Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks:

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines rechtwinkligen eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{2}}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{8\cdot 6}{2}}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=24{\text{ cm}}^2$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $24{\text{ cm}}^2$.

Begründung, dass die obige Gleichung gilt:

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird allgemein berechnet nach der Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\text{Grundseite\hspace{0.17em}}\cdot \text{Höhe}}{2}}$

Für das gegebene Dreieck ist das:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{c}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}{2}}$

Im rechtwinkligen Dreieck kann jede Kathete als Grundseite angenommen werden und die jeweils andere Kathete als Höhe des Dreiecks, sodass gilt:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{2}}$ bzw. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{b}\cdot \mathrm{a}}{2}}$

Beide Teile der Gleichung geben den Flächeninhalt des Dreiecks an.

Berechnen der Hohe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}$ .

Folgende Werte sind bekannt:

• Fläche des Dreiecks $24{\text{ cm}}^2$

• Länge der Seite $c=10\text{ cm}$

Mit diesen Werten kann man die Formel (s. Teilaufgabe b.)

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{c}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}{2}}$

verwenden, um die Höhe $h_c$ zu berechnen.

Die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}$ beträgt $\mathrm{4,8}\text{ cm}$.

Berechnen des Winkels $\mathrm{\alpha }$ .

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$

Einsetzen der bekannten Größen:

$\sin (\mathrm{\alpha })={\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}={\displaystyle \frac{6}{10}}$

$\sin (\alpha )=\mathrm{0,6}\Rightarrow \alpha \approx {\mathrm{36,9}}^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ beträgt ca. ${\mathrm{36,9}}^{\circ }$.

Skizzieren der Planfigur:

In einem gleichschenkligen Dreieck sind $2$ Seiten gleich lang.

Für ein rechtwinkeliges gleichschenkliges Dreieck heißt das, dass die beiden Katheten $\text{a}$ und $\text{b}$ gleich lang sind.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Für das gleichschenklige Dreieck gilt $\mathrm{b}=\mathrm{a}$

Daher gilt für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit $\mathrm{c}=10$:

${10}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2$

$2{\mathrm{a}}^2=100$

$\mathrm{a}=\sqrt{50}\Rightarrow \mathrm{a}\approx \mathrm{7,07}\text{ cm}$

Die Länge der Schenkel beträgt ungefähr : $\mathrm{7,07}\text{ cm}$.

Begründete Entscheidung:

Für ein gleichseitiges Dreieck gilt, dass alle Innenwinkel gleich groß sind.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt ${180}^{\circ }$.

Wenn alle Innenwinkel gleich groß sind, dann hat ein Winkel ${\displaystyle \frac{180}{3}}={60}^{\circ }$

Es kann also kein rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Kais Behauptung stimmt nicht.

Konstruieren des rechtwinkligen Dreiecks $\text{ABC}$ .