Teil B: Stochastik - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Nach Aufgabe 1 gilt:

Ein bekannter Video-Streamingdienst bietet einen kostenpflichtigen Zugang zu Spielfilmen und Serien an. Personen, die davon gegen Zahlung einer monatlichen Gebühr Gebrauch machen, werden im Folgenden als Abonnenten bezeichnet. Sie haben sich entweder für das Spielfilmpaket oder für das Komplettpaket entschieden, das neben den Spielfilmen auch noch Serien enthält.

Der Anteil der zufriedenen Abonnenten von derzeit $60 %$ soll gesteigert werden. Dazu wird ein Algorithmus entwickelt, der jedem Abonnenten täglich individuell einen Spielfilm vorschlägt. Als Basis für die Entscheidung über den dauerhaften Einsatz des Algorithmus plant das Management einen Probebetrieb.

Im Anschluss soll mit einer Umfrage unter $200$ zufällig ausgewählten Abonnenten untersucht werden, ob der Anteil der zufriedenen Abonnenten durch diese Maßnahme vergrößert wurde.

Von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten wird ausgegangen, wenn von den $200$ Abonnenten mindestens $132$ zufrieden sind.

Die Zufallsgröße $Y$ : „Anzahl der nach dem Probebetrieb zufriedenen Abonnenten unter den Befragten“ wird durch eine Binomialverteilung mit den Parametern $n = 200$ und $p$ modelliert.

Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Ermittele, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist
Gegeben: "Die Zufallsgröße $Y$ : Anzahl der nach dem Probebetrieb zufriedenen Abonnenten unter den Befragten wird durch eine Binomialverteilung mit den Parametern $n = 200$ und $p$ modelliert."
Weiterhin gegeben: "Von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten wird ausgegangen, wenn von den $200$ Abonnenten mindestens $132$ zufrieden sind."
Berechne $P_{200 ;\; 0{,}6}(Y \geq 132)=\text{binomCdf}(200, 0.6, 132, \infty) \approx 0{,}0475$ .
Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist, beträgt rund $0,0475$ .
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Berechne $P_{200 ;\; 0{,}6}(Y \geq 132)=\text{binomCdf}(200, 0.6, 132, \infty)$ .
(i) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65 %$ gestiegen ist. (2 P)
(ii) Die folgende Abbildung zeigt zwei Histogramme von binomialverteilten Zufallsgrößen $Y_{1}$ bzw. $Y_{2}$ mit $n = 200$ und $p_{1}=0{,}60$ bzw. $p_{2}=0{,}65$ . (2 P)
Abbildung
Veranschaulichen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) (i) in der Abbildung.
(iii) Ein Mitarbeiter des Managements ist der Meinung, dass die Wahrscheinlichkeit für die in b) (i) beschriebene Fehlentscheidung zu hoch ist. Er schlägt vor, die Maßnahme bereits bei mindestens $125$ mit dem Angebot zufriedenen Abonnenten als erfolgreich einzustufen.
Beurteilen Sie diesen Vorschlag. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
(i) Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65 %$ gestiegen ist
Gegeben: $n = 200, p = 0,65$ und $Y < 132$ , also $Y\leq 131$ Berechne $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<132)=\text{binomCdf}(200, 0.65, 0, 131) \approx 0{,}5852$ .
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65 %$ gestiegen ist, beträgt rund $0,5852$ .
(ii) Veranschauliche die Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) (i) in der Abbildung
Aus a): $P_{200 ;\; 0{,}6}(Y \geq 132)$ , also müssen alle Balken ab $132$ markiert werden.
Aus b) (i): $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<132)=P_{200 ;\; 0{,}65}(Y\leq 131)$ , also müssen alle Balken bis $131$ markiert werden.
Abbildung
(iii) Beurteile diesen Vorschlag
Gegeben ist: "Er schlägt vor, die Maßnahme bereits bei mindestens $125$ mit dem Angebot zufriedenen Abonnenten als erfolgreich einzustufen."
Die Maßnahme bereits bei einer geringeren Anzahl von zufriedenen Abonnenten als erfolgreich einzustufen, wäre tatsächlich geeignet, die Wahrscheinlichkeit des in (i) beschriebenen Fehlers zu verkleinern.
Jedoch würde sich auf diese Weise die Wahrscheinlichkeit dafür, fälschlicherweise von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten auszugehen (vgl. (a)), deutlich erhöhen.
Nach (i) gilt: $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<132)=\text{binomCdf}(200, 0.65, 0, 131) \approx 0{,}5852$
Wenn $k = 125$ ist, dann folgt: ⁣ $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<125)=\text{binomCdf}(200, 0.65, 0, 124) \approx 0{,}2067$ , d.h. die Wahrscheinlichkeit des in (i) beschriebenen Fehlers wird kleiner.
Andererseits ist aber $P_{200 ;\; 0{,}6}(Y \geq 125)=\text{binomCdf}(200, 0.6, 125, \infty) \approx 0{,}2590$ also deutlich größer als $0,0475$ (siehe a).
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(i)
Berechne $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<132)=\text{binomCdf}(200, 0.65, 0, 131)$ .
(ii)
Aus a): $P_{200 ;\; 0{,}6}(Y \geq 132)$ $\;\Rightarrow\;$ es müssen alle Balken ab $132$ markiert werden.
Aus b) (i): $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<132)=P_{200 ;\; 0{,}65}(Y\leq 131)$ $\;\Rightarrow\;$ es müssen alle Balken bis $131$ markiert werden.
(iii)
Vergleiche $P_{200 ;\; 0{,}65}(Y<125)=\text{binomCdf}(200, 0.65, 0, 124)$ mit dem Ergebnis aus (I).
Berechne $P_{200 ;\; 0{,}6}(Y \geq 125)=\text{binomCdf}(200, 0.6, 125, \infty)$ und vergleiche mit dem Ergebnis aus a).

Aufgabe 2

Ermittele, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Management von einer Vergrößerung des Anteils zufriedener Abonnenten ausgeht, falls der Anteil der zufriedenen Abonnenten unverändert geblieben ist

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(i) Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf 65 %65\ \%65 % gestiegen ist

(ii) Veranschauliche die Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) (i) in der Abbildung

(iii) Beurteile diesen Vorschlag

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(i) Ermittele die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Management davon ausgeht, dass die Maßnahme nicht erfolgreich war, falls der Anteil zufriedener Abonnenten nach dem Probebetrieb auf $65 %$ gestiegen ist