 9 \\ 8 \\ 10 \end{array}) = k \cdot (\begin{array}{c} - 7,5 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + q \cdot (\begin{array}{c} - 4,5 \\ 4 \\ 5 \end{array})$
Aus Gleichung $II$ folgt $8 = 4 \cdot q \Rightarrow q = 2$
Mit $q = 2$ erhält man in Gleichung $III : 10 = 5 \cdot k + 2 \cdot 5 \Rightarrow k = 0$
Eingesetz in Gleichung $I : - 9 = 0 \cdot (- 7,5) + 2 \cdot (- 4,5) ✓$
Demnach sind $q = 2$ und $k = 0$ die Lösungen des Gleichungssystems.
Wegen $2 \notin [0; 1]$ besitzen die Gerade $g$ und die Strecke $S M$ keinen gemeinsamen Punkt.
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Setze $g = h$ und löse das Gleichungssystem nach $k$ und $q$ auf.
Wenn $0 \leq q \leq 1$ , dann haben die Gerade $g$ und die Strecke $S M$ einen gemeinsamen Punkt.
Anstelle des Punktes $S$ werden nun Punkte $S_{t} (t | 0 | 0)$ mit $t \geq 0$ auf der $x$ -Achse betrachtet.
Bestimmen Sie denjenigen Wert von $t$ , für den das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bestimme denjenigen Wert von $t$ , für den das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist
Berechne die Vektoren $\vec{M S_{t}}$ und $\vec{M F}$ .
$\vec{M S_{t}} = \vec{O S_{t}} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} t \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} t - 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{array})$
$\vec{M F} = \vec{O F} - \vec{O M} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array})$
Für einen rechten Winkel muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null sein.
$\vec{M S_{t}} \circ \vec{M F} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} t - 3 \\ - 4 \\ - 5 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{array}) = - 3 \cdot t + 9 + 16 + 0 = 0 \Rightarrow t = \frac{25}{3}$
Für $t = \frac{25}{3}$ ist das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig.
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Berechne die Vektoren $\vec{M S_{t}}$ und $\vec{M F}$ .
Für einen rechten Winkel muss das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null sein.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Begründe, dass die gegebene Ebenengleichung eine Gleichung von W in Parameterform ist

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Gib eine passende Aufgabenstellung an

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Untersuche rechnerisch, ob die Gerade g und die Strecke SM einen gemeinsamen Punkt besitzen

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Bestimme denjenigen Wert von t, für den das Dreieck MFS im Punkt M rechtwinklig ist

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Begründe, dass die gegebene Ebenengleichung eine Gleichung von $W$ in Parameterform ist

Untersuche rechnerisch, ob die Gerade $g$ und die Strecke $S M$ einen gemeinsamen Punkt besitzen

Bestimme denjenigen Wert von $t$ , für den das Dreieck $M F S$ im Punkt $M$ rechtwinklig ist