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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 m$ . Die Wasseroberfläche liegt $20 m$ unterhalb der Fahrbahn.
Abbildung 1
Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10 m$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die $x$ -Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die $y$ -Achse entlang der Symmetrieachse.
Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $r (x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 - x)} - \frac{253}{100}$ beschrieben.
1. Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640 m$ lang ist. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640 m$ lang ist
  Gegeben: Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm $r (x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 - x)} - \frac{253}{100}$ beschrieben.
  Berechne die Nullstelle von $r$ :
  $0 = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 - x)} - \frac{253}{100}$
  Für $x = 32$ ist $e^{\frac{1}{11} (32 - 32)} = e^{0} = 1$ und damit ist der Term $\frac{253}{100} \cdot 1 - \frac{253}{100}$ gleich null.
  Die $y$ -Achse verläuft entlang der Symmetrieachse der Brücke.
  Daher ist die Brückenlänge gleich $2 \cdot 32 \cdot 10 = 640$ (eine Längeneinheit entspricht $10 m$ in der Realität).
  Die Fahrbahn der Brücke ist insgesamt $640 m$ lang.
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  Berechne die Nullstelle von $r$ .
  Beachte die Symmetrie und die angegebene Längeneinheit.
2. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden.
  Geben Sie einen passenden Term $l (x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgraphen spiegeln
  Gib einen passenden Term $l (x)$ an
  Wegen der Symmetrie muss $r$ an der y-Achse gespiegelt werden:
  $l (x) = r (- x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 + x)} - \frac{253}{100}$
  Gib das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt
  Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 m$ .
  Die Gesamtlänge der Brücke ist $640 m$ . Der linke und der rechte Abschnitt der Brücke sind zusammen $(640 - 400) m = 240 m$ lang.
  Ein Abschnitt der Brücke hat demnach eine Länge von $120 m$ bzw. $12 LE$ .
  Der linke Abschnitt der Brücke reicht also von $- 32$ bis $- 32 + 12 = - 20$ .
  Das Intervall, in dem der Term $l (x)$ das Abspannseil darstellt, ist $- 32 \leq x \leq - 20$ .
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  Teil 1
  Wegen der Symmetrie muss $r$ an der y-Achse gespiegelt werden.
  Teil 2
  Die Gesamtlänge der Brücke ist $640 m$ .
  Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 m$ .
  Berechne die Länge des linken Abschnitts der Brücke in $LE$ .
  Beachte, die Brücke beginnt bei $x = - 32$ .
3. Berechnen Sie die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche
  Berechne $r (20)$ :
  $r (20) \approx 5,00$ (das sind wieder $LE$ )
  Die Wasseroberfläche liegt $20 m$ unterhalb der Fahrbahn.
  Deshalb beträgt die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche ungefähr $5 \cdot 10 m + 20 m = 70 m$ .
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  Berechne $r (20)$ .
  Beachte die Längeneinheit und dass die Wasseroberfläche $20 m$ unterhalb der Fahrbahn liegt.
4. Weisen Sie nach: $r^{'} (x) = - \frac{23}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 - x)}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kettenregel
  Weise nach: $r^{'} (x) = - \frac{23}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 - x)}$
  Berechne $r^{'} (x)$ mit der Kettenregel: $r^{'} (x) = \frac{253}{100} \cdot (- \frac{1}{11} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}) = - \frac{23}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} \cdot (32 - x)}$ .
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  Berechne $r^{'} (x)$ mit der Kettenregel.
5. Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $- 0,7$ und $0,7$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $- 0,7$ und $0,7$ liegt
  Die Steigung an der Stelle $20$ beträgt: $r^{'} (20) = - \frac{23}{100} \cdot e^{\frac{12}{11}} \approx - 0,68$ .
  Der Wert liegt zwischen $- 0,7$ und $0,7$ .
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  Berechne $r^{'} (20)$ und prüfe, ob der Wert im angegebenen Bereich liegt.
6. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück.
  Ermitteln Sie dessen Inhalt in der Realität. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Ermittele dessen Inhalt in der Realität
  Die Fläche wird im Modell durch $x = 20$ (Position des Pfeilers) und die Nullstelle bei $x = 32$ (Ende des Abspannseils) begrenzt.
  Berechne $A = \int_{20}^{32} r (x) d x$ :
  Es ist $A = \int_{20}^{32} r (x) d x = \frac{253}{100} \cdot (11 \cdot e^{\frac{12}{11}} - 23) \approx 24,66 FE$ .
  Eine Längeneinheit sind $10 m$ und eine Flächeneinheit sind $100 m^{2}$ .
  Der Flächeninhalt beträgt demnach etwa $24,66 \cdot 100 = 2466 m^{2}$ .
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  Berechne $A = \int_{20}^{32} r (x) d x$ .
  Beachte: Eine Längeneinheit sind $10 m$ und eine Flächeneinheit sind $100 m^{2}$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die folgende Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 m$ . Die Wasseroberfläche liegt $20 m$ unterhalb der Fahrbahn.
Abbildung 1
Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10 m$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.
Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm $s (x) = {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot (x^{4} + 2560 x^{2}) + \frac{125}{256}$ beschrieben.
1. Begründen Sie, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
  Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist
  Gegeben ist $s (x) = {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot (x^{4} + 2560 x^{2}) + \frac{125}{256}$ .
  Die Funktion $s$ ist eine ganzrationale Funktion, der Funktionsterm enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. $s$ ist symmetrisch zur y-Achse
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  Betrachte die Potenzen von $x$ .
2. Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40 m$ und einen Höhenunterschied von $5 m$ .
  Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist
  Gegeben: Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40 m = 4 L E$ und einen Höhenunterschied von $5 m = 0,5 L E$ .
  Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0,5 L E$ betragen.
  Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $s (x) - s (x - 4) = 0,5$ .
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  Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40 m = 4 L E$ und einen Höhenunterschied von $5 m = 0,5 L E$ .
  Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0,5 L E$ betragen.
  Stelle die entsprechende Gleichung auf.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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Aufgabe 1

Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang ist

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Gib einen passenden Term l(x) an

Gib das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt

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Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche

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Weise nach: r′(x)=−23100⋅e111(32−x)

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Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen −0,7 und 0,7 liegt

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Ermittele dessen Inhalt in der Realität

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Aufgabe 2

Begründe, dass der Term von s damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist

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Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist

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Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640 m$ lang ist

Gib einen passenden Term $l (x)$ an

Weise nach: $r^{'} (x) = - \frac{23}{100} \cdot e^{\frac{1}{11} (32 - x)}$

Untersuche rechnerisch, ob die Steigung, mit der das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft, zwischen $- 0,7$ und $0,7$ liegt

Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist