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Teil B: Vektorielle Geometrie

  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben sind das gerade Prisma ABCDEFA B C D E F mit den Eckpunkten C(0∣0∣0),D(6∣0∣5)C(0|0| 0), D(6|0| 5), E(0∣8∣5)E(0|8| 5) und F(0∣0∣5)F(0|0| 5) sowie der Punkt M(3∣4∣5)M(3|4| 5) (vgl. Abbildung 1).

    Prisma

    Abbildung 1

    1. Berechnen Sie die GrĂ¶ĂŸe des Innenwinkels des Dreiecks DEFDEF bei DD. (2 P)

    2. Berechnen Sie den Inhalt der OberflÀche des Prismas. (4 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma ABCDEFA B C D E F mit den Eckpunkten C(0∣0∣0),D(6∣0∣5)C(0|0| 0), D(6|0| 5), E(0∣8∣5)E(0|8| 5) und F(0∣0∣5)F(0|0| 5) sowie der Punkt M(3∣4∣5)M(3|4| 5) gegeben.

    Mit WtW_{t} wird die Ebene bezeichnet, die die Punkte M,FM, F und St(t∣0∣0)S_{t}(t|0| 0) mit t≄0t \geq 0 enthĂ€lt.

    In Abbildung 2 ist dieser Sachverhalt fĂŒr einen bestimmen Wert von tt dargestellt.

    Prisma mit Ebene

    Abbildung 2

    1. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene WtW_{t} in Parameterform auf. (2 P)

    2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene WtW_{t}.

      [[Zur Kontrolle: (20−154⋅t)\begin{pmatrix}20 \\ -15 \\ 4 \cdot t\end{pmatrix} ist ein Normalenvektor der Ebene Wt.]\left.W_{t}.\right] (3 P)

    3. Berechnen Sie die GrĂ¶ĂŸe des Winkels zwischen der Ebene W5W_{5} und der x-y-Ebene. (3 P)

    4. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von tt gibt, fĂŒr den die Strecke BD‟\overline{B D} senkrecht zur Ebene WtW_{t} verlĂ€uft. (4 P)

    5. Die Gerade gtg_{t} verlÀuft durch den Punkt DD und senkrecht zur Ebene WtW_{t}.

      FĂŒr t>0t>0 schneidet die Gerade gtg_{t} die xx-yy-Ebene im Punkt QtQ_{t}. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes QtQ_{t}.

      [[Zur Kontrolle: Qt(6−25t∣754⋅t∣0).]\left.Q_{t}\left(6-\frac{25}{t}\left|\frac{75}{4 \cdot t}\right| 0\right).\right] (4 P)

    6. Im Folgenden sind drei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

      (I) P(6−6⋅r∣8⋅r∣0)\quad P(6-6 \cdot r|8 \cdot r| 0) mit 0≀r≀10 \leq r \leq 1.

      (II) ∣6−25t=6−6⋅r754⋅t=8⋅r∣\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{rl}6-\frac{25}{t} & =6-6 \cdot r \\ \frac{75}{4 \cdot t} & =8 \cdot r\end{array}\right|.

      (III) Das Gleichungssystem (II) besitzt keine Lösung.

      Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und interpretieren Sie (III) geometrisch.

      (2P+1P)


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