Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B 1
Manchmal werden zu Fasching Krapfen zum
Spaß mit Senf gefüllt. Von zwölf Krapfen sind
zwei mit Senf („S“) und zehn mit Marmelade
(„M“) gefüllt.
Martin nimmt sich von den zwölf Krapfen zwei
zufällig ausgewählte.
1. Zeichnen Sie ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind.
  (2,5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind
  Es gibt $2$ mit Senf und $10$ mit Marmelade gefüllte Krapfen.
  Beachte, es wird ohne Zurücklegen gezogen.
  Baumdiagramm
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  Es gibt $2$ mit Senf und $10$ mit Marmelade gefüllte Krapfen.
  Beachte, es wird ohne Zurücklegen gezogen.
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $P$ dafür, dass mindestens einer der beiden
  ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist. (2 P)
  $\Big[$ Ergebnis: $P=\dfrac{7}{22}\Big]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Berechne die Wahrscheinlichkeit $P$ dafür, dass mindestens einer der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist
  $P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=P(SM)+P(MS)+P(SS)$
  $\Rightarrow\;P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=\dfrac{2}{12}\cdot\dfrac{10}{11}+\dfrac{10}{12}\cdot\dfrac{2}{11}+\dfrac{2}{12}\cdot\dfrac{1}{11}$
  $\Rightarrow\;P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=\dfrac{42}{132}=\dfrac{7}{22}$
  Die Wahrscheinlichkeit $P$ , dass mindestens einer der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist, beträgt $\dfrac{7}{22}$ .
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  Berechne $P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=P(SM)+P(MS)+P(SS)$ .
3. Martin vermutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $70 %$ keiner der
  beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist.
  Beurteilen Sie diese Vermutung. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
  Beurteile diese Vermutung
  Es muss berechnet werden:
  $P(\text{"keiner der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt"})=P(MM)$
  Verwende das Gegenereignis:
  $P(MM)=1-P(\text{"mindestens 1 Krapfen mit Senf"})=1-\dfrac{7}{22}=\dfrac{15}{22}$
  $\dfrac{15}{22}\approx 0{,}68=68\;\%$
  Wegen $68\;\% < 70\;\%$ ist die Vermutung falsch.
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  Berechne $P (M M)$ . Verwende das Gegenereignis.
  Vergleiche die beiden Prozentzahlen miteinander.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B 2
Die Vorlage einer Spielfigur ist ein Rotationskörper mit der Rotationsachse MS. Nebenstehende Skizze zeigt grau eingefärbt den zugehörigen Axialschnitt.
Es gilt: $|\overline{MB}|= 1\;\mathrm{cm}$ ; $|\overline{TD}|= 2\;\mathrm{cm};$ $|\overline{TM}|= 1{,}5\;\mathrm{cm};$ $|\overline{NT}|= 2\;\mathrm{cm};$ $|\overline{ST}|= 6{,}5\;\mathrm{cm};$
$AH \parallel BC$ .
1. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.
  Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
  $\Big[$ Zwischenergebnis: $|\overline{NE}|= 1{,}38\;\mathrm{cm}\Big]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rotationskörper
  Berechne das Volumen des Rotationskörpers
  Das Rotationsvolumen besteht aus zwei Körpern, einem Zylinder und einem Kegelstumpf.
  $V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}$
  $V_{\text{Zylinder}}=\pi\cdot r^2\cdot h=\pi\cdot|\overline{MB}|^2\cdot |\overline{TM}|=\pi\cdot 1^2\cdot1{,}5\approx4{,}71\;\mathrm{cm}^3$
  $V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}}$
  Dabei ist:
  $V_{\text{großer Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot|\overline{TD}|^2\cdot |\overline{ST}|=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 2^2\cdot 6{,}5\approx27{,}23\;\mathrm{cm}^3$ .
  Weiterhin ist:
  $h_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{ST}|-|\overline{NT}|=6{,}5-2=4{,}5\;\mathrm{cm}$ und $r_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{NE}|$ .
  Berechne $|\overline{NE}|$ .
  Verwende den Strahlensatz:
  Es gilt: $\dfrac{|\overline{TD}|}{|\overline{ST}|}=\dfrac{|\overline{NE}|}{|\overline{ST}|-|\overline{NT}|}\;\Rightarrow\;\dfrac{2}{6{,}5}=\dfrac{|\overline{NE}|}{4{,}5}\;\Rightarrow\;|\overline{NE}|=\dfrac{2\cdot 4{,}5}{6{,}5}\approx1{,}38\;\mathrm{cm}$
  Dann erhält man für:
  $V_{\text{kleiner Kegel}}=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot|\overline{NE}|^2\cdot (|\overline{ST}|_|\overline{NE}|)=\dfrac{1}{3}\cdot\pi\cdot 1{,}38^2\cdot 4{,}5\approx8{,}97\;\mathrm{cm}^3$
  Dann folgt:
  $V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{Zylinder}}+(V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}})$
  $V\approx(4{,}71+(27{,}23-8{,}97))\;\mathrm{cm}^3=22{,}97 \;\mathrm{cm}^3$
  Das Volumen des Rotationskörpers beträgt rund $22{,}97 \;\mathrm{cm}^3$ .
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  Berechne $V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}$ .
  Dabei ist $V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}}$ .
  Für $V_{\text{kleiner Kegel}}$ brauchst Du $r_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{NE}|$ .
  Berechne $|\overline{NE}|$ mithilfe des Strahlensatzes:
2. Die komplette Oberfläche der Spielfigur soll mit einer grauen Schutzfolie beklebt werden.
  Welches Aufkleber-Set ist hierfür passend? Kreuzen Sie an. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kegel
  Welches Aufkleber-Set ist hierfür passend? Kreuze an
  Das Aufkleber-Set muss aus fünf Einzelteilen bestehen. Deshalb entfällt Set Nr. $2$ .
  Der Mantel des Kegelstumpfes besteht nicht aus einem Kreisausschnitt, sondern aus einem Kreisringausschnitt. Deshalb entfallen Set Nr. $1$ und Set Nr. $4$ .
  Es bleibt Set Nr. 3 übrig.
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  Überlege, aus wie vielen Einzelteilen das Set bestehen muss.
  Wie sieht der Mantel eines Kegelstumpfes aus?

Aufgabe B3

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2 ∣ - 7)$ verläuft durch den Punkt $P (4 ∣ - 5)$ .

Sie hat eine Gleichung der Form $y = a x^{2} + b x + c$ mit $a \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ und $b, c, x, y \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:

$y = 0{,}5x^2 - 2x - 5$ .

Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in[-3; 7]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\ \cm$ ; $-3 \leq x \leq 7; -7 \leq y \leq 6$ (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0{,}5x^2 - 2x - 5$

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2 ∣ - 7)$ verläuft durch den Punkt $P (4 ∣ - 5)$ .

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ ein:

$\Rightarrow\; f(x)=a(x-2)^2-7$

Setze den Punkt $P (4 ∣ - 5)$ ein:

$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle a(4-2)^2-7$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle a\cdot 4-7$	$\displaystyle +7$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle a\cdot 4$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle a$

$\Rightarrow\; f(x)=0{,}5(x-2)^2-7=0{,}5(x^2-4x+4)-7=0{,}5x^2-2x+2-7$

Zusammengefasst erhält man für die Gleichung der Parabel $p$ : $f(x)=0{,}5x^2-2x-5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in[-3; 7]$ in ein Koordinatensystem

Erstelle für die Zeichnung der Parabel $p$ eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
y	$5,5$	$1$	$- 2,5$	$- 5$	$- 6,5$	$- 7$	$- 6,5$	$- 5$	$- 2,5$	$1$	$5,5$

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x$ . Der y-Achsenabschnitt ist $0$ . Zeichne die Punkte $(0 ∣ 0)$ und z.B. $(4 ∣ 2)$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Geraden.

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Punkte $A_n (x | 0{,}5x^2 - 2x - 5)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n (x| 0{,}5x)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x \in]-1{,}53; 6{,}53[$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ die Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Die Punkte $C_{n}$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein
Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ :
Hier ist $x=2\;\Rightarrow\;A_1(2|f(2)), B_1(2|g(2))$ :
Für die Punkte $C_{n}$ gilt:
Die Punkte $C_{n}$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
$\Rightarrow\;$ für $C_{1}$ ist $x=2-3=-1\;\Rightarrow\;C_1(-1|g(-1))$
Zeichne die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ :
Hier ist $x=5{,}5\;\Rightarrow\;A_2(5{,}5|f(5{,}5)),B_2(5{,}5|g(5{,}5))$ :
Für $C_{2}$ ist $x=5{,}5-3=2{,}5\;\Rightarrow\;C_2(2{,}5|g(2{,}5))$ .

Zeichne die Punkte $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Eingezeichnete Dreiecke
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Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Für $x=2\;\Rightarrow\;A_1(2|f(2)), B_1(2|g(2))$ und $C_{1} (- 1 ∣ g (- 1))$ .
Für $x=5{,}5\;\Rightarrow\;A_2(5{,}5|f(5{,}5)),B_2(5{,}5|g(5{,}5))$ und $C_2(2{,}5|g(2{,}5))$ .
Zeichne die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$
$|\overline{A_nB_n}|(x)=y_{B_n}-y_{A_n}=[0{,}5x-( 0{,}5x^2 - 2x - 5)]=[-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5]\;\text{LE}$ , für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ .
Für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
$|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$
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Es gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=y_{B_n}-y_{A_n}$ . Setze ein und fasse zusammen.

Unter den Strecken $\overline{A_nB_n}$ hat die Strecke $\overline{A_0B_0}$ die maximale Länge.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$ sowie den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$ . (2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt

Berechne die Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$

Für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ .

Der Funktionsterm ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5$
	↓	Klammere $- 0,5$ aus.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x^2-5x-10)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x^2-5x+2{,}5^2-2{,}5^2-10)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\left(x-2{,}5)^2-2{,}5^2-10\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\left(x-2{,}5)^2-16{,}25\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x-2{,}5)^2+8{,}125$

Der Scheitelpunkt hat (auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet) die Koordinaten $S (2,5 ∣ 8,13)$ .

$\Rightarrow\;$ Die maximale Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$ ist der y-Wert des Scheitelpunktes und beträgt rund $8{,}13\;\text{LE}$ .

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$

Die folgende Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert

Das Dreieck $A_{0} B_{0} C_{0}$ hat als Grundseite $|\overline{A_0B_0}|=8{,}13\;\text{LE}$ .

Die Höhe des Dreiecks $h=x_{A_0}-x_{C_0}=2{,}5-(-0{,}5)=3\;\text{LE}$ .

Dann erhält man für den Flächeninhalt:

$A_{\text{max}}=\dfrac{1}{2}\cdot 8{,}13\cdot 3\approx12{,}20 \;\text{FE}$

Der zugehörige Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$ beträgt rund $12{,}20 \;\text{FE}$ .

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In allen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ haben die Winkel $C_{n} B_{n} A_{n}$ das gleiche Maß.
Berechnen Sie das zugehörige Maß $\beta$ .
$[$ Ergebnis: $\beta=63{,}43^\circ]$ (1,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Berechne das zugehörige Maß $\beta$
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = 0,5$ .
Der Winkel, den die Gerade $g$ mit der x-Achse einschließt, ist der Winkel $90^\circ-\beta$ .
$\Rightarrow\;\tan(90^\circ-\beta)=0{,}5$
$\Rightarrow\;90^\circ-\beta=\tan^{-1}(0{,}5)\approx26{,}57^\circ\;\Rightarrow\;\beta=90^\circ-26{,}57^\circ=63{,}43^\circ$
Das zugehörige Maß $\beta$ beträgt rund $63{,}43^\circ$ .
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Unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt es die gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ mit der Basis $\overline{A_3C_3}$ sowie $A_{4} B_{4} C_{4}$ mit der Basis $\overline{A_4C_4}$ .

Begründen Sie rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3{,}35\;\text{LE}$ beträgt.

Berechnen Sie anschließend die zugehörigen Werte für $x$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3{,}35\;\text{LE}$ beträgt

Für die gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ gilt:

$|\overline{A_3B_3}|=|\overline{B_3C_3}|=|\overline{A_4B_4}|=|\overline{B_4C_4}|=|\overline{B_nC_n}|$

Dann gilt mit $\beta=63{,}43^\circ$ :

$\sin \beta=\dfrac{3}{|\overline{B_nC_n}|}\;\Rightarrow\;|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{3}{\sin63{,}43^\circ}\approx3{,}35$

Die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken beträgt stets $3{,}35\;\text{LE}$ .

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$

Es gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ .

Andererseits ist $|\overline{B_nC_n}|=|\overline{A_nB_n}|$ .

Dann folgt für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ :

$3{,}35=-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5\;\Rightarrow\;-0{,}5x^2+ 2{,}5x+1{,}65=0$

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:Es gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ .

Andererseits ist $|\overline{B_nC_n}|=|\overline{A_nB_n}|$ .

Dann folgt für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ :

$3{,}35=-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5\;\Rightarrow\;-0{,}5x^2+ 2{,}5x+1{,}65=0$

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 0,5, b = 2,5$ und $c = 1,65$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2{,}5\pm\sqrt{2{,}5^2-4\cdot(-0{,}5)\cdot 1{,}65}}{2\cdot(-0{,}5)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2{,}5\pm\sqrt{6{,}25+3{,}3}}{-1}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}5\mp\sqrt{9{,}55}$

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=2{,}5-\sqrt{9{,}55}\approx -0{,}59$ und $x_2=2{,}5+\sqrt{9{,}55}\approx 5{,}59$ .

$L=\{-0{,}59; 5{,}59\}$

Die zugehörigen Werte für $x$ sind $- 0,59$ oder $5,59$ .

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4
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Die nebenstehende Skizze zeigt das Fünfeck $A B C D E$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ mit dem Mittelpunkt $D$ und dem Radius $|\overline{DA}|$ .
Es gilt: $AB \parallel CD$ ; $|\overline{AB}|= 10\ \cm$ ;
$|\overline{AE}|= 6{,}5\ \cm$ ; $|\overline{DA}|=|\overline{DB}| =11\ \cm$ ;
$\sphericalangle BAE = 105^\circ$ ; $\sphericalangle CBA = 85^\circ$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen
nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Konstruktion regulärer n-Ecke
  Zeichne das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ .
  Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ mit $|\overline{AB}|= 10\ \cm$ . Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreis mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}| =11\ \cm$ . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $D$ . Trage im Punkt $A$ den Winkel $\sphericalangle BAE = 105^\circ$ ab. Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $|\overline{AE}|= 6{,}5\ \cm$ . Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt $E$ .
  Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $D$ .
  Trage im Punkt $B$ den Winkel $\sphericalangle CBA = 85^\circ$ ab.
  Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt $C$ .
  Zeichne um $D$ einen Kreisbogen mit dem Radius $|\overline{DA}|=|\overline{DB}| =11\ \cm$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
  Verbinde die Punkte zu einem Fünfeck.
  Anmerkung: Der besseren Übersichtlichkeit wegen, sind in der Zeichnung die Konstruktionskreise nicht dargestellt.
  Das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ und dem Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ .
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  Zeichne die Strecke $\overline{AB}$ . Zeichne um $A$ und um $B$ je einen Kreis mit dem Radius $11\ \cm$ . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt $D$ .
  Trage im Punkt $A$ den Winkel $\sphericalangle BAE$ ab.
  Zeichne um $A$ einen Kreis mit dem Radius $6{,}5\ \cm$ . Der Kreis schneidet den freien Schenkel im Punkt $E$ .
  Zeichne eine Parallele zur Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt $D$ .
  Trage im Punkt $B$ den Winkel $\sphericalangle CBA$ ab.
  Die Parallele schneidet den freien Schenkel im Punkt $C$ .
  Zeichne um $D$ einen Kreisbogen mit dem Radius $11\ \cm$ durch die Punkte $A$ und $B$ .
  Verbinde die Punkte $A, B, C, D, E$ zu einem Fünfeck.
2. Begründen Sie, dass gilt: $\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC$ .
  Berechnen Sie sodann die Maße der Winkel $D B A$ und $D C B$ sowie die Länge der Strecke $\overline{CD}$ .
  $[$ Teilergebnisse: $\sphericalangle DBA= 62{,}96^\circ$ ; $\sphericalangle DCB= 95^\circ; |\overline{CD}|=4{,}14\ \cm]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz und Kosinussatz im allgemeinen Dreieck
  Begründe, dass gilt: $\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC$
  Die Winkel $D B A$ und $B D C$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $A B$ und $C D$ maßgleich.
  Berechne den Winkel $D B A$
  Betrachte das Dreieck $A B D$ und verwende den Kosinussatz.
  $\cos\beta=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
  Setze die entsprechenden Werte ein:
  $\cos\sphericalangle DBA=\dfrac{11^2+10^2-11^2}{2\cdot 11\cdot 10}=\dfrac{10}{22}$
  $\Rightarrow\;\sphericalangle DBA=\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{22}\right)\approx62{,}96^\circ$
  Das Maß des Winkels $D B A$ beträgt rund $62{,}96^\circ$ .
  Berechne den Winkel $D C B$
  Der Nebenwinkel von $C B A$ und der Winkel $D C B$ sind als Wechselwinkel an den Parallelen $A B$ und $C D$ maßgleich.
  Nebenwinkel von $C B A$ $=180^\circ-85^\circ=95^\circ\;\Rightarrow\;$ Winkel $DCB=95^\circ$
  Das Maß des Winkels $D C B$ beträgt $95^\circ$ .
  Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$
  Betrachte das Dreieck $B C D$ und verwende den Sinussatz.
  In dem Dreieck ist $\sphericalangle CBD= 85^\circ-62{,}96^\circ=22{,}04^\circ$ .
  Dann folgt:
  $\dfrac{|\overline{CD}|}{\sin 22{,}04^\circ}=\dfrac{11}{\sin 95^\circ}\;\Rightarrow\;|\overline{CD}|=\dfrac{\sin 22{,}04^\circ\cdot11}{\sin 95^\circ}\approx4{,}14$
  Die Länge der Strecke $\overline{CD}$ beträgt rund $4{,}14\ \cm$ .
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  Teil 1
  Welche Eigenschaft haben Wechselwinkel?
  Teil 2
  Betrachte das Dreieck $A B D$ und verwende den Kosinussatz.
  Teil 3
  Der Nebenwinkel von $C B A$ und der Winkel $D C B$ sind Wechselwinkel.
  Teil 4
  Betrachte das Dreieck $B C D$ und verwende den Sinussatz zur Berechnung der Länge der Strecke $\overline{CD}$ .
3. Berechnen Sie den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$ , $\overline{ED}$ , $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ begrenzt wird.
  $[$ Zwischenergebnis: $|\overline{ED}|= 7{,}55\ \cm]$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
  Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$ , $\overline{ED}$ , $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ begrenzt wird
  $u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha}$
  Die Längen der Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{DB}$ sind bekannt.
  Berechne die Länge der Strecke $\overline{ED}$
  Betrachte das Dreieck $A E D$ und verwende den Kosinussatz.
  $a=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot \cos\alpha}$
  $b=6{,}5\ \cm, c=11\ \cm$ und $\alpha =105^\circ-62{,}96^\circ=42{,}04^\circ$
  Dann erhält man:
  $|\overline{ED}|=\sqrt{6{,}5^2+11^2-2\cdot 6{,}5\cdot 11 \cdot \cos42{,}04^\circ }\approx7{,}55$
  Die Länge der Strecke $\overline{ED}$ beträgt rund $7{,}55\ \cm$ .
  Berechne die Länge des Kreisbogens
  $b_{\alpha}=2\cdot\pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
  Es sind $r=11\ \cm$ und $\alpha=180^\circ-2\cdot 62{,}96^\circ=54{,}08^\circ$ .
  Dann folgt:
  $b_{\alpha}=2\cdot\pi \cdot 11 \cdot \dfrac{54{,}08^\circ}{360^\circ}\approx10{,}38$
  Die Länge des Kreisbogens $b_{\alpha}$ beträgt rund $10{,}38\ \cm$ .
  Berechne den Umfang
  Setze alle Werte ein:
  $u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha}=6{,}5+7{,}55+11+10{,}38=35{,}43$
  Der Umfang beträgt rund $35{,}43\ \cm$ .
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  Für den Umfang gilt: $u=|\overline{AE}|+|\overline{ED}|+|\overline{DB}|+b_{\alpha}$
  Berechnet werden müssen $|\overline{DB}|$ und $b_{\alpha}$
  Länge der Strecke $\overline{ED}$ : Betrachte das Dreieck $A E D$ und verwende den Kosinussatz.
  Länge des Kreisbogens: $b_{\alpha}=2\cdot\pi \cdot r \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
  Setze alle Werte in die Umfangsformel ein.
4. Ein Kreis um Punkt $C$ berührt die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$ und schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ sowie die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$ .
  Ergänzen Sie die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ mit dem Mittelpunkt $C$ .
  Bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$ und den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ begrenzt wird.
  $[$ Teilergebnisse: $|\overline{CG}|= 3{,}69\ \cm; A_{\text{Sektor}}=11{,}29\ \cm^2]$ (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen, Kreissektor und Kreisring
  Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ mit dem Mittelpunkt $C$
  Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke $\overline{BD}$ durch den Punkt $C$ .
  Die Gerade schneidet die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$ . (Ersetze die Gerade durch die Strecke $\overline{CG}$ .⁣)
  Zeichne einen Kreis um $C$ durch den Punkt $G$ . Der Kreis schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$ .
  (Ersetze den Kreis durch den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ .)
  Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$
  Betrachte das rechtwinklige Dreieck $C D G$ .
  Der Winkel $C D G$ ist gleich $\sphericalangle DBA= 62{,}96^\circ$ .
  Dann gilt:
  $\sin 62{,}96^\circ=\dfrac{|\overline{CG}|}{|\overline{CD}|}\;\Rightarrow\;|\overline{CG}|=|\overline{CD}|\cdot\sin 62{,}96^\circ=4{,}14\cdot\sin 62{,}96^\circ\approx3{,}69$
  Die Länge der Strecke $\overline{CG}$ beträgt rund $3{,}69\ \cm$ .
  Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ begrenzt wird
  Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt:
  $A_{\alpha}=\pi\cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
  Dabei ist $r=3{,}69\ \cm$ und $\alpha =\sphericalangle DCB=95^\circ$ .
  Dann erhält man:
  $A_{\alpha}=\pi\cdot 3{,}69^2 \cdot \dfrac{95^\circ}{360^\circ}\approx11{,}29$
  Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt rund $11{,}29\ \cm^2$ .
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  Teil 1
  Zeichne eine senkrechte Gerade zur Strecke $\overline{BD}$ durch den Punkt $C$ .
  Die Gerade schneidet die Strecke $\overline{BD}$ im Punkt $G$ .
  Zeichne einen Kreis um $C$ durch den Punkt $G$ . Der Kreis schneidet die Strecke $\overline{CD}$ im Punkt $F$ und die Strecke $\overline{BC}$ im Punkt $H$ .
  Teil 2
  Betrachte das rechtwinklige Dreieck $C D G$ .
  Berechne mit dem Sinus die Länge der Strecke $\overline{CG}$ .
  Teil 3
  Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt: $A_{\alpha}=\pi\cdot r^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360^\circ}$
5. Bestimmen Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$
  Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$
  Die Grundseite $g$ des Dreiecks hat die Länge $11 \ \cm$ und die Höhe $h$ ist gleich der Länge der Strecke $\overline{CG}$ $\;\Rightarrow\; h= 3{,}69\ \cm$ .
  $A_{BCD}=\dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot 11 \cdot 3{,}69\approx20{,}30$
  Der Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ beträgt rund $20{,}30\ \cm^2$ .
  Der prozentuale Anteil beträgt dann:
  $\dfrac{A_{\alpha}}{A_{BCD}}\cdot 100\;\%=\dfrac{11{,}29}{20{,}30}\cdot 100\;\%\approx 55{,}62\;\%$
  Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$ beträgt rund $55{,}62\;\%$ .
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  Berechne den Flächeninhalt $A_{BCD}$ des Dreiecks $B C D$ .
  Der prozentuale Anteil beträgt dann: $\dfrac{A_{\alpha}}{A_{BCD}}\cdot 100\;\%$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B

Aufgabe B 1

Zeichne ein zugehöriges Baumdiagramm, in dem alle Anteile ersichtlich sind

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Berechne die Wahrscheinlichkeit PPP dafür, dass mindestens einer der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist

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Beurteile diese Vermutung

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Aufgabe B 2

Berechne das Volumen des Rotationskörpers

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Welches Aufkleber-Set ist hierfür passend? Kreuze an

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Aufgabe B3

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel ppp gilt: y=0,5x2−2x−5y = 0{,}5x^2 - 2x - 5y=0,5x2−2x−5

Zeichne sodann die Parabel ppp sowie die Gerade ggg für x∈[−3;7]x \in[-3; 7]x∈[−3;7] in ein Koordinatensystem

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Zeichne die Dreiecke A1B1C1A_1B_1C_1A1​B1​C1​ für x=2x = 2x=2 und A2B2C2A_2B_2C_2A2​B2​C2​ für x=5,5x = 5{,}5x=5,5 in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

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Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken AnBn‾\overline{A_nB_n}An​Bn​​ in Abhängigkeit von xxx gilt: ∣AnBn‾∣(x)=(−0,5x2+2,5x+5) LE|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}∣An​Bn​​∣(x)=(−0,5x2+2,5x+5)LE

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Berechne die Länge der Strecke A0B0‾\overline{A_0B_0}A0​B0​​

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks A0B0C0A_0B_0C_0A0​B0​C0​

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Berechne das zugehörige Maß β\betaβ

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Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets 3,35 LE3{,}35\;\text{LE}3,35LE beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für xxx

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Aufgabe 4

Zeichne das Fünfeck ABCDEABCDEABCDE mit den Strecken DA‾\overline{DA}DA und DB‾\overline{DB}DB sowie den Kreisbogen \overset{\large\frown}{AB}AB⌢.

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Begründe, dass gilt: ∢DBA=∢BDC\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC∢DBA=∢BDC

Berechne den Winkel DBADBADBA

Berechne den Winkel DCBDCBDCB

Berechne die Länge der Strecke CD‾\overline{CD}CD

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Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken AE‾\overline{AE}AE, ED‾\overline{ED}ED, DB‾\overline{DB}DB sowie den Kreisbogen \overset{\large\frown}{AB}AB⌢ begrenzt wird

Berechne die Länge der Strecke ED‾\overline{ED}ED

Berechne die Länge des Kreisbogens

Berechne den Umfang

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Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke CG‾\overline{CG}CG und den Kreisbogen \overset{\large\frown}{FH}FH⌢ mit dem Mittelpunkt CCC

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke CG‾\overline{CG}CG

Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken FC‾\overline{FC}FC und CH‾\overline{CH}CH sowie den Kreisbogen \overset{\large\frown}{FH}FH⌢ begrenzt wird

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Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks BCDBCDBCD

Flächeninhalt des Dreiecks BCDBCDBCD

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Berechne die Wahrscheinlichkeit $P$ dafür, dass mindestens einer der beiden ausgewählten Krapfen mit Senf gefüllt ist

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0{,}5x^2 - 2x - 5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in[-3; 7]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$

Berechne das zugehörige Maß $\beta$

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3{,}35\;\text{LE}$ beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$

Zeichne das Fünfeck $A B C D E$ mit den Strecken $\overline{DA}$ und $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ .

Begründe, dass gilt: $\sphericalangle DBA =\sphericalangle BDC$

Berechne den Winkel $D B A$

Berechne den Winkel $D C B$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}$

Berechne den Umfang der Figur, die durch die Strecken $\overline{AE}$ , $\overline{ED}$ , $\overline{DB}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{AB}$ begrenzt wird

Berechne die Länge der Strecke $\overline{ED}$

Ergänze die Zeichnung zu Aufgabe a) um die Strecke $\overline{CG}$ und den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ mit dem Mittelpunkt $C$

Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke $\overline{CG}$

Berechne den Flächeninhalt des Sektors, der durch die Strecken $\overline{FC}$ und $\overline{CH}$ sowie den Kreisbogen $\overset{\large\frown}{FH}$ begrenzt wird

Bestimme rechnerisch den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Sektors aus Aufgabe d) am Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$

Flächeninhalt des Dreiecks $B C D$