Teil B: Vektorielle Geometrie - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

In Aufgabe 1 sind das gerade Prisma $A B C D E F$ mit den Eckpunkten $C (0 ∣ 0 ∣ 0), D (6 ∣ 0 ∣ 5)$ , $E (0 ∣ 8 ∣ 5)$ und $F (0 ∣ 0 ∣ 5)$ sowie der Punkt $M (3 ∣ 4 ∣ 5)$ gegeben.

Mit $W_{t}$ wird die Ebene bezeichnet, die die Punkte $M, F$ und $S_{t}(t|0| 0)$ mit $t \geq 0$ enthält.

In Abbildung 2 ist dieser Sachverhalt für einen bestimmen Wert von $t$ dargestellt.

Stellen Sie eine Gleichung der Ebene $W_{t}$ in Parameterform auf. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene aus drei Punkten
Stelle eine Gleichung der Ebene $W_{t}$ in Parameterform auf
Ebene durch die drei Punkte $F, M$ und $S_{t}$ :
$W_t:\vec x=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FM}+s\cdot \overrightarrow{FS_t}$
$\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{FS_t}=\overrightarrow{OS_t}-\overrightarrow{OF}=\begin{pmatrix}t\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t\\0\\-5\end{pmatrix}$
Damit folgt:
$\def\arraystretch{1.25} W_t:\vec x = \left(\begin{array}{}0\\0\\5\end{array}\right) + r\cdot \left(\begin{array}{}3\\4\\0\end{array}\right) + s\cdot \left(\begin{array}{}t\\0\\−5\end{array}\right)$
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Ebene durch die drei Punkte $F, M$ und $S_{t}$ .
$W_t:\vec x=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FM}+s\cdot \overrightarrow{FS_t}$
Bestimmen Sie die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $W_{t}$ .
$[$ Zur Kontrolle: $\begin{pmatrix}20 \\ -15 \\ 4 \cdot t\end{pmatrix}$ ist ein Normalenvektor der Ebene $\left.W_{t}.\right]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Normalenvektor – Umwandeln von Ebenendarstellungen
Bestimme die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $W_{t}$
Der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{W_{t}}}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen $\;\Rightarrow\;$ Skalarprodukt ist gleich null.
$\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}=0$ und $\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}t\\0\\-5\end{pmatrix}=0$
Man erhält das Gleichungssystem:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rccccccc}\mathrm{I} & 3\cdot n_1 & + & 4\cdot n_2& = & 0 \\\mathrm{II} & t\cdot n_1& - &5\cdot n_3 & = & 0 \end{array}$
Aus $\mathrm{I}$ folgt: $n_2=-\frac{3}{4}n_1$ und aus $\mathrm{II}$ folgt $t\cdot n_1=5\cdot n_3$ .
$n_{3}$ ist frei wählbar, z.B. $\;\Rightarrow\;n_3=4\cdot t$
Damit ist dann $t\cdot n_1=5\cdot 4\cdot t\;\Rightarrow\;n_1=20$ und $n_2=-\frac{3}{4}\cdot 20=-15$
Man erhält als möglichen Normalenvektor von $W_{t}: \overrightarrow{n_{W_{t}}}=\begin{pmatrix}20\\-15\\4\cdot t\end{pmatrix}$ .
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Der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{W_{t}}}=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}$ muss senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren stehen $\;\Rightarrow\;$ Skalarprodukt ist gleich null.
Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel zwischen zwei Vektoren
Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene
Für die Ebene $W_{5}$ ist $t = 5$ .
Der Normalenvektor der Ebene $W_{5}$ ist dann $\overrightarrow{n_{W_{5}}}=\begin{pmatrix}20\\-15\\4\cdot 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\-15\\20\end{pmatrix}$ .
$\left|\overrightarrow{n_{W_{5}}}\right|=\sqrt{20^2+(-15)^2+20^2}=\sqrt{1025}$
Der Normalenvektor der x-y-Ebene ist $\overrightarrow{n_{x y}}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .
$\left|\overrightarrow{n_{x y}}\right|=1$
Dann gilt für den Winkel:
$\cos (\beta)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_{W_{5}}} \circ \overrightarrow{n_{x y}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{W_{5}}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{x y}}\right|}=\dfrac{\left|\begin{pmatrix}20\\-15\\20\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\sqrt{1025}\cdot 1}=\dfrac{20}{\sqrt{1025}}=\dfrac{4}{\sqrt{41}}$ $\Rightarrow\;\beta=\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{41}}\right)\approx 51{,}34^{\circ}$
Die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene beträgt rund $51{,}34^{\circ}$ .

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Der Normalenvektor der Ebene $W_{5}$ ist $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{n_{W_{5}}}=\left(\begin{array}{c}20 \\ -15 \\ 20\end{array}\right)$ .
Der Normalenvektor der x-y-Ebene ist $\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{n_{x y}}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ .
Dann gilt für den Winkel: $\cos (\beta)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n_{W_{5}}} \circ \overrightarrow{n_{x y}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{W_{5}}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{x y}}\right|}$
Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $\overline{B D}$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
Untersuche, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $\overline{B D}$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft
Gegeben ist $\overrightarrow{n_{W_{t}}}=\begin{pmatrix}20\\-15\\4\cdot t\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-8\\5\end{pmatrix}$ .
Dann muss $\overrightarrow{n_{W_{t}}}\parallel \overrightarrow{BD}$ sein.
$\Rightarrow\;$
$\def\arraystretch{1.25} \overrightarrow{n_{W_{t}}}=r \cdot \overrightarrow{B D} \Leftrightarrow\left|\begin{array}{ccc}20 & = & r \cdot 6 \\ -15 & = & r \cdot(-8) \\ 4 \cdot t & = & r \cdot 5\end{array}\right|$
Aus Gleichung $\mathrm{I}$ folgt $r=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ .
Aus Gleichung $\mathrm{II}$ folgt $r=\dfrac{-15}{-8}=\dfrac{15}{8}$ .
Damit ergibt sich ein Widerspruch da $\dfrac{10}{3}\neq \dfrac{15}{8}$ .
Für keinen Wert von $t$ gibt es eine Lösung des Gleichungssystems.
Es gibt keinen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $\overline{B D}$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft.
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Prüfe, ob $\overrightarrow{n_{W_{t}}}=r \cdot \overrightarrow{B D}$ für einen Wert von $t$ erfüllt ist.
Die Gerade $g_{t}$ verläuft durch den Punkt $D$ und senkrecht zur Ebene $W_{t}$ .
Für $t > 0$ schneidet die Gerade $g_{t}$ die $x$ - $y$ -Ebene im Punkt $Q_{t}$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $Q_{t}$ .
$[$ Zur Kontrolle: $\left.Q_{t}\left(6-\frac{25}{t}\left|\frac{75}{4 \cdot t}\right| 0\right).\right]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q_{t}$
Es ist $\overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}$ und der Richtungsvektor der Geraden $g_{t}$ ist der Normalenvektor $\overrightarrow{n_{W_{t}}}=\begin{pmatrix}20\\-15\\4\cdot t\end{pmatrix}$ der Ebene $W_{t}$ .
$g_{t}: \vec{x}=\overrightarrow{O D}+r \cdot \overrightarrow{n_{W_{t}}}= \begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}20\\-15\\4\cdot t\end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$
Die Gerade $g_{t}$ schneidet die $x$ - $y$ -Ebene, wenn $z = 0$ ist.
$\Rightarrow\;0=5+r\cdot 4\cdot t\;\Rightarrow\;r=-\dfrac{5}{4\cdot t}$
Eingesetzt in die Geradengleichung erhält man
$\vec x_{Q_t}=\begin{pmatrix}6\\0\\5\end{pmatrix}-\frac{5}{4 \cdot t}\cdot \begin{pmatrix}20\\-15\\4\cdot t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-\dfrac{25}{t}\\[2ex]\dfrac{75}{4\cdot t}\\[2ex]0\end{pmatrix}$
Damit besitzt der Punkt $Q_{t}$ die Koordinaten $Q_{t}\left(6-\frac{25}{t}\left|\frac{75}{4 \cdot t}\right| 0\right)$ .
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Stelle die Geradengleichung auf $g_{t}: \vec{x}=\overrightarrow{O D}+r \cdot \overrightarrow{n_{W_{t}}}$ .
Die Gerade $g_{t}$ schneidet die $x$ - $y$ -Ebene, wenn $z = 0$ ist.
Löse $z = 0$ nach $r$ auf und setze das erhaltene $r$ in die Geradengleichung ein.
Im Folgenden sind drei Schritte der Lösung einer Aufgabe angegeben, die im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten steht:
(I) $\quad P(6-6 \cdot r|8 \cdot r| 0)$ mit $0 \leq r \leq 1$ .
(II) $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{rl}6-\frac{25}{t} & =6-6 \cdot r \\ \frac{75}{4 \cdot t} & =8 \cdot r\end{array}\right|$ .
(III) Das Gleichungssystem (II) besitzt keine Lösung.
Geben Sie eine passende Aufgabenstellung an und interpretieren Sie (III) geometrisch.
(2P+1P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
Gib eine passende Aufgabenstellung an
Gegeben:
$\mathrm{(I)}\; P(6-6 \cdot r|8 \cdot r| 0)$ mit $0 \leq r \leq 1$
Es gilt: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}$ und
$g_{AB}:\vec x=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-6\cdot r\\8\cdot r\\0\end{pmatrix}$
Demnach ist wegen $0 \leq r \leq 1$ der Punkt $P$ ein Punkt, der auf der Stecke $\overline{A B}$ liegt.
Weiterhin ist die folgende Gleichung gegeben:
$\def\arraystretch{1.25} \mathrm{(II)}\;\left|\begin{array}{rl}6-\frac{25}{t} & =6-6 \cdot r \\ \frac{75}{4 \cdot t} & =8 \cdot r\end{array}\right|$
Mit $\overrightarrow{OQ_t}=\begin{pmatrix}6-\dfrac{25}{t}\\[2ex]\dfrac{75}{4\cdot t}\\[2ex]0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}6-6\cdot r\\8\cdot r\\0\end{pmatrix}$ erhält man die angegebene Gleichung $\mathrm{(II)}$ .
Eine mögliche Aufgabenstellung lautet:
Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den der Punkt $Q_{t}$ auf der Strecke $\overline{A B}$ liegt.
Interpretiere $\mathrm{(III)}$ geometrisch
Interpretation von $\mathrm{(III)}$ : Es gibt keinen Wert von $t$ , für den der Punkt $Q_{t}$ auf der Strecke $\overline{A B}$ liegt.
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Berechne $\overrightarrow{AB}$ und $g_{AB}$ . Welche Eigenschaft hat dann der gegebene Punkt $P$ ?
Welche beiden Vektoren sollen im Gleichungssystem $\mathrm{(II)}$ gleich groß sein?
Welche Schlussfolgerung kann man aus $\mathrm{(III)}$ ziehen?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Stelle eine Gleichung der Ebene WtW_{t}Wt​ in Parameterform auf

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Bestimme die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene WtW_{t}Wt​

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Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene W5W_{5}W5​ und der x-y-Ebene

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Untersuche, ob es einen Wert von ttt gibt, für den die Strecke BD‾\overline{B D}BD senkrecht zur Ebene WtW_{t}Wt​ verläuft

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Bestimme die Koordinaten des Punktes QtQ_{t}Qt​

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Gib eine passende Aufgabenstellung an

Interpretiere (III)\mathrm{(III)}(III) geometrisch

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Stelle eine Gleichung der Ebene $W_{t}$ in Parameterform auf

Bestimme die Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene $W_{t}$

Berechne die Größe des Winkels zwischen der Ebene $W_{5}$ und der x-y-Ebene

Untersuche, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den die Strecke $\overline{B D}$ senkrecht zur Ebene $W_{t}$ verläuft

Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q_{t}$

Interpretiere $\mathrm{(III)}$ geometrisch