Teil B - lernen mit Serlo!

Aufgabe B3

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2 ∣ - 7)$ verläuft durch den Punkt $P (4 ∣ - 5)$ .

Sie hat eine Gleichung der Form $y = a x^{2} + b x + c$ mit $a \in \mathbb{R} \backslash \{0\}$ und $b, c, x, y \in \mathbb{R}$ .

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt:

$y = 0{,}5x^2 - 2x - 5$ .

Zeichnen Sie sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in[-3; 7]$ in ein Koordinatensystem.

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\ \cm$ ; $-3 \leq x \leq 7; -7 \leq y \leq 6$ (5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0{,}5x^2 - 2x - 5$

Die Parabel $p$ mit dem Scheitelpunkt $S (2 ∣ - 7)$ verläuft durch den Punkt $P (4 ∣ - 5)$ .

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ ein:

$\Rightarrow\; f(x)=a(x-2)^2-7$

Setze den Punkt $P (4 ∣ - 5)$ ein:

$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle a(4-2)^2-7$
	↓	Vereinfache die rechte Seite.
$\displaystyle -5$	$=$	$\displaystyle a\cdot 4-7$	$\displaystyle +7$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle a\cdot 4$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 0{,}5$	$=$	$\displaystyle a$

$\Rightarrow\; f(x)=0{,}5(x-2)^2-7=0{,}5(x^2-4x+4)-7=0{,}5x^2-2x+2-7$

Zusammengefasst erhält man für die Gleichung der Parabel $p$ : $f(x)=0{,}5x^2-2x-5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in[-3; 7]$ in ein Koordinatensystem

Erstelle für die Zeichnung der Parabel $p$ eine Wertetabelle und trage die Punkte in ein Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Parabel.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
y	$5,5$	$1$	$- 2,5$	$- 5$	$- 6,5$	$- 7$	$- 6,5$	$- 5$	$- 2,5$	$1$	$5,5$

Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y = 0,5 x$ . Der y-Achsenabschnitt ist $0$ . Zeichne die Punkte $(0 ∣ 0)$ und z.B. $(4 ∣ 2)$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einer Geraden.

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Punkte $A_n (x | 0{,}5x^2 - 2x - 5)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n (x| 0{,}5x)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x \in]-1{,}53; 6{,}53[$ zusammen mit Punkten $C_{n}$ die Eckpunkte von Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ . Die Punkte $C_{n}$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
Zeichnen Sie die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein
Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Dreieck $A_{1} B_{1} C_{1}$ :
Hier ist $x=2\;\Rightarrow\;A_1(2|f(2)), B_1(2|g(2))$ :
Für die Punkte $C_{n}$ gilt:
Die Punkte $C_{n}$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ und ihre Abszisse ist stets um $3$ kleiner als die Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ .
$\Rightarrow\;$ für $C_{1}$ ist $x=2-3=-1\;\Rightarrow\;C_1(-1|g(-1))$
Zeichne die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Dreieck $A_{2} B_{2} C_{2}$ :
Hier ist $x=5{,}5\;\Rightarrow\;A_2(5{,}5|f(5{,}5)),B_2(5{,}5|g(5{,}5))$ :
Für $C_{2}$ ist $x=5{,}5-3=2{,}5\;\Rightarrow\;C_2(2{,}5|g(2{,}5))$ .

Zeichne die Punkte $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ in das Koordinatensystem ein. Verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Eingezeichnete Dreiecke
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Die Dreieckspunkte liegen jeweils auf den entsprechenden Graphen.
Für $x=2\;\Rightarrow\;A_1(2|f(2)), B_1(2|g(2))$ und $C_{1} (- 1 ∣ g (- 1))$ .
Für $x=5{,}5\;\Rightarrow\;A_2(5{,}5|f(5{,}5)),B_2(5{,}5|g(5{,}5))$ und $C_2(2{,}5|g(2{,}5))$ .
Zeichne die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zu einem Dreieck.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strecke
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$
$|\overline{A_nB_n}|(x)=y_{B_n}-y_{A_n}=[0{,}5x-( 0{,}5x^2 - 2x - 5)]=[-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5]\;\text{LE}$ , für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ .
Für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt:
$|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$
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Es gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=y_{B_n}-y_{A_n}$ . Setze ein und fasse zusammen.

Unter den Strecken $\overline{A_nB_n}$ hat die Strecke $\overline{A_0B_0}$ die maximale Länge.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$ sowie den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$ . (2,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt

Berechne die Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$

Für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ .

Der Funktionsterm ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel:

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5$
	↓	Klammere $- 0,5$ aus.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x^2-5x-10)$
	↓	Quadratische Ergänzung.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x^2-5x+2{,}5^2-2{,}5^2-10)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\left(x-2{,}5)^2-2{,}5^2-10\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\left(x-2{,}5)^2-16{,}25\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -0{,}5(x-2{,}5)^2+8{,}125$

Der Scheitelpunkt hat (auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet) die Koordinaten $S (2,5 ∣ 8,13)$ .

$\Rightarrow\;$ Die maximale Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$ ist der y-Wert des Scheitelpunktes und beträgt rund $8{,}13\;\text{LE}$ .

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$

Die folgende Darstellung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert

Das Dreieck $A_{0} B_{0} C_{0}$ hat als Grundseite $|\overline{A_0B_0}|=8{,}13\;\text{LE}$ .

Die Höhe des Dreiecks $h=x_{A_0}-x_{C_0}=2{,}5-(-0{,}5)=3\;\text{LE}$ .

Dann erhält man für den Flächeninhalt:

$A_{\text{max}}=\dfrac{1}{2}\cdot 8{,}13\cdot 3\approx12{,}20 \;\text{FE}$

Der zugehörige Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$ beträgt rund $12{,}20 \;\text{FE}$ .

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In allen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ haben die Winkel $C_{n} B_{n} A_{n}$ das gleiche Maß.
Berechnen Sie das zugehörige Maß $\beta$ .
$[$ Ergebnis: $\beta=63{,}43^\circ]$ (1,5 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Berechne das zugehörige Maß $\beta$
Die Gerade $g$ hat die Steigung $m = 0,5$ .
Der Winkel, den die Gerade $g$ mit der x-Achse einschließt, ist der Winkel $90^\circ-\beta$ .
$\Rightarrow\;\tan(90^\circ-\beta)=0{,}5$
$\Rightarrow\;90^\circ-\beta=\tan^{-1}(0{,}5)\approx26{,}57^\circ\;\Rightarrow\;\beta=90^\circ-26{,}57^\circ=63{,}43^\circ$
Das zugehörige Maß $\beta$ beträgt rund $63{,}43^\circ$ .
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Unter den Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ gibt es die gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ mit der Basis $\overline{A_3C_3}$ sowie $A_{4} B_{4} C_{4}$ mit der Basis $\overline{A_4C_4}$ .

Begründen Sie rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3{,}35\;\text{LE}$ beträgt.

Berechnen Sie anschließend die zugehörigen Werte für $x$ . (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3{,}35\;\text{LE}$ beträgt

Für die gleichschenkligen Dreiecke $A_{3} B_{3} C_{3}$ und $A_{4} B_{4} C_{4}$ gilt:

$|\overline{A_3B_3}|=|\overline{B_3C_3}|=|\overline{A_4B_4}|=|\overline{B_4C_4}|=|\overline{B_nC_n}|$

Dann gilt mit $\beta=63{,}43^\circ$ :

$\sin \beta=\dfrac{3}{|\overline{B_nC_n}|}\;\Rightarrow\;|\overline{B_nC_n}|=\dfrac{3}{\sin63{,}43^\circ}\approx3{,}35$

Die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken beträgt stets $3{,}35\;\text{LE}$ .

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$

Es gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ .

Andererseits ist $|\overline{B_nC_n}|=|\overline{A_nB_n}|$ .

Dann folgt für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ :

$3{,}35=-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5\;\Rightarrow\;-0{,}5x^2+ 2{,}5x+1{,}65=0$

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:Es gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$ .

Andererseits ist $|\overline{B_nC_n}|=|\overline{A_nB_n}|$ .

Dann folgt für $x \in \mathbb{R}$ und $x\in ]-1{,}53;6{,}53[$ :

$3{,}35=-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5\;\Rightarrow\;-0{,}5x^2+ 2{,}5x+1{,}65=0$

Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 0,5, b = 2,5$ und $c = 1,65$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2{,}5\pm\sqrt{2{,}5^2-4\cdot(-0{,}5)\cdot 1{,}65}}{2\cdot(-0{,}5)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2{,}5\pm\sqrt{6{,}25+3{,}3}}{-1}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}5\mp\sqrt{9{,}55}$

Man erhält die beiden Lösungen $x_1=2{,}5-\sqrt{9{,}55}\approx -0{,}59$ und $x_2=2{,}5+\sqrt{9{,}55}\approx 5{,}59$ .

$L=\{-0{,}59; 5{,}59\}$

Die zugehörigen Werte für $x$ sind $- 0,59$ oder $5,59$ .

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Aufgabe B3

Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel ppp gilt: y=0,5x2−2x−5y = 0{,}5x^2 - 2x - 5y=0,5x2−2x−5

Zeichne sodann die Parabel ppp sowie die Gerade ggg für x∈[−3;7]x \in[-3; 7]x∈[−3;7] in ein Koordinatensystem

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Zeichne die Dreiecke A1B1C1A_1B_1C_1A1​B1​C1​ für x=2x = 2x=2 und A2B2C2A_2B_2C_2A2​B2​C2​ für x=5,5x = 5{,}5x=5,5 in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

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Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken AnBn‾\overline{A_nB_n}An​Bn​​ in Abhängigkeit von xxx gilt: ∣AnBn‾∣(x)=(−0,5x2+2,5x+5) LE|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}∣An​Bn​​∣(x)=(−0,5x2+2,5x+5)LE

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Berechne die Länge der Strecke A0B0‾\overline{A_0B_0}A0​B0​​

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks A0B0C0A_0B_0C_0A0​B0​C0​

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Berechne das zugehörige Maß β\betaβ

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Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets 3,35 LE3{,}35\;\text{LE}3,35LE beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für xxx

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Zeige durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel $p$ gilt: $y = 0{,}5x^2 - 2x - 5$

Zeichne sodann die Parabel $p$ sowie die Gerade $g$ für $x \in[-3; 7]$ in ein Koordinatensystem

Zeichne die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = 2$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5,5$ in das Koordinatensystem zu Aufgabe a) ein

Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken $\overline{A_nB_n}$ in Abhängigkeit von $x$ gilt: $|\overline{A_nB_n}|(x)=(-0{,}5x^2+ 2{,}5x+ 5)\;\text{LE}$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{A_0B_0}$

Berechne den zugehörigen Flächeninhalt des Dreiecks $A_{0} B_{0} C_{0}$

Berechne das zugehörige Maß $\beta$

Begründe rechnerisch, dass die Länge der Schenkel bei diesen gleichschenkligen Dreiecken stets $3{,}35\;\text{LE}$ beträgt

Berechne anschließend die zugehörigen Werte für $x$