Teil B-Aufgabengruppe I - lernen mit Serlo!

Die Gerade $g_{1}$ verläuft durch die Punkte $A (1 | - 3)$ und $B (3 | - 5)$ .
Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ermitteln der Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
$y = m \cdot x + t$
Berechnen der Steigung $m$ .
$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \Rightarrow m = \frac{- 5 - (- 3)}{3 - 1} = \frac{- 2}{2}$
$m = - 1$
Einsetzen von $m$ und der Koordinaten, z.B. des Punktes $A$ , in die allgemeine Geradengleichung.
$- 3 = - 1 \cdot 1 + t \Rightarrow t = - 3 + 1$
$t = - 2$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ lautet:
$g_{1} : y = - x - 2$
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Berechne die Steigung $m .$
Berechne den $y$ -Achsenabschnitt $t$ .
Stelle die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ auf.
Gegeben ist die Gerade $g_{2} : y = 3 x - 3$ .
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Punkt $C (1,5 | 1,5)$ auf dieser Geraden
liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Überprüfen, ob der Punkt $C$ auf $g_{2}$ liegt.
Einsetzen der Koordinaten des Punktes $C$ in die Geradengleichung:
$g_{2} : y = 3 x - 3$
$y = 3 \cdot 1,5 - 3$
$y = 4,5 - 3$
$y = 1,5 \Rightarrow C$ liegt auf der Geraden $g_{2}$ .
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Setzte die Koordinaten des Punkts C in die Funktionsgleichung von $g_{2}$ ein.
Die Gerade $g_{3}$ verläuft durch den Punkt $D (3 | - 2)$ und steht senkrecht auf der
Geraden $g_{2} .$
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}$ .
Da $g_{3}$ senkrecht auf $g_{2}$ steht, gilt für die Steigung $m_{3}$ der Geraden $g_{3}$ :
$m_{2} \cdot m_{3} = - 1$
$m_{2} = 3$
ermitteln von $m_{3}$
$3 \cdot m_{3} = - 1 \Rightarrow m_{3} = - \frac{1}{3}$
Einsetzen der Koordinaten des Punktes $C$ in die allgemeine Geradengleichung:
$- 2 = - \frac{1}{3} \cdot 3 + t_{3}$
$t_{3} = - 2 + 1 \Rightarrow t_{3} = - 1$
Die Geradengleichung der Geraden $g_{3}$ lautet dann:
$g_{3} : y = - \frac{1}{3} x - 1$
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Bestimme die Steigung $m$ .
Ermittle den $y$ Achsenabschnitt.
Stelle die Funktionsgleichung auf.
Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts $N_{4}$ der
Geraden $g_{4} : y = - x - 1$ mit der $x$ -Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichungen
Berechnen der $x$ -Koordinate des Schnittpunkts $N_{4}$ .
$g_{4} : y = - x - 1$

setze $y = 0$
$0 = - x - 1$
$x = - 1$
Die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts $N_{4}$ ist dann:
$x = - 1$

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Setze $y = 0$ und berechne $x$ .
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Geraden $g_{2}$ und g $_{4}$ und geben Sie $S$ an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Geraden $g_{2}$ und $g_{4}$ .
$g_{2} : y = 3 x - 3$
$g_{4} : y = - x - 1$

Gleichsetzen der Geradengleichungen
↓
$3 x - 3$ $=$ $- x - 1$ $+ x$
↓
addieren
$4 x - 3$ $=$ $- 1$ $+ 3$
↓
subtrahieren
$4 x$ $=$ $2$ $: 4$
↓
dividieren
$x$ $=$ $0,5$
Einsetzen des $x$ -Wertes in z. B. $g_{2}$ (du kannst den x-Wert auch in $g_{4}$ einsetzen}
und berechnen von $y$ .
$y = 3 \cdot 0,5 - 3$
$y = 1,5 - 3$
$y = - 1,5$
Die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ sind dann:
$S (0,5 | - 1,5$
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Setze $g_{2} = g_{4}$
Berechne $x$
Setze $x$ in die Geradengleichung von $g_{2}$ oder $g_{4}$ ein und berechne $y$ .
Die Geraden $g_{5} : y = \frac{3}{7} x - 3$ und $g_{6} : y = \frac{3}{7} x - 7$ haben keinen gemeinsamen Punkt.
Verändern Sie genau eine Zahl in einer der beiden Funktionsgleichungen so,
dass die beiden Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Verändern einer Zahl in einer der beiden Funktionsgleichungen so, dass die beiden Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben.
$g_{5} : y = \frac{3}{7} x - 3$
$g_{6} : y = \frac{3}{7} x - 7$
Ändern der Steigung der Geraden $g_{6}$ :
z. B.
$g_{6} : y = 4 x - 7$
Hinweis:
Du kannst auch die $y$ -Achsenabschnitte gleichsetzen, so dass gilt: $t_{5} = t_{6}$ .
Die Geraden liegen dann aufeinander und haben unendlich viele Punkte gemeinsam.
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Die Geraden $g_{5}$ und $g_{6}$ sind parallel, da $m_{5} = m_{6}$ und $t_{5} \neq t_{6} .$
Verändere die Steigung $m$ einer der Geradengleichungen.
Zeichnen Sie die Geraden $g_{2}$ und $g_{4}$ in ein Koordinatensystem mit der
Längeneinheit $1 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Einzeichnen der Geraden $g_{2}$ und $g_{4}$ in ein Koordinatensystem.
Die Zeichnung ist nicht maßtreu.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Gleichsetzen der Geradengleichungen
	↓
$3 x - 3$	$=$	$- x - 1$	$+ x$
	↓	addieren
$4 x - 3$	$=$	$- 1$	$+ 3$
	↓	subtrahieren
$4 x$	$=$	$2$	$: 4$
	↓	dividieren
$x$	$=$	$0,5$

Ermitteln der Funktionsgleichung der Geraden g1

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Überprüfen, ob der Punkt C auf g2 liegt.

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Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Geraden g3.

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Berechnen der x-Koordinate des Schnittpunkts N4.

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Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts S der Geraden g2 und g4.

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Verändern einer Zahl in einer der beiden Funktionsgleichungen so, dass die beiden Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben.

Hinweis:

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Einzeichnen der Geraden g2 und g4 in ein Koordinatensystem.

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Ermitteln der Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$

Überprüfen, ob der Punkt $C$ auf $g_{2}$ liegt.

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{3}$ .

Berechnen der $x$ -Koordinate des Schnittpunkts $N_{4}$ .

Ermitteln der Koordinaten des Schnittpunkts $S$ der Geraden $g_{2}$ und $g_{4}$ .

Einzeichnen der Geraden $g_{2}$ und $g_{4}$ in ein Koordinatensystem.