Berechne das Volumen des Rotationskörpers

Das Rotationsvolumen besteht aus zwei Körpern, einem Zylinder und einem Kegelstumpf.

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}$

$V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h=\pi \cdot |\overline{MB}{|}^2\cdot |\overline{TM}|=\pi \cdot 1^2\cdot \mathrm{1,5}\approx \mathrm{4,71}{\mathrm{cm}}^3$

$V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}}$

Dabei ist:

$V_{\text{großer Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot |\overline{TD}{|}^2\cdot |\overline{ST}|={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot 2^2\cdot \mathrm{6,5}\approx \mathrm{27,23}{\mathrm{cm}}^3$.

Weiterhin ist:

$h_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{ST}|-|\overline{NT}|=\mathrm{6,5}-2=\mathrm{4,5}\mathrm{cm}$ und $r_{\text{kleiner Kegel}}=|\overline{NE}|$.

Berechne $|\overline{NE}|$.

Verwende den Strahlensatz:

Es gilt: ${\displaystyle \frac{|\overline{TD}|}{|\overline{ST}|}}={\displaystyle \frac{|\overline{NE}|}{|\overline{ST}|-|\overline{NT}|}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{\mathrm{6,5}}}={\displaystyle \frac{|\overline{NE}|}{\mathrm{4,5}}}\Rightarrow |\overline{NE}|={\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{4,5}}{\mathrm{6,5}}}\approx \mathrm{1,38}\mathrm{cm}$

Dann erhält man für:

$V_{\text{kleiner Kegel}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot |\overline{NE}{|}^2\cdot (|\overline{ST}{|}_{|}\overline{NE}|)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{1,38}}^2\cdot \mathrm{4,5}\approx \mathrm{8,97}{\mathrm{cm}}^3$

Dann folgt:

$V=V_{\text{Zylinder}}+V_{\text{Kegelstumpf}}=V_{\text{Zylinder}}+(V_{\text{großer Kegel}}-V_{\text{kleiner Kegel}})$

$V\approx (\mathrm{4,71}+(\mathrm{27,23}-\mathrm{8,97})){\mathrm{cm}}^3=\mathrm{22,97}{\mathrm{cm}}^3$

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt rund $\mathrm{22,97}{\mathrm{cm}}^3$.

Welches Aufkleber-Set ist hierfür passend? Kreuze an

Das Aufkleber-Set muss aus fünf Einzelteilen bestehen. Deshalb entfällt Set Nr. $2$.

Der Mantel des Kegelstumpfes besteht nicht aus einem Kreisausschnitt, sondern aus einem Kreisringausschnitt. Deshalb entfallen Set Nr. $1$ und Set Nr. $4$.

Es bleibt Set Nr. 3 übrig.