Teil B: Vektorielle Geometrie - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 | 0 | 0), D (6 | 0 | 5)$ , $E (0 | 8 | 5)$ und $F (0 | 0 | 5)$ sowie der Punkt $M (3 | 4 | 5)$ gegeben.

Mit $W_{t}$ wird die Ebene bezeichnet, die die Punkte $M, F$ und $S_{t} (t | 0 | 0)$ mit $t \geq 0$ enthält.

In Abbildung 2 ist dieser Sachverhalt für einen bestimmen Wert von $t$ dargestellt.

Stellen Sie eine Gleichung der Ebene $W_{t}$ in Parameterform auf. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Stelle eine Gleichung der Ebene $W_{t}$ in Parameterform auf
Ebene durch die drei Punkte $F, M$ und $S_{t}$ :
$W_{t} : \vec{x} = \vec{O F} + r \cdot \vec{F M} + s \cdot \vec{F S_{t}}$
$\vec{F M} = \vec{O M} - \vec{O F} = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array})$
$\vec{F S_{t}} = \vec{O S_{t}} - \vec{O F} = (\begin{array}{c} t \\ 0 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} t \\ 0 \\ - 5 \end{array})$
Damit folgt:
$W_{t} : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} t \\ 0 \\ - 5 \end{matrix})$
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Ebene durch die drei Punkte $F, M$ und $S_{t}$ .
$W_{t} : \vec{x} = \vec{O F} + r \cdot \vec{F M} + s \cdot \vec{F S_{t}}$
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $W_{t}$ .
$[$ Zur Kontrolle: $(\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot t \end{array})$ ist ein Normalenvektor der Ebene $W_{t} .]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
Bestimme die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $W_{t}$
Der Normalenvektor $\vec{n_{W_{t}}} = (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array})$ muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen $\Rightarrow$ Skalarprodukt ist gleich null.
$(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) = 0$ und $(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} t \\ 0 \\ - 5 \end{array}) = 0$
Man erhält das Gleichungssystem:
$\begin{array}{rccccccc} I & 3 \cdot n_{1} & + & 4 \cdot n_{2} & = & 0 \\ II & t \cdot n_{1} & - & 5 \cdot n_{3} & = & 0 \end{array}$
Aus $I$ folgt: $n_{2} = - \frac{3}{4} n_{1}$ und aus $II$ folgt $t \cdot n_{1} = 5 \cdot n_{3}$ .
$n_{3}$ ist frei wählbar, z.B. $\Rightarrow n_{3} = 4 \cdot t$
Damit ist dann $t \cdot n_{1} = 5 \cdot 4 \cdot t \Rightarrow n_{1} = 20$ und $n_{2} = - \frac{3}{4} \cdot 20 = - 15$
Man erhält als möglichen Normalenvektor von $W_{t} : \vec{n_{W_{t}}} = (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot t \end{array})$ .
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Der Normalenvektor $\vec{n_{W_{t}}} = (\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array})$ muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen $\Rightarrow$ Skalarprodukt ist gleich null.
Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene
Für die Ebene $W_{5}$ ist $t = 5$ .
Der Normalenvektor der Ebene $W_{5}$ ist dann $\vec{n_{W_{5}}} = (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 20 \end{array})$ .
$| \vec{n_{W_{5}}} | = \sqrt{20^{2} + (- 15)^{2} + 20^{2}} = \sqrt{1025}$
Der Normalenvektor der x-y-Ebene ist $\vec{n_{x y}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
$| \vec{n_{x y}} | = 1$
Dann gilt für den Winkel:
$\cos (β) = \frac{| \vec{n_{W_{5}}} \circ \vec{n_{x y}} |}{| \vec{n_{W_{5}}} | \cdot | \vec{n_{x y}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 20 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{1025} \cdot 1} = \frac{20}{\sqrt{1025}} = \frac{4}{\sqrt{41}}$ $\Rightarrow β = \cos^{- 1} (\frac{4}{\sqrt{41}}) \approx {51,34}^{\circ}$
Die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene beträgt rund ${51,34}^{\circ}$ .

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Der Normalenvektor der Ebene $W_{5}$ ist $\vec{n_{W_{5}}} = (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 20 \end{array})$ .
Der Normalenvektor der x-y-Ebene ist $\vec{n_{x y}} = (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ .
Dann gilt für den Winkel: $\cos (β) = \frac{| \vec{n_{W_{5}}} \circ \vec{n_{x y}} |}{| \vec{n_{W_{5}}} | \cdot | \vec{n_{x y}} |}$
Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $B D$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Untersuche, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $B D$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft
Gegeben ist $\vec{n_{W_{t}}} = (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot t \end{array})$ und $\vec{B D} = \vec{O D} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 \\ - 8 \\ 5 \end{array})$ .
Dann muss $\vec{n_{W_{t}}} ∥ \vec{B D}$ sein.
$\Rightarrow$
$\vec{n_{W_{t}}} = r \cdot \vec{B D} \Leftrightarrow | \begin{array}{ccc} 20 & = & r \cdot 6 \\ - 15 & = & r \cdot (- 8) \\ 4 \cdot t & = & r \cdot 5 \end{array} |$
Aus Gleichung $I$ folgt $r = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ .
Aus Gleichung $II$ folgt $r = \frac{- 15}{- 8} = \frac{15}{8}$ .
Damit ergibt sich ein Widerspruch da $\frac{10}{3} \neq \frac{15}{8}$ .
Für keinen Wert von $t$ gibt es eine Lösung des Gleichungssystems.
Es gibt keinen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $B D$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft.
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Prüfe, ob $\vec{n_{W_{t}}} = r \cdot \vec{B D}$ für einen Wert von $t$ erfüllt ist.
Die Gerade $g_{t}$ verläuft durch den Punkt $D$ und senkrecht zur Ebene $W_{t}$ .
Für $t > 0$ schneidet die Gerade $g_{t}$ die $x$ - $y$ -Ebene im Punkt $Q_{t}$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $Q_{t}$ .
$[$ Zur Kontrolle: $Q_{t} (6 - \frac{25}{t} | \frac{75}{4 \cdot t} | 0) .]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q_{t}$
Es ist $\vec{O D} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array})$ und der Richtungsvektor der Geraden $g_{t}$ ist der Normalenvektor $\vec{n_{W_{t}}} = (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot t \end{array})$ der Ebene $W_{t}$ .
$g_{t} : \vec{x} = \vec{O D} + r \cdot \vec{n_{W_{t}}} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot t \end{array})$ mit $r \in ℝ$
Die Gerade $g_{t}$ schneidet die $x$ - $y$ -Ebene, wenn $z = 0$ ist.
$\Rightarrow 0 = 5 + r \cdot 4 \cdot t \Rightarrow r = - \frac{5}{4 \cdot t}$
Eingesetzt in die Geradengleichung erhält man
${\vec{x}}_{Q_{t}} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - \frac{5}{4 \cdot t} \cdot (\begin{array}{c} 20 \\ - 15 \\ 4 \cdot t \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 - \frac{25}{t} \\ \frac{75}{4 \cdot t} \\ 0 \end{array})$
Damit besitzt der Punkt $Q_{t}$ die Koordinaten $Q_{t} (6 - \frac{25}{t} | \frac{75}{4 \cdot t} | 0)$ .
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Stelle die Geradengleichung auf $g_{t} : \vec{x} = \vec{O D} + r \cdot \vec{n_{W_{t}}}$ .
Die Gerade $g_{t}$ schneidet die $x$ - $y$ -Ebene, wenn $z = 0$ ist.
Löse $z = 0$ nach $r$ auf und setze das erhaltene $r$ in die Geradengleichung ein.
Im Folgenden sind drei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
(I) $P (6 - 6 \cdot r | 8 \cdot r | 0)$ mit $0 \leq r \leq 1$ .
(II) $| \begin{aligned} 6 - \frac{25}{t} & = 6 - 6 \cdot r \\ \frac{75}{4 \cdot t} & = 8 \cdot r \end{aligned} |$ .
(III) Das Gleichungssystem (II) besitzt keine Lösung.
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und interpretieren Sie (III) geometrisch.
(2P+1P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Gib eine passende Aufgabenstellung an
Gegeben:
$(I) P (6 - 6 \cdot r | 8 \cdot r | 0)$ mit $0 \leq r \leq 1$
Es gilt: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 6 \\ 8 \\ 0 \end{array})$ und
$g_{A B} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} = (\begin{array}{c} 6 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 6 \\ 8 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6 - 6 \cdot r \\ 8 \cdot r \\ 0 \end{array})$
Demnach ist wegen $0 \leq r \leq 1$ der Punkt $P$ ein Punkt, der auf der Stecke $A B$ liegt.
Weiterhin ist die folgende Gleichung gegeben:
$(I I) | \begin{aligned} 6 - \frac{25}{t} & = 6 - 6 \cdot r \\ \frac{75}{4 \cdot t} & = 8 \cdot r \end{aligned} |$
Mit $\vec{O Q_{t}} = (\begin{array}{c} 6 - \frac{25}{t} \\ \frac{75}{4 \cdot t} \\ 0 \end{array})$ und $\vec{O P} = (\begin{array}{c} 6 - 6 \cdot r \\ 8 \cdot r \\ 0 \end{array})$ erhält man die angegebene Gleichung $(I I)$ .
Eine mögliche Aufgabenstellung lautet:
Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den der Punkt $Q_{t}$ auf der Strecke $A B$ liegt.
Interpretiere $(I I I)$ geometrisch
Interpretation von $(I I I)$ : Es gibt keinen Wert von $t$ , für den der Punkt $Q_{t}$ auf der Strecke $A B$ liegt.
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Berechne $\vec{A B}$ und $g_{A B}$ . Welche Eigenschaft hat dann der gegebene Punkt $P$ ?
Welche beiden Vektoren sollen im Gleichungssystem $(I I)$ gleich groß sein?
Welche Schlussfolgerung kann man aus $(I I I)$ ziehen?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Stelle eine Gleichung der Ebene Wt in Parameterform auf

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Bestimme die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene Wt

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Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene W5 und der x-y-Ebene

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Untersuche, ob es einen Wert von t gibt, für den die Strecke BD senkrecht zur Ebene Wt verläuft

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Bestimme die Koordinaten des Punktes Qt

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Gib eine passende Aufgabenstellung an

Interpretiere (III) geometrisch

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Stelle eine Gleichung der Ebene $W_{t}$ in Parameterform auf

Bestimme die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $W_{t}$

Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene

Untersuche, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $B D$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft

Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q_{t}$

Interpretiere $(I I I)$ geometrisch