Teil B: Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ .

(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an
Es ist $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ .
Berechne $f (0)$ :
$f(0)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 0}=25-20\cdot 1=5$
Zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt die Wassertemperatur $5^{\circ} \mathrm{C}$ .
(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ mit dem GTR.
Betrachte die Graphen von $f$ und von $y = 12$ und bestimme ihren Schnittpunkt $t_1\approx 30{,}8$ .
Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Temperatur von $12^{\circ} \mathrm{C}$ .
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Schnittpunktbestimmung
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(i)
Berechne $f (0)$ .
(ii)
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ mit dem GTR.
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten
Für die mittlere Änderungsrate gilt:
$\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}=\dfrac{\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 30}\right)-5}{30}\approx0{,}23$
Die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten beträgt rund $0{,}23 \;\frac{{ }^{\circ} \mathrm{C}}{\mathrm{min}}$ .
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Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$
Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
(i) Geben Sie $f^{\prime}(30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (2 P)
(ii) Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $f^{\prime}(t)>0$ und $f^{\prime \prime}(t)<0$ .
Erklären Sie, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
(i) Geben Sie $f^{\prime}(30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an
Betrachte den Graphen von $f (x)$ :
Drücke eine beliebige Zahlentaste und gib für $x$ den Wert $30$ ein.
Angezeigt wird $\mathrm{\dfrac{dY}{dX}}\approx0{,}1839$ $\;\Rightarrow\;f'(30)\approx0{,}18$
$30$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank nimmt die Wassertemperatur mit einer momentanen Rate von etwa $0{,}18\;\frac{{}^\circ \text{C}}{\text{min}}$ zu.
ii) Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $f^{\prime}(t)>0$ und $f^{\prime \prime}(t)<0$ . Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten
Wegen $f^{\prime}(t)>0$ nimmt die Wassertemperatur kontinuierlich zu.
Aus $f^{\prime \prime}(t)<0$ folgt, dass der Graph von $f$ nach rechts gekrümmt ist, d.h. die Wassertemperatur nimmt im Glas immer langsamer zu.
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(i)
Betrachte den Graphen von $f (x)$ . (Beim GTR $x$ statt $t$ .)
Gib für $x$ den Wert $30$ ein.
Angezeigt wird $\mathrm{\dfrac{dY}{dX}}$ , die erste Ableitung an der Stelle $x = 30$ , also $f^{'} (30)$ .
(ii)
Ist $f^{\prime}(t)>0$ nimmt die Wassertemperatur kontinuierlich zu.
Ist $f^{\prime \prime}(t)<0$ folgt, dass der Graph von $f$ nach rechts gekrümmt ist. Was folgt daraus für den Verlauf der Wassertemperatur?

Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

Es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Zeige, es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist

Die Raumtemperatur beträgt $25^{\circ} \mathrm{C}$ und die Wassertemperatur ist $f (t)$ .

Die momentane Änderungsrate ist $f'(t)=-20\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}\cdot (-0{,}014)=0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$

Damit erhält man die folgende Gleichung:

$25-f(t)=c\cdot f'(t)$

$\Rightarrow\;25-\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}\right)=c\cdot0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$

Löse die Gleichung nach t auf:

$\displaystyle 25-\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}\right)$	$=$	$\displaystyle c\cdot0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$
	↓	Löse die Gleichung nach $t$ auf.
$\displaystyle 20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$	$=$	$\displaystyle c\cdot0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$	$\displaystyle :\mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$
	↓	$\mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ ist ungleich $0$ .
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle c\cdot 0{,}28$	$\displaystyle :0{,}28$
$\displaystyle \dfrac{20}{0{,}28}$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle 71{,}43$	$\approx ≈$	$\displaystyle c$

Die Gleichung hat somit unabhängig von $t$ die Lösung $c\approx 71{,}43$ .

Somit existiert die Konstante.

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Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.
Beschreiben Sie, durch welche Transformationen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht
Gegeben sind $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ und $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$
$f\xrightarrow{\text{Spiegelung an t-Achse}}-f(t)=-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ anschließend
$\xrightarrow{\text{Verschiebung um 30 in positive y-Richtung}}-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}+30=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}=g(t)$
Die Transformationen sind also:
Spiegelung an der t-Achse
Verschiebung um $30$ in positive y-Richtung
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Was bewirkt eine Spiegelung an der t-Achse?
Was ändert sich, wenn der Funktionsgraph in positive y-Richtung verschoben wird?
Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:
$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab. (2 P)
$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Beurteile jede der folgenden Aussagen:
$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.
Gegeben ist $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ . Dann ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}$ .
Die Aussage $\mathrm{I}$ ist richtig.
Begründung:
Wegen $g^{\prime}(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}<0$ ist für alle $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $g$ streng monoton fallend, d.h. die Temperatur nimmt stetig ab.
$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein
Die Aussage $\mathrm{II}$ ist richtig.
Begründung:
Es ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}=-f'(t)$
Für jedes $t \in \mathbb{R}$ stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten überein.
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Teil I
Berechne $g^{'} (t)$ . Was bedeutet es, wenn die Ableitung negativ ist?
Teil II
Vergleiche die Beträge der beiden Ableitungen $g^{'} (t)$ und $f^{'} (t)$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an

(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12∘C12^{\circ} \mathrm{C}12∘C beträgt

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Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 303030 Minuten

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(i) Geben Sie f′(30)f^{\prime}(30)f′(30) und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an

ii) Für alle t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R gilt: f′(t)>0f^{\prime}(t)>0f′(t)>0 und f′′(t)<0f^{\prime \prime}(t)<0f′′(t)<0. Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten

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Zeige, es gibt eine Konstante ccc, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das ccc-fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist

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Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von fff hervorgeht

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Beurteile jede der folgenden Aussagen:

I\mathrm{I}I Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

II\mathrm{II}II Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein

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(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten

(i) Geben Sie $f^{\prime}(30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an

ii) Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $f^{\prime}(t)>0$ und $f^{\prime \prime}(t)<0$ . Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten

Zeige, es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist

Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht

$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein