Teil B: Analysis 1

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Aufgabe 1

Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ modellhaft beschreiben. Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und $f (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Die Raumtemperatur beträgt konstant $25^{\circ} \mathrm{C}$ .

(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an
Es ist $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ .
Berechne $f (0)$ :
$f(0)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 0}=25-20\cdot 1=5$
Zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank beträgt die Wassertemperatur $5^{\circ} \mathrm{C}$ .
(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ mit dem GTR.
Betrachte die Graphen von $f$ und von $y = 12$ und bestimme ihren Schnittpunkt $t_1\approx 30{,}8$ .
Das Wasser hat rund $31$ Minuten nach Beobachtungsbeginn eine Temperatur von $12^{\circ} \mathrm{C}$ .
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Schnittpunktbestimmung
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(i)
Berechne $f (0)$ .
(ii)
Löse die Gleichung $f (t) = 12$ mit dem GTR.
Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Die mittlere Änderungsrate – Einführung der Ableitung
Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten
Für die mittlere Änderungsrate gilt:
$\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0}=\dfrac{\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot 30}\right)-5}{30}\approx0{,}23$
Die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten beträgt rund $0{,}23 \;\frac{{ }^{\circ} \mathrm{C}}{\mathrm{min}}$ .
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Für die mittlere Änderungsrate gilt allgemein: $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$
Setze $t_{2} = 30$ und $t_{1} = 0$ ein und vereinfache.
(i) Geben Sie $f^{\prime}(30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an. (2 P)
(ii) Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $f^{\prime}(t)>0$ und $f^{\prime \prime}(t)<0$ .
Erklären Sie, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
(i) Geben Sie $f^{\prime}(30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an
Betrachte den Graphen von $f (x)$ :
Drücke eine beliebige Zahlentaste und gib für $x$ den Wert $30$ ein.
Angezeigt wird $\mathrm{\dfrac{dY}{dX}}\approx0{,}1839$ $\;\Rightarrow\;f'(30)\approx0{,}18$
$30$ Minuten nach der Entnahme aus dem Kühlschrank nimmt die Wassertemperatur mit einer momentanen Rate von etwa $0{,}18\;\frac{{}^\circ \text{C}}{\text{min}}$ zu.
ii) Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $f^{\prime}(t)>0$ und $f^{\prime \prime}(t)<0$ . Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten
Wegen $f^{\prime}(t)>0$ nimmt die Wassertemperatur kontinuierlich zu.
Aus $f^{\prime \prime}(t)<0$ folgt, dass der Graph von $f$ nach rechts gekrümmt ist, d.h. die Wassertemperatur nimmt im Glas immer langsamer zu.
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(i)
Betrachte den Graphen von $f (x)$ . (Beim GTR $x$ statt $t$ .)
Gib für $x$ den Wert $30$ ein.
Angezeigt wird $\mathrm{\dfrac{dY}{dX}}$ , die erste Ableitung an der Stelle $x = 30$ , also $f^{'} (30)$ .
(ii)
Ist $f^{\prime}(t)>0$ nimmt die Wassertemperatur kontinuierlich zu.
Ist $f^{\prime \prime}(t)<0$ folgt, dass der Graph von $f$ nach rechts gekrümmt ist. Was folgt daraus für den Verlauf der Wassertemperatur?

Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

Es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen

Zeige, es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist

Die Raumtemperatur beträgt $25^{\circ} \mathrm{C}$ und die Wassertemperatur ist $f (t)$ .

Die momentane Änderungsrate ist $f'(t)=-20\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}\cdot (-0{,}014)=0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$

Damit erhält man die folgende Gleichung:

$25-f(t)=c\cdot f'(t)$

$\Rightarrow\;25-\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}\right)=c\cdot0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$

Löse die Gleichung nach t auf:

$\displaystyle 25-\left(25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}\right)$	$=$	$\displaystyle c\cdot0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$
	↓	Löse die Gleichung nach $t$ auf.
$\displaystyle 20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$	$=$	$\displaystyle c\cdot0{,}28\cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$	$\displaystyle :\mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$
	↓	$\mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ ist ungleich $0$ .
$\displaystyle 20$	$=$	$\displaystyle c\cdot 0{,}28$	$\displaystyle :0{,}28$
$\displaystyle \dfrac{20}{0{,}28}$	$=$	$\displaystyle c$
$\displaystyle 71{,}43$	$\approx ≈$	$\displaystyle c$

Die Gleichung hat somit unabhängig von $t$ die Lösung $c\approx 71{,}43$ .

Somit existiert die Konstante.

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Bei einem anderen Vorgang wird die Entwicklung der Temperatur von Wasser in einem zweiten Glas durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g: t \mapsto 5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $g (t)$ die Wassertemperatur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ . Bei den durch $f$ und $g$ beschriebenen Vorgängen sind die durch $t = 0$ festgelegten Zeitpunkte identisch.
Beschreiben Sie, durch welche Transformationen der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Transformationen von Funktionen
Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht
Gegeben sind $f(t)=25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ und $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$
$f\xrightarrow{\text{Spiegelung an t-Achse}}-f(t)=-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}$ anschließend
$\xrightarrow{\text{Verschiebung um 30 in positive y-Richtung}}-25+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t}+30=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}=g(t)$
Die Transformationen sind also:
Spiegelung an der t-Achse
Verschiebung um $30$ in positive y-Richtung
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Was bewirkt eine Spiegelung an der t-Achse?
Was ändert sich, wenn der Funktionsgraph in positive y-Richtung verschoben wird?
Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:
$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab. (2 P)
$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung von Funktionen
Beurteile jede der folgenden Aussagen:
$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.
Gegeben ist $g(t)=5+20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 t}$ . Dann ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}$ .
Die Aussage $\mathrm{I}$ ist richtig.
Begründung:
Wegen $g^{\prime}(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}<0$ ist für alle $t \in \mathbb{R}$ die Funktion $g$ streng monoton fallend, d.h. die Temperatur nimmt stetig ab.
$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein
Die Aussage $\mathrm{II}$ ist richtig.
Begründung:
Es ist $g'(t)=-0{,}28 \cdot e^{-0{,}014 t}=-f'(t)$
Für jedes $t \in \mathbb{R}$ stimmen die Beträge der momentanen Änderungsraten überein.
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Teil I
Berechne $g^{'} (t)$ . Was bedeutet es, wenn die Ableitung negativ ist?
Teil II
Vergleiche die Beträge der beiden Ableitungen $g^{'} (t)$ und $f^{'} (t)$ .

Aufgabe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ . Der Graph von $h$ wird mit $G_{h}$ bezeichnet.

Geben Sie den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründen Sie Ihre Angabe anhand des Funktionsterms. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwert bestimmen
Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms
Gegeben ist $h(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ .
Dann gilt:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\underbrace{\left(1-x^{2}\right)}_{\rightarrow -\infty}\cdot \underbrace{\mathrm{e}^{x}}_{\rightarrow 0}=0$
$e^{x}$ geht stärker gegen $0$ als $(1 - x^{2})$ gegen minus unendlich geht.
Der Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ ist gleich null.
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Betrachte die einzelnen Faktoren.
$G_{h}$ schließt mit der $x$ -Achse im ersten und zweiten Quadranten eine Fläche $A$ ein.
Die Gerade $m$ verläuft parallel zur $y$ -Achse durch den Hochpunkt $H(-1+\sqrt{2} \mid h(-1+\sqrt{2}))$ von $G_{h}$ und teilt die Fläche $A$ in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat.
(4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat
Für die Nullstellen von $h$ gilt: $h(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$ oder $x = 1$ .
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x)\; \mathrm{d} x$ .
Die beiden Flächen $A_{1}$ und $A_{2}$
Zur Veranschaulichung wurde die obige Zeichnung angefertigt.
Man erkennt, dass die größere Fläche die Fläche $A_{2}$ ist.
Gesucht ist also das Verhältnis $\dfrac{A_2}{A}$ :
$\dfrac{A_2}{A}=\frac{\displaystyle\int_{-1}^{-1+\sqrt{2}} h(x)\; \mathrm{d} x}{\displaystyle\int_{-1}^{1} h(x) \;\mathrm{d} x} \approx 0{,}647$
Der Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat, beträgt rund $64{,}7\ \%$ .
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Berechne die Nullstellen von $h$ $\;\Rightarrow\;x_1$ und $x_{2}$
Der Inhalt der Fläche $A$ entspricht dem Wert des Integrals $\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} h(x)\; \mathrm{d} x$ .
Welche der beiden Teilflächen hat den größeren Flächeninhalt $\;\Rightarrow\;A_{\text{größer}}$
Berechne dann das Verhältnis $\dfrac{A_{\text{größer}}}{A}$ .
Es gibt eine Zahl $b > 1$ , sodass die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt hat wie die Fläche $A$ .
Bestimmen Sie $b$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme $b$
Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
Zwei gleich große Flächen
Die orangefarbige Fläche soll den gleichen Flächeninhalt haben wie die grüne Fläche.
Da die orangefarbige Fläche unterhalb der x-Achse liegt, gilt:
$A_{\text{grün}}+A_{\text{orange}}=0\;\Rightarrow\; \displaystyle\int_{-1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x=0$
Diese Gleichung kann mit $\text{nsolve}$ gelöst werden und man erhält für $b > 1$ die Lösung $b \approx 1{,}55692...$ .
Für $b\approx1{,}56$ hat die Fläche, die $G_{h}$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = b$ im vierten Quadranten einschließen, den gleichen Inhalt wie die Fläche $A$ .
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Die Fläche $A$ liegt oberhalb der x-Achse.
Die Fläche $\displaystyle\int_{1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x$ liegt unterhalb der x-Achse.
Beide Flächen sind für $b > 1$ gleich groß, wenn $\displaystyle\int_{-1}^{b} h(x) \;\mathrm{d} x=0$ ist.
Abbildung
Gegeben ist die für $x \leq-1$ definierte Funktion $k$ mit $k(x)=\displaystyle\int_{x}^{-1} h(t) \mathrm{d} t$ . Ihr Graph wird mit $G_{k}$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_{h}$ und $G_{k}$ . Für $x \rightarrow-\infty$ kommt $G_{k}$ der Geraden $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.
(i) Begründen Sie mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt und dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft. (1 P+2 P)
(ii) Deuten Sie damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt
Es gilt:
$k(-1)=\displaystyle\int_{-1}^{-1} h(x)\; \mathrm{d} x=0$ wegen der übereinstimmenden Grenzen des Integrals.
(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft
Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . (siehe Abbildung bei d)
Deshalb ist für $x < - 1$ auch $k (x) < 0$ .
(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch
Zur Veranschaulichung wurde eine Zeichnung angefertigt:
Fläche unterhalb der x-Achse
Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
Die Annäherung von $G_{k}$ an die Gerade $r$ mit der Gleichung $y=-\frac{4}{\mathrm{e}}$ bedeutet daher für $G_{h}$ geometrisch, dass der Inhalt der oben beschriebenen Fläche für kleiner werdende Werte von $c$ dem Wert $\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahekommt.
In der Zeichnung ist der Wert des Integrals $k(-12)=\displaystyle\int_{-12}^{-1} h(t)\; \mathrm{d} t\approx-1{,}47$ angegeben (grüne Fläche) $\;\Rightarrow\;$ $-\dfrac{4}{e}\approx-1{,}4715...$
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(i)
Teil 1
Wenn die Grenzen des Integrals übereinstimmen, ist der Wert des Integrals gleich null.
Teil 2
Die Funktion $h (x) < 0$ für $x < - 1$ . Welche Folgen hat das für $k (x)$ ?
(ii)
Für $c < - 1$ gibt $k (c)$ den orientierten Inhalt der Fläche an, die $G_{h}$ und die $x$ -Achse zwischen den Geraden mit den Gleichungen $x = c$ und $x = - 1$ einschließen.
Welchem Wert nähert sich diese Fläche für kleiner werdendes $c$ an?
Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ und $a > 0$ . Der Graph von $h_{a}$ wird mit $G_{h_{a}}$ bezeichnet.
Ohne Nachweis darf im Folgenden verwendet werden: $h_{a}{ }^{\prime}(x)=-\frac{1}{a} \cdot\left(x^{2}+2 x-a\right) \cdot e^{x}$ .
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind
Gegeben ist: $h_{a}(x)=\frac{1}{a} \cdot\left(a-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$
Gefordert wird, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ positiv sein sollen.
Dann folgt daraus:
$h_{a}(x)=\underbrace{\frac{1}{a}}_{>0\;\text{weil}\;a>0} \cdot\underbrace{\left(a-x^{2}\right)}_{>0} \cdot \underbrace{\mathrm{e}^{x}}_{>0\;\text{für alle x}\;}$
Demnach muss $a - x^{2} > 0$ sein $\;\Rightarrow\;a>x^2\;\Rightarrow\;\sqrt{a}>|x|$ .
Für $x\geq 0$ ist $x<\sqrt{a}$ .
Für $x < 0$ ist $-x<\sqrt{a}\;\Rightarrow\;x>-\sqrt{a}$
Zusammengefasst gilt dann: $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ ,
Für jedes $a > 0$ sind die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv.
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Betrachte die drei Terme, aus denen sich $h (x)$ zusammensetzt. Alle drei Terme müssen größer null sein, damit $h (x) > 0$ ist.
Untersuche dann den 2. Term.

Für jedes $a > 0$ hat $G_{h_{a}}$ einen Hochpunkt, der im 1. Quadranten liegt. Es gibt einen Wert von $a$ , sodass die $x$ -Koordinate des Hochpunktes $2$ ist.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ . (4 P)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -1+\sqrt{1+a}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $a$ auf.
$\displaystyle \sqrt{1+a}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle ()^2$
$\displaystyle 1+a$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 8$

Teil B: Analysis 1

Aufgabe 1

(i) Gib die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an

(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12∘C12^{\circ} \mathrm{C}12∘C beträgt

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Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten 303030 Minuten

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(i) Geben Sie f′(30)f^{\prime}(30)f′(30) und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an

ii) Für alle t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R gilt: f′(t)>0f^{\prime}(t)>0f′(t)>0 und f′′(t)<0f^{\prime \prime}(t)<0f′′(t)<0. Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten

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Zeige, es gibt eine Konstante ccc, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das ccc-fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist

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Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von fff hervorgeht

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Beurteile jede der folgenden Aussagen:

I\mathrm{I}I Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

II\mathrm{II}II Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein

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Aufgabe 2

Gib den Grenzwert von hhh für x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

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Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche AAA hat

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Bestimme bbb

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(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass kkk die Nullstelle −1-1−1 besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass GkG_{k}Gk​ im Bereich x<−1x<-1x<−1 unterhalb der xxx-Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert −4e-\frac{4}{\mathrm{e}}−e4​ in Bezug auf GhG_{h}Gh​ geometrisch

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Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes a>0a>0a>0 die Funktionswerte von hah_{a}ha​ nur für −a<x<a-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}−a​<x<a​ positiv sind

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Bestimme diesen Wert von aaa

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(ii) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur $12^{\circ} \mathrm{C}$ beträgt

Bestimme die mittlere Änderungsrate der Wassertemperatur innerhalb der ersten $30$ Minuten

(i) Geben Sie $f^{\prime}(30)$ und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an

ii) Für alle $t \in \mathbb{R}$ gilt: $f^{\prime}(t)>0$ und $f^{\prime \prime}(t)<0$ . Erkläre, was diese Eigenschaften für die Entwicklung der Wassertemperatur im Glas bedeuten

Zeige, es gibt eine Konstante $c$ , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das $c$ -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist

Beschreibe, durch welche Transformationen der Graph von g aus dem Graphen von $f$ hervorgeht

$\mathrm{I}$ Die Temperatur des Wassers im zweiten Glas nimmt während des gesamten Beobachtungszeitraums ab.

$\mathrm{II}$ Für beide Gläser stimmen zu jedem Zeitpunkt die Beträge der momentanen Änderungsraten der Wassertemperaturen überein

Gib den Grenzwert von $h$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe Deine Angabe anhand des Funktionsterms

Berechne den Anteil, den die größere der beiden Teilflächen an der Fläche $A$ hat

Bestimme $b$

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $k$ die Nullstelle $- 1$ besitzt

(i) Begründe mithilfe des Funktionsterms, dass $G_{k}$ im Bereich $x < - 1$ unterhalb der $x$ -Achse verläuft

(ii) Deute damit unter Verwendung der Abbildung den Wert $-\frac{4}{\mathrm{e}}$ in Bezug auf $G_{h}$ geometrisch

Begründe anhand des Funktionsterms, dass für jedes $a > 0$ die Funktionswerte von $h_{a}$ nur für $-\sqrt{a}<x<\sqrt{a}$ positiv sind

Bestimme diesen Wert von $a$