Berechne die Nullstellen von $ff$

Gegeben ist $f(x)=3\cdot x^2-12f(x)=3\; \backslash cdot\; x^\{2\}-12$.

Löse die Gleichung $f(x)=0f(x)=0$.

$3\cdot x^2-12=0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{12}{3}}=43\; \backslash cdot\; x^\{2\}-12=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2=\backslash dfrac\{12\}\{3\}=4$

Die Gleichung $x^2=4x^2=4$ hat die Lösungen $x=-2\vee x=2x=-2\; \backslash vee\; x=2$.

Die Nullstellen der Funktion $ff$ sind $x=-2x=-2$ oder $x=2x=2$.

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $ff$ und der $xx$-Achse eingeschlossen wird

${\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f(x)\mathrm{d}x={[3\cdot \frac{1}{3}\cdot x^3-12\cdot x]}_{-2}^2={[x^3-12\cdot x]}_{-2}^2}\backslash displaystyle\backslash int\_\{-2\}^2\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=\backslash left[3\backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; x^3-12\backslash cdot\; x\backslash right]\_\{-2\}^2=\backslash left[x^3-12\backslash cdot\; x\backslash right]\_\{-2\}^2$

Setze die Grenzen ein:

${[x^3-12\cdot x]}_{-2}^2=(8-24)-(-8+24)=-16-16=-32\backslash left[x^3-12\backslash cdot\; x\backslash right]\_\{-2\}^2=(8-24)-(-8+24)=-16-16=-32$

Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $ff$ und der $xx$-Achse eingeschlossen wird, beträgt $32\text{FE}32\backslash ;\backslash text\{FE\}$.