Prüfungsteil 2 2024

Nachweis, dass das tägliche Wachstum $30\mathrm{\%}30\backslash \; \backslash \%$ beträgt.

Folgende Größen sind bekannt:

Grundwert $\text{G}=100\backslash text\{G\}=100$

Prozentwert $\text{W}=13-10=3\backslash text\{W\}=13-10=3$

Berechnen des Prozentsatzes:

Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:

$\mathrm{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{G}}}\Rightarrow \mathrm{p}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}\backslash mathrm\{p=\backslash dfrac\{W\}\{G\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; p=\backslash dfrac\{3\}\{10\}=0\{,\}3\}$

Der Zuwachs der Fruchtfliegen beträgt dann:

$\mathrm{0,3}\cdot 100=30\mathrm{\%}\backslash hspace\{40mm\}0\{,\}3\backslash cdot\; 100=30\backslash \; \backslash \%$

Berechnen der Anzahl an Fruchtfliegen nach 30 Tagen.

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{\mathrm{x}}\backslash mathrm\{f(x)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{x\}\}$

einsetzen von $3030$ für $\text{x}\backslash text\{x\}$

$\mathrm{f}(30)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{30}\backslash mathrm\{f(30)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{30\}\}$

$\mathrm{f}(30)=10\cdot \mathrm{2619,996}\backslash mathrm\{f(30)=10\; \backslash cdot\; 2619\{,\}996\}$

$\mathrm{f}(30)\approx 26200\backslash mathrm\{f(30)\backslash approx\; 26200\}$

Nach $3030$ Tagen sind in Box $\text{A}\backslash text\{A\}$ ca. $2620026\; 200$ Fruchtfliegen.

Da die Anzahl der Fruchtfliegen nach $3030$ Tagen ca. $2620026\backslash \; 200$ beträgt, kann also erst nach mehr als $3030$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ sein.

Jetzt kannst du systematisch ausprobieren, indem du für $\text{x}\backslash text\{x\}$ die Werte $\mathrm{31,32},\dots 31\{,\}32,\dots$ in $\mathrm{f}(\mathrm{x})\backslash mathrm\{f(x)\}$ einsetzt und berechnest, wann das erste Mal die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ ist.

Mit dem Taschenrechner berechnet erhälst du dann :

$\mathrm{f}(35)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{35}=97278,\dots \backslash mathrm\{f(35)=10\backslash cdot\; 1\{,\}3^\{35\}\; =\; 97\; \backslash \; 278,\backslash ldots\}$

$\mathrm{f}(36)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{36}=126462,\dots \backslash mathrm\{f(36)=10\backslash cdot\; 1\{,\}3^\{36\}\; =\; 126\; \backslash \; 462,\backslash ldots\}$

Also ist nach $3636$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $100000100\backslash \; 000$.

Damit sind erstmals nach $\mathbf{36}\backslash mathbf\{36\}$ Tagen mehr als $100000100\backslash \; 000$ Fruchtfliegen

in Zuchtbox $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$.

Du musst hier auf $3636$ aufrunden und nicht auf $3535$ abrunden, da erst ab ungefähr $\mathrm{35,1}35\{,\}1$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ ist.

Die Anzahl der Fruchtfliegen ist nach $3535$ Tagen immer noch kleiner als $100000100\; \backslash \; 000$, erst nach einem weiteren Tag, also nach $3636$ Tagen ist die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ .

Begründung, dass die Graphen A und B durch die Funktionen f und g dargestellt werden.

$1.)1.)\backslash$Graph $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ verläuft durch die Punkte $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$ und $(3\mathrm{\mid }22)(3|22)$.

Für die Funktion $\text{f}\backslash text\{f\}$ gilt:

$\mathrm{f}(0)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^0\backslash mathrm\{f(0)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{0\}\}$

$\mathrm{f}(0)=10\backslash mathrm\{f(0)=10\}$

$\mathrm{f}(3)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^3\backslash mathrm\{f(3)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{3\}\}$

$\mathrm{f}(3)\approx 22\backslash mathrm\{f(3)\backslash approx22\}$

Graph $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ gehört zur Funktion $\text{f}\backslash text\{f\}$ .

$\backslash rule\{80mm\}\{0.5mm\}$

$2.)2.)\backslash$Graph $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ verläuft durch die Punkte $(0\mathrm{\mid }20)(0|20)$ und $(3\mathrm{\mid }29)(3|29)$.

Für die Funktion $\text{g}\backslash text\{g\}$ gilt:

$\mathrm{g}(0)=20\cdot {\mathrm{1,13}}^0\backslash mathrm\{g(0)=20\backslash cdot\; 1\{,\}13^0\}$

$\mathrm{g}(0)=20\backslash mathrm\{g(0)=20\}$

$\mathrm{g}(3)=20\cdot {\mathrm{1,13}}^3\backslash mathrm\{g(3)=20\backslash cdot\; 1\{,\}13^3\}$

$\mathrm{g}(3)\approx 29\backslash mathrm\{g(3)\backslash approx29\}$

Graph $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ gehört zur Funktion $\text{g}\backslash text\{g\}$ .

Bestimmung des Tages an dem in Zuchtboxen A und B gleich viele Fruchtfliegen enthalten sind.

Die Anzahl der Fruchtfliegen in den Zuchtboxen $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ wird von den Funktionen $\text{f}\backslash text\{f\}$und $\text{g}\backslash text\{g\}$ beschrieben. Sind also in beiden Zuchtboxen gleich viele Fliegen, so müssen sich die Graphen von $\text{f}\backslash text\{f\}$ und $\text{g}\backslash text\{g\}$, also Graphen $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ schneiden.

Aus der Abbildung erkennt man, dass der Schnittpunkt von Graph $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und Graph $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ bei ca. $(5\mathrm{\mid }37)(5|37)$ liegt.

Nach ungefähr $\boxed{{\displaystyle 5}}\backslash boxed\{5\}$ Tagen sind in beiden Zuchtboxen ca. $\boxed{{\displaystyle 37}}\backslash boxed\{37\}$ Fruchtfliegen enthalten.

Näherungsweise Bestimmung der Funktionsgleichung $\text{h}\backslash text\{h\}$ für den Graphen $\text{C}\backslash text\{C\}$ .

Bestimmen von $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ aus Abbildung 3.

Graph $\text{C}\backslash text\{C\}$ verläuft durch $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$, somit ist $\mathrm{a}=10\backslash mathrm\{a\; =\; 10\}$

Abbildung 3 kann man entnehmen, dass Graph $\text{C}\backslash text\{C\}$ näherungsweise z. B. durch den Punkt $\text{p}\backslash text\{p\}$ $(10\mathrm{\mid }34)(10|34)$ verläuft.

Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes p in die Funktionsgleichung $\mathrm{h}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{q}}^{\mathrm{x}}\backslash mathrm\{h(x)=10\backslash cdot\; q^x\}$ erhalten wir:

$34=10\cdot {\mathrm{q}}^{10}\backslash mathrm\{34=10\backslash cdot\; q^\{10\}\}$

Die Funktionsgleichung $\text{h}\backslash text\{h\}$ lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{h}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{1,13}}^{\mathrm{x}}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{h(x)=10\backslash cdot\; 1\{,\}13^x\}\}$

Begründete Vermutung:

Das Experiment zu Graph $\text{C}\backslash text\{C\}$ wurde wegen $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$ wie bei Zuchtbox $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ mit $1010$ Fruchtfliegengestartet.

Da der Graph einen ähnlichen [Anmerkung: den gleichen] Wachstumsfaktor hat wie der Graph von Zuchtbox $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ (Funktion $\text{g}\backslash text\{g\}$), wurde das Experiment vermutlich ebenfalls bei einer kühleren Temperatur durchgeführt, z. B. im Keller.

Berechnung des Radius.

$\mathrm{r}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{8,8}}{2}}=\mathrm{4,4}\backslash mathrm\{r\; =\; \backslash dfrac\{d\}\{2\}=\backslash dfrac\{8\{,\}8\}\{2\}=4\{,\}4\}$

Umstellen der Formel nach $\text{h}\backslash text\{h\}$.

$\mathrm{V}=\pi \cdot {\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{h}\backslash mathrm\{V\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\backslash cdot\; h\}$

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{\mathrm{V}}{\pi \cdot {\mathrm{r}}^2}}\backslash mathrm\{h\; =\; \backslash dfrac\{V\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; r^2\}\}$

Berechnung der Höhe.

$\mathrm{h}={\displaystyle \frac{906}{\pi \cdot {\mathrm{4,4}}^2}}=\mathrm{14,90}\backslash mathrm\{h\; =\; \backslash dfrac\{906\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; 4\{,\}4^2\}\; =\; 14\{,\}90\}$

Die Höhe des Lautsprechers beträgt ca. $\mathrm{14,9}\text{ cm}14\{,\}9\backslash cm$.

Berechnen des Volumens der Kugel.

1.) Die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{r}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r^3\; \}$

2.) Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot 5^3[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3]\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx \mathrm{523,60}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}\; =\; \backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; 5^3\backslash \; [cm^3]\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; V\_\{Kugel\}\backslash approx523\{,\}60\backslash cm^3\}$

Berechnen des Volumens des Kugelsegments:

einsetzen der bekannten Größen in die Formel zur Berechnung des Volumens des Kugelsegments.

${\mathrm{V}}_{\text{Kugelsegment }}=\pi \cdot {\mathrm{1,1}}^2\cdot (5-{\displaystyle \frac{\mathrm{1,1}}{3}})[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3]\backslash mathrm\{V\_\{\backslash text\; \{Kugelsegment\; \}\}=\backslash pi\; \backslash cdot\; 1\{,\}1^\{2\}\; \backslash cdot\backslash left(5-\backslash dfrac\{1\{,\}1\}\{3\}\backslash right)\backslash \; \backslash \; [cm^3]\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}}\approx \mathrm{17,61}{\text{ cm}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugelsegment\; \}\backslash approx17\{,\}61\backslash cm^3\}$

Berechnen des prozentualen Anteils:

Das Volumen der Kugel entspricht dem Grundwert $\mathbf{\text{G}}\backslash textbf\{G\}$ .

Das Volumen des Kugelsegments entspricht dem Prozentwert $\mathbf{\text{W}}\backslash textbf\{W\}$ .

Mithilfe der Formel $\boxed{{\displaystyle \mathrm{p}=\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{G}}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{p=\backslash dfrac\{W\}\{G\}\}\}$ können wir jetzt den Prozentsatz berechnen,

wir setzen die bekannten Größen in die Formel ein.

$\mathrm{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{17,61}}{\mathrm{523,60}}}\Rightarrow \mathrm{p}=\mathrm{0,033...}\backslash mathrm\{p=\backslash dfrac\{17\{,\}61\}\{523\{,\}60\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash \; p=0\{,\}033...\}$

das entspricht ungefähr $3\mathrm{\%}3\backslash \; \backslash \%$ des Kugelvolumens.

Erläuterung:

Die Playlist umfasst insgesamt $1010$ Titel.

Von diesen $1010$ Titeln stammen $33$ Lieder von Ed Sheeran.

Die Wahrscheinlichkeit als erstes ein Lied von Ed Sheeran zu hören, beträgt:

$\mathrm{p}={\displaystyle \frac{\text{Anzahl der Lieder von Ed Sheeran}}{\text{Anzahl der Lieder in der Playlist}}}={\displaystyle \frac{3}{10}}\backslash mathrm\{p=\backslash dfrac\{\backslash text\{Anzahl\; der\; Lieder\; von\; Ed\; Sheeran\}\}\{\backslash text\{Anzahl\; der\; Lieder\; in\; der\; Playlist\}\}=\backslash dfrac\{3\}\{10\}\}$

Ergänzen des Baumdiagramms:

Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

Erstes Lied

Bei Auswahl des ersten Lieds sind noch $1010$ Lieder in der Playlist. $33$ Lieder davon sind von Ed Sheeran.

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Erstes ein Lied von Ed Sheeran gespielt wird, beträgt ${\mathrm{P}}_1={\displaystyle \frac{3}{10}}\backslash mathrm\{P\_1=\backslash dfrac\{3\}\{10\}\}$

Zweites Lied

Bei der Auswahl des zweiten Lieds sind nur noch $99$ Lieder in der Playlist. Davon sind noch $22$ Lieder von Ed Sheeran.

Die Wahrscheinlichkeit, dass als Zweites wieder ein Lied von Ed Sheeran gespielt wird, beträgt ${\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{2}{9}}\backslash mathrm\{P\_2=\backslash dfrac\{2\}\{9\}\}$

Beide Lieder

Die Wahrscheinlichkeit $\text{P}\backslash text\{P\}$, dass sowohl das erste als auch das zweite Lied von Ed Sheeran ist, beträgt dann:

$\mathrm{P}={\mathrm{P}}_1\cdot {\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}={\displaystyle \frac{1}{15}}\approx \mathrm{6,7}\mathrm{\%}\backslash mathrm\{P=P\_1\; \backslash cdot\; P\_2=\backslash dfrac\{3\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{2\}\{9\}=\backslash dfrac\{1\}\{15\}\backslash approx\; 6\{,\}7\backslash \; \backslash \%\}$

Bestimmen der Wahrscheinlichkeit:

Da kein Lied doppelt gespielt wird, darf kein Lied von Zoe Wees gespielt werden, da von ihr nur zwei Lieder in der Playlist enthalten sind. Die drei Lieder müssen daher entweder von Ed Sheeran oder alle von Mark Forster erklingen.

Die Reihenfolge ist wie im Baumdiagramm (siehe Teilaufgabe $2.2.$$\text{d}\backslash text\{d\}$ ) beliebig.

${\mathrm{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}\backslash mathrm\{P\_\{MF\}\}$ ("drei Lieder von MF")$={\displaystyle \frac{5}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{1}{12}}\backslash \; \backslash \; =\backslash dfrac\{5\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{4\}\{9\}\backslash cdot\backslash dfrac\{3\}\{8\}=\backslash dfrac\{1\}\{12\}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{E}\mathrm{S}}\backslash mathrm\{P\_\{ES\}\}$ ("drei Lieder von ES")$={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{120}}\backslash \; \backslash \; =\backslash dfrac\{3\}\{10\}\backslash cdot\backslash dfrac\{2\}\{9\}\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{8\}=\backslash dfrac\{1\}\{120\}$

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann:

${\mathrm{P}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\mathrm{P}}_{\mathrm{M}\mathrm{F}}+{\mathrm{P}}_{\mathrm{E}\mathrm{S}}\backslash mathrm\{P\_\{ges\}=P\_\{MF\}+P\_\{ES\}\}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{120}}\backslash mathrm\{P\_\{ges\}=\backslash dfrac\{1\}\{12\}+\backslash dfrac\{1\}\{120\}\}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}}={\displaystyle \frac{11}{120}}\backslash mathrm\{P\_\{ges\}=\backslash dfrac\{11\}\{120\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten drei abgespielten Lieder alle von der gleichen Person stammen, beträgt: $\boxed{{\displaystyle \frac{11}{120}}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash dfrac\{11\}\{120\}\}$

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks:

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines rechtwinkligen eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; b\}\{2\}\}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{8\cdot 6}{2}}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{8\backslash cdot\; 6\}\{2\}\backslash \; \backslash \; [cm^2]\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=24{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=24\backslash cm^2\}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $\boxed{{\displaystyle 24{\text{ cm}}^2}}\backslash boxed\{24\backslash cm^2\}$.

Begründung, dass die obige Gleichung gilt:

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird allgemein berechnet nach der Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\text{Grundseite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Grundseite\backslash ,\}\backslash cdot\backslash text\{Höhe\}\}\{2\}\}$

Für das gegebene Dreieck ist das:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{c}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{c\backslash cdot\; h\_c\}\{2\}\}$

Im rechtwinkligen Dreieck kann jede Kathete als Grundseite angenommen werden und die jeweils andere Kathete als Höhe des Dreiecks, sodass gilt:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; b\}\{2\}\}$ bzw. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{b}\cdot \mathrm{a}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{b\backslash cdot\; a\}\{2\}\}$

Beide Teile der Gleichung geben den Flächeninhalt des Dreiecks an.

Berechnen der Hohe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}\backslash mathrm\{h\_c\}$ .

Folgende Werte sind bekannt:

• Fläche des Dreiecks $24{\text{ cm}}^{2}24\backslash cm^2$

• Länge der Seite $c=10\text{ cm}c=10\backslash cm$

Mit diesen Werten kann man die Formel (s. Teilaufgabe b.)

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{c}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{c\backslash cdot\; h\_c\}\{2\}\}$

verwenden, um die Höhe $h_{c}h\_c$ zu berechnen.

Die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}\backslash mathrm\{h\_c\}$ beträgt $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4,8}\text{ cm}}}\backslash boxed\{4\{,\}8\backslash cm\}$.

Berechnen des Winkels $\alpha \backslash mathrm\{\backslash alpha\}$ .

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}={\displaystyle \frac{6}{10}}\backslash mathrm\{\backslash sin\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{b\}\{c\}=\backslash dfrac\{6\}\{10\}\}$

$\sin (\alpha )=\mathrm{0,6}\Rightarrow \alpha \approx {\mathrm{36,9}}^{\circ }\backslash sin\{(\backslash alpha)\}=0\{,\}6\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha\backslash approx36\{,\}9^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ beträgt ca. $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{36,9}}^{\circ }}}\backslash boxed\{36\{,\}9^\backslash circ\}$.

Skizzieren der Planfigur:

In einem gleichschenkligen Dreieck sind $22$ Seiten gleich lang.

Für ein rechtwinkeliges gleichschenkliges Dreieck heißt das, dass die beiden Katheten $\text{a}\backslash text\{a\}$ und $\text{b}\backslash text\{b\}$ gleich lang sind.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Für das gleichschenklige Dreieck gilt $\mathrm{b}=\mathrm{a}\backslash mathrm\{b=a\}$

Daher gilt für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit $\mathrm{c}=10\backslash mathrm\{c=10\}$:

${10}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2\backslash mathrm\{10^2=a^2+a^2\}$

$2{\mathrm{a}}^2=100\backslash mathrm\{2a^2=100\}$

$\mathrm{a}=\sqrt{50}\Rightarrow \mathrm{a}\approx \mathrm{7,07}\text{ cm}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt\{50\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a\backslash approx\; 7\{,\}07\backslash cm\}$

Die Länge der Schenkel beträgt ungefähr : $\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,07}\text{ cm}}}\backslash boxed\{7\{,\}07\backslash cm\}$.

Begründete Entscheidung:

Für ein gleichseitiges Dreieck gilt, dass alle Innenwinkel gleich groß sind.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt ${180}^{\circ }180^\backslash circ$.

Wenn alle Innenwinkel gleich groß sind, dann hat ein Winkel ${\displaystyle \frac{180}{3}}={60}^{\circ }\backslash dfrac\{180\}\{3\}=60^\backslash circ$

Es kann also kein rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Kais Behauptung stimmt nicht.

Konstruieren des rechtwinkligen Dreiecks $\text{ABC}\backslash text\{ABC\}$ .