Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe 4

Die nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $|\overline{DA}|$ .

Es gilt: $AB \parallel CD$ ; $|\overline{AB}|= 10\ \cm$ ;

$|\overline{AE}|= 6{,}5\ \cm$ ; $|\overline{DA}|=|\overline{DB}| =11\ \cm$ ;

$\sphericalangle BAE = 105^\circ$ ; $\sphericalangle CBA = 85^\circ$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen

nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ . (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion regulärer n-Ecke
Zeichne das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ .
Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $|\overline{AB}|= 10\ \cm$ . Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreis mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}| =11\ \cm$ . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $D$ . Trage im Punkt $A$ den Winkel $\sphericalangle BAE = 105^\circ$ ab. Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $|\overline{AE}|= 6{,}5\ \cm$ . Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt $E$ .
Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $D$ .
Trage im Punkt $B$ den Winkel $\sphericalangle CBA = 85^\circ$ ab.
Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt $C$ .
Zeichne um $D$ einen Kreisbogen mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}| =11\ \cm$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
Verbinde die Punkte zu einem Fünfeck.
Anmerkung: Der besseren Übersichtlichkeit wegen, sind in der Zeichnung die Konstruktionskreise nicht dargestellt.
Das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ und dem Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ . Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreis mit dem Radius $11\ \cm$ . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $D$ .
Trage im Punkt $A$ den Winkel $\sphericalangle BAE$ ab.
Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $6{,}5\ \cm$ . Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt $E$ .
Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $D$ .
Trage im Punkt $B$ den Winkel $\sphericalangle CBA$ ab.
Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt $C$ .
Zeichne um $D$ einen Kreisbogen mit dem Radius $11\ \cm$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
Verbinde die Punkte $A, B, C, D, E$ zu einem Fünfeck.
Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC$ .
Berechnen Sie sodann die Maße der Winkel $D B A$ und $D C B$ sowie die Länge der Strecke $\overline{CD}$ .
$[$ Teilergebnisse: $\sphericalangle DBA= 62{,}96^\circ$ ; $\sphericalangle DCB= 95^\circ; |\overline{CD}|=4{,}14\ \cm]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
Begründe, dass gilt: $\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC$
Die Winkel $D B A$ und $B D C$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $A B$ und $C D$ maßgleich.
Berechne den Winkel $D B A$
Betrachte das Dreieck $A B D$ und verwende den Kosinussatz.
$\cos\beta=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
Setze die entsprechenden Werte ein:
$\cos\sphericalangle DBA=\dfrac{11^2+10^2-11^2}{2\cdot 11\cdot 10}=\dfrac{10}{22}$
$\Rightarrow\;\sphericalangle DBA=\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{22}\right)\approx62{,}96^\circ$
Das Maß des Winkels $D B A$ beträgt rund $62{,}96^\circ$ .
Berechne den Winkel $D C B$
Der Nebenwinkel von $C B A$ und der Winkel $D C B$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $A B$ und $C D$ maßgleich.
Nebenwinkel von $C B A$ $=180^\circ-85^\circ=95^\circ\;\Rightarrow\;$ Winkel $DCB=95^\circ$
Das Maß des Winkels $D C B$ beträgt $95^\circ$ .
Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$
Betrachte das Dreieck $B C D$ und verwende den Sinussatz.
In dem Dreieck ist $\sphericalangle CBD= 85^\circ-62{,}96^\circ=22{,}04^\circ$ .
Dann folgt:
$\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin 22{,}04^\circ}=\dfrac{11}{\sin 95^\circ}\;\Rightarrow\;|\overline{CD}|=\dfrac{\sin 22{,}04^\circ\cdot11}{\sin 95^\circ}\approx4{,}14$
Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ beträgt rund $4{,}14\ \cm$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Welche Eigenschaft haben Wechselwinkel?
Teil 2
Betrachte das Dreieck $A B D$ und verwende den Kosinussatz.
Teil 3
Der Nebenwinkel von $C B A$ und der Winkel $D C B$ sind Wechselwinkel.
Teil 4
Betrachte das Dreieck $B C D$ und verwende den Sinussatz zur Berechnung der Länge der Strecke $\overline{CD}$ .
Berechnen Sie den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$ , $\overline{ED}$ , $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ begrenzt wird.
$[$ Zwischenergebnis: $|\overline{ED}|= 7{,}55\ \cm]$ (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$ , $\overline{ED}$ , $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ begrenzt wird
$u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha}$
Die Längen der Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{DB}$ sind bekannt.
Berechne die Länge der Strecke $\overline{ED}$
Betrachte das Dreieck $A E D$ und verwende den Kosinussatz.
$a=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha}$
$b=6{,}5\ \cm, c=11\ \cm$ und $\alpha =105^\circ-62{,}96^\circ=42{,}04^\circ$
Dann erhält man:
$|\overline{ED}|=\sqrt{6{,}5^2+11^2-2\cdot 6{,}5\cdot 11 \cdot \cos42{,}04^\circ }\approx7{,}55$
Die Länge der Strecke $\overline{ED}$ beträgt rund $7{,}55\ \cm$ .
Berechne die Länge des Kreisbogens
$b_{\alpha}=2\cdot\pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
Es sind $r=11\ \cm$ und $\alpha=180^\circ-2\cdot 62{,}96^\circ=54{,}08^\circ$ .
Dann folgt:
$b_{\alpha}=2\cdot\pi \cdot 11 \cdot \dfrac{54{,}08^\circ}{360^\circ}\approx10{,}38$
Die Länge des Kreisbogens $b_{\alpha}$ beträgt rund $10{,}38\ \cm$ .
Berechne den Umfang
Setze alle Werte ein:
$u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha}=6{,}5+7{,}55+11+10{,}38=35{,}43$
Der Umfang beträgt rund $35{,}43\ \cm$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für den Umfang gilt: $u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha}$
Berechnet werden müssen $|\overline{DB}|$ und $b_{\alpha}$
Länge der Strecke $\overline{ED}$ : Betrachte das Dreieck $A E D$ und verwende den Kosinussatz.
Länge des Kreisbogens: $b_{\alpha}=2\cdot\pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
Setze alle Werte in die Umfangsformel ein.
Ein Kreis um Punkt $C$ berührt die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$ und schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ sowie die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$ .
Ergänzen Sie die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ mit dem Mittelpunkt $C$ .
Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$ und den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ begrenzt wird.
$[$ Teilergebnisse: $|\overline{CG}|= 3{,}69\ \cm; A_{\text{Sektor}}=11{,}29\ \cm^2]$ (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ mit dem Mittelpunkt $C$
Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke $\overline{BD}$ durch den Punkt $C$ .
Die Gerade schneidet die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$ . (Ersetze die Gerade durch die Strecke $\overline{CG}$ .⁣)
Zeichne einen Kreis um $C$ durch den Punkt $G$ . Der Kreis schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$ .
(Ersetze den Kreis durch den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ .)
Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $C D G$ .
Der Winkel $C D G$ ist gleich $\sphericalangle DBA= 62{,}96^\circ$ .
Dann gilt:
$\sin 62{,}96^\circ=\dfrac{|\overline{CG}|}{|\overline{CD}|}\;\Rightarrow\;|\overline{CG}|=|\overline{CD}|\cdot\sin 62{,}96^\circ=4{,}14\cdot\sin 62{,}96^\circ\approx3{,}69$
Die Länge der Strecke $\overline{CG}$ beträgt rund $3{,}69\ \cm$ .
Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ begrenzt wird
Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:
$A_{\alpha}=\pi\cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
Dabei ist $r=3{,}69\ \cm$ und $\alpha =\sphericalangle DCB=95^\circ$ .
Dann erhält man:
$A_{\alpha}=\pi\cdot 3{,}69^2 \cdot \dfrac{95^\circ}{360^\circ}\approx11{,}29$
Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt rund $11{,}29\ \cm^2$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke $\overline{BD}$ durch den Punkt $C$ .
Die Gerade schneidet die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$ .
Zeichne einen Kreis um $C$ durch den Punkt $G$ . Der Kreis schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$ .
Teil 2
Betrachte das rechtwinklige Dreieck $C D G$ .
Berechne mit dem Sinus die Länge der Strecke $\overline{CG}$ .
Teil 3
Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt: $A_{\alpha}=\pi\cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
Bestimmen Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$
Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$
Die Grundseite $g$ des Dreiecks hat die Länge $11 \ \cm$ und die Höhe $h$ ist gleich der Länge der Strecke $\overline{CG}$ $\;\Rightarrow\; h= 3{,}69\ \cm$ .
$A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot 11 \cdot 3{,}69\approx20{,}30$
Der Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ beträgt rund $20{,}30\ \cm^2$ .
Der prozentuale Anteil beträgt dann:
$\dfrac{A_{\alpha}}{A_{BCD}}\cdot 100\;\%=\dfrac{11{,}29}{20{,}30}\cdot 100\;\%\approx 55{,}62\;\%$
Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ beträgt rund $55{,}62\;\%$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechne den Flächeninhalt $A_{BCD}$ des Dreiecks $B C D$ .
Der prozentuale Anteil beträgt dann: $\dfrac{A_{\alpha}}{A_{BCD}}\cdot 100\;\%$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe 4

Zeichne das Fünfeck ABCDEABCDEABCDE mit den Strecken DA‾\overline{DA}DA und DB‾\overline{DB}DB sowie den Kreisbogen \overset{\large\frown}{AB}AB⌢.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass gilt: ∢DBA=∢BDC\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC∢DBA=∢BDC

Berechne den Winkel DBADBADBA

Berechne den Winkel DCBDCBDCB

Berechne die Länge der Strecke CD‾\overline{CD}CD

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken AE‾\overline{AE}AE, ED‾\overline{ED}ED, DB‾\overline{DB}DB sowie den Kreisbogen \overset{\large\frown}{AB}AB⌢ begrenzt wird

Berechne die Länge der Strecke ED‾\overline{ED}ED

Berechne die Länge des Kreisbogens

Berechne den Umfang

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke CG‾\overline{CG}CG und den Kreisbogen \overset{\large\frown}{FH}FH⌢ mit dem Mittelpunkt CCC

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke CG‾\overline{CG}CG

Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken FC‾\overline{FC}FC und CH‾\overline{CH}CH sowie den Kreisbogen \overset{\large\frown}{FH}FH⌢ begrenzt wird

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks BCDBCDBCD

Flächeninhalt des Dreiecks BCDBCDBCD

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeichne das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ .

Begründe, dass gilt: $\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC$

Berechne den Winkel $D B A$

Berechne den Winkel $D C B$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$

Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$ , $\overline{ED}$ , $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ begrenzt wird

Berechne die Länge der Strecke $\overline{ED}$

Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ mit dem Mittelpunkt $C$

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$

Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ begrenzt wird

Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$

Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$