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Teil B: Vektorielle Geometrie

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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben sind das gerade Prisma ABCDEF mit den Eckpunkten C(0|0|0),D(6|0|5), E(0|8|5) und F(0|0|5) sowie der Punkt M(3|4|5) (vgl. Abbildung 1).

    Prisma

    Abbildung 1

    1. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Dreiecks DEF bei D. (2 P)

    2. Berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Prismas. (4 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma ABCDEF mit den Eckpunkten C(0|0|0),D(6|0|5), E(0|8|5) und F(0|0|5) sowie der Punkt M(3|4|5) gegeben.

    Mit Wt wird die Ebene bezeichnet, die die Punkte M,F und St(t|0|0) mit t0 enthält.

    In Abbildung 2 ist dieser Sachverhalt für einen bestimmen Wert von t dargestellt.

    Prisma mit Ebene

    Abbildung 2

    1. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene Wt in Parameterform auf. (2 P)

    2. Bestimmen Sie die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene Wt.

      [Zur Kontrolle: (20154t) ist ein Normalenvektor der Ebene Wt.] (3 P)

    3. Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der Ebene W5 und der x-y-Ebene. (3 P)

    4. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von t gibt, für den die Strecke BD senkrecht zur Ebene Wt verläuft. (4 P)

    5. Die Gerade gt verläuft durch den Punkt D und senkrecht zur Ebene Wt.

      Für t>0 schneidet die Gerade gt die x-y-Ebene im Punkt Qt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Qt.

      [Zur Kontrolle: Qt(625t|754t|0).] (4 P)

    6. Im Folgenden sind drei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:

      (I) P(66r|8r|0) mit 0r1.

      (II) |625t=66r754t=8r|.

      (III) Das Gleichungssystem (II) besitzt keine Lösung.

      Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und interpretieren Sie (III) geometrisch.

      (2P+1P)


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