Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks:

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines rechtwinkligen eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; b\}\{2\}\}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{8\cdot 6}{2}}[\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2]\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{8\backslash cdot\; 6\}\{2\}\backslash \; \backslash \; [cm^2]\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=24{\text{ cm}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=24\backslash cm^2\}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt also $\boxed{{\displaystyle 24{\text{ cm}}^2}}\backslash boxed\{24\backslash cm^2\}$.

Begründung, dass die obige Gleichung gilt:

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird allgemein berechnet nach der Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\text{Grundseite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Grundseite\backslash ,\}\backslash cdot\backslash text\{Höhe\}\}\{2\}\}$

Für das gegebene Dreieck ist das:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{c}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{c\backslash cdot\; h\_c\}\{2\}\}$

Im rechtwinkligen Dreieck kann jede Kathete als Grundseite angenommen werden und die jeweils andere Kathete als Höhe des Dreiecks, sodass gilt:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{a\backslash cdot\; b\}\{2\}\}$ bzw. ${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{b}\cdot \mathrm{a}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{b\backslash cdot\; a\}\{2\}\}$

Beide Teile der Gleichung geben den Flächeninhalt des Dreiecks an.

Berechnen der Hohe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}\backslash mathrm\{h\_c\}$ .

Folgende Werte sind bekannt:

• Fläche des Dreiecks $24{\text{ cm}}^{2}24\backslash cm^2$

• Länge der Seite $c=10\text{ cm}c=10\backslash cm$

Mit diesen Werten kann man die Formel (s. Teilaufgabe b.)

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{c}\cdot {\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{c\backslash cdot\; h\_c\}\{2\}\}$

verwenden, um die Höhe $h_{c}h\_c$ zu berechnen.

Die Höhe ${\mathrm{h}}_{\mathrm{c}}\backslash mathrm\{h\_c\}$ beträgt $\boxed{{\displaystyle \mathrm{4,8}\text{ cm}}}\backslash boxed\{4\{,\}8\backslash cm\}$.

Berechnen des Winkels $\alpha \backslash mathrm\{\backslash alpha\}$ .

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}\backslash sin\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Hypotenuse\}\}$

Einsetzen der bekannten Größen:

$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}}={\displaystyle \frac{6}{10}}\backslash mathrm\{\backslash sin\{(\backslash alpha)\}=\backslash dfrac\{b\}\{c\}=\backslash dfrac\{6\}\{10\}\}$

$\sin (\alpha )=\mathrm{0,6}\Rightarrow \alpha \approx {\mathrm{36,9}}^{\circ }\backslash sin\{(\backslash alpha)\}=0\{,\}6\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; \backslash alpha\backslash approx36\{,\}9^\backslash circ$

Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ beträgt ca. $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{36,9}}^{\circ }}}\backslash boxed\{36\{,\}9^\backslash circ\}$.

Skizzieren der Planfigur:

In einem gleichschenkligen Dreieck sind $22$ Seiten gleich lang.

Für ein rechtwinkeliges gleichschenkliges Dreieck heißt das, dass die beiden Katheten $\text{a}\backslash text\{a\}$ und $\text{b}\backslash text\{b\}$ gleich lang sind.

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Für das gleichschenklige Dreieck gilt $\mathrm{b}=\mathrm{a}\backslash mathrm\{b=a\}$

Daher gilt für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit $\mathrm{c}=10\backslash mathrm\{c=10\}$:

${10}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{a}}^2\backslash mathrm\{10^2=a^2+a^2\}$

$2{\mathrm{a}}^2=100\backslash mathrm\{2a^2=100\}$

$\mathrm{a}=\sqrt{50}\Rightarrow \mathrm{a}\approx \mathrm{7,07}\text{ cm}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt\{50\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a\backslash approx\; 7\{,\}07\backslash cm\}$

Die Länge der Schenkel beträgt ungefähr : $\boxed{{\displaystyle \mathrm{7,07}\text{ cm}}}\backslash boxed\{7\{,\}07\backslash cm\}$.

Begründete Entscheidung:

Für ein gleichseitiges Dreieck gilt, dass alle Innenwinkel gleich groß sind.

Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt ${180}^{\circ }180^\backslash circ$.

Wenn alle Innenwinkel gleich groß sind, dann hat ein Winkel ${\displaystyle \frac{180}{3}}={60}^{\circ }\backslash dfrac\{180\}\{3\}=60^\backslash circ$

Es kann also kein rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Kais Behauptung stimmt nicht.

Konstruieren des rechtwinkligen Dreiecks $\text{ABC}\backslash text\{ABC\}$ .