Berechne das Volumen des Rotationskörpers

Das Rotationsvolumen besteht aus zwei Körpern, einem Zylinder und einem Kegelstumpf.

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}V=V\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}+V\_\{\backslash text\{Kegelstumpf\}\}$

$V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot \mathrm{\mid }\overline{MB}{\mathrm{\mid }}^2\cdot \mathrm{\mid }\overline{TM}\mathrm{\mid }=\pi \cdot 1^2\cdot \mathrm{1,5}\approx \mathrm{4,71}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}=\backslash pi\backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; h=\backslash pi\backslash cdot|\backslash overline\{MB\}|^2\backslash cdot\; |\backslash overline\{TM\}|=\backslash pi\backslash cdot\; 1^2\backslash cdot1\{,\}5\backslash approx4\{,\}71\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}}V\_\{\backslash text\{Kegelstumpf\}\}=V\_\{\backslash text\{großer\; Kegel\}\}-V\_\{\backslash text\{kleiner\; Kegel\}\}$

Dabei ist:

$V_{\text{großer Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot \mathrm{\mid }\overline{TD}{\mathrm{\mid }}^2\cdot \mathrm{\mid }\overline{ST}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot \mathrm{6,5}\approx \mathrm{27,23}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_\{\backslash text\{großer\; Kegel\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot|\backslash overline\{TD\}|^2\backslash cdot\; |\backslash overline\{ST\}|=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 2^2\backslash cdot\; 6\{,\}5\backslash approx27\{,\}23\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$.

Weiterhin ist:

$h_{\text{kleiner Kegel}}=\mathrm{\mid }\overline{ST}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }\overline{NT}\mathrm{\mid }=\mathrm{6,5}-2=\mathrm{4,5}\mathrm{c}\mathrm{m}h\_\{\backslash text\{kleiner\; Kegel\}\}=|\backslash overline\{ST\}|-|\backslash overline\{NT\}|=6\{,\}5-2=4\{,\}5\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$ und $r_{\text{kleiner Kegel}}=\mathrm{\mid }\overline{NE}\mathrm{\mid }r\_\{\backslash text\{kleiner\; Kegel\}\}=|\backslash overline\{NE\}|$.

Berechne $\mathrm{\mid }\overline{NE}\mathrm{\mid }|\backslash overline\{NE\}|$.

Verwende den Strahlensatz:

Es gilt: ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{TD}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{ST}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{NE}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overline{ST}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }\overline{NT}\mathrm{\mid }}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{6,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overline{NE}\mathrm{\mid }}{\mathrm{4,5}}}\Rightarrow \mathrm{\mid }\overline{NE}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,5}}{\mathrm{6,5}}}\approx \mathrm{1,38}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash dfrac\{|\backslash overline\{TD\}|\}\{|\backslash overline\{ST\}|\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{NE\}|\}\{|\backslash overline\{ST\}|-|\backslash overline\{NT\}|\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{2\}\{6\{,\}5\}=\backslash dfrac\{|\backslash overline\{NE\}|\}\{4\{,\}5\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;|\backslash overline\{NE\}|=\backslash dfrac\{2\backslash cdot\; 4\{,\}5\}\{6\{,\}5\}\backslash approx1\{,\}38\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}$

Dann erhält man für:

$V_{\text{kleiner Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot \mathrm{\mid }\overline{NE}{\mathrm{\mid }}^2\cdot (\mathrm{\mid }\overline{ST}{\mathrm{\mid }}_{\mathrm{\mid }}\overline{NE}\mathrm{\mid })={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{1,38}}^2\cdot \mathrm{4,5}\approx \mathrm{8,97}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\_\{\backslash text\{kleiner\; Kegel\}\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot|\backslash overline\{NE\}|^2\backslash cdot\; (|\backslash overline\{ST\}|\_|\backslash overline\{NE\}|)=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot\; 1\{,\}38^2\backslash cdot\; 4\{,\}5\backslash approx8\{,\}97\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$

Dann folgt:

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{Zylinder}}+(V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}})V=V\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}+V\_\{\backslash text\{Kegelstumpf\}\}=V\_\{\backslash text\{Zylinder\}\}+(V\_\{\backslash text\{großer\; Kegel\}\}-V\_\{\backslash text\{kleiner\; Kegel\}\})$

$V\approx (\mathrm{4,71}+(\mathrm{27,23}-\mathrm{8,97})){\mathrm{c}\mathrm{m}}^3=\mathrm{22,97}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}V\backslash approx(4\{,\}71+(27\{,\}23-8\{,\}97))\backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3=22\{,\}97\; \backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt rund $\mathrm{22,97}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}22\{,\}97\; \backslash ;\backslash mathrm\{cm\}^3$.

Welches Aufkleber-Set ist hierfür passend? Kreuze an

Das Aufkleber-Set muss aus fünf Einzelteilen bestehen. Deshalb entfällt Set Nr. $22$.

Der Mantel des Kegelstumpfes besteht nicht aus einem Kreisausschnitt, sondern aus einem Kreisringausschnitt. Deshalb entfallen Set Nr. $11$ und Set Nr. $44$.

Es bleibt Set Nr. 3 übrig.