Teil B- Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Geraden $g_{1}$ , $g_{2}$ und $g_{3}$ sowie die Punkte $A (- 2 | 2)$

und $C (6 | 4)$ .

Die Gerade $g_{1}$ verläuft parallel zur $x$ -Achse und durch den Punkt $A$ .

Die Gerade $g_{2}$ verläuft durch die Punkte $A$ und $C$ .

Die Gerade $g_{3}$ schneidet $g_{2}$ im Punkt $C$ und steht senkrecht auf $g_{2}$ .

Zeichnen Sie die Geraden $g_{1}$ , $g_{2}$ und $g_{3}$ in ein Koordinatensystem mit
der Längeneinheit $1 cm$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
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Markiere die Punkte $A$ und $C$
Zeichne die Geraden ein wie in der Aufgabenstellung beschrieben
Berechnen Sie den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $C$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Die Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten kann man aus dem Satz des Pythagoras bilden. Der Artikel dazu ist beim Grundwissen verlinkt.
Um den Abstand zwischen $A$ und $C$ zu berechnen, setzt man einfach ihre Koordinaten in die Formel ein:
$d (A, B) $
$=$ $\sqrt{(x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2}}$
$=$ $\sqrt{(6 - (- 2))^{2} + (4 - 2)^{2}}$
$=$ $\sqrt{8^{2} + 2^{2}}$
$=$ $\sqrt{64 + 4}$
$=$ $\sqrt{68}$
$=$ $\sqrt{17 \cdot 4}$
$=$ $2 \cdot \sqrt{17}$
$\approx$ $8,25$
Die Punkte $A$ und $C$ haben einen Abstand von ca. $8,25 cm$ .
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Geben Sie die Funktionsgleichung der Geraden $g_{1}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Die Steigung
Da die Funktion $g_{1}$ linear ist, ist ihr Graph eine Gerade. Diese verläuft parallel zur x-Achse und hat somit die Steigung $m = 0$ .
Der y-Achsenabschnitt
Die Gerade schneidet den Punkt $A (- 2 | 2)$ , und da sie parallel zur x-Achse verläuft, liegt ihr y-Achsenabschnitt auch auf der Höhe $y = 2$ . Der y-Achsenabschnitt ist also $t = 2$ .
Die Funktionsgleichung
Mithilfe von der Steigung und dem y-Achsenabschnitt kann man jetzt die Funktionsgleichung aufstellen:
$\begin{array}{l} y = m \cdot x + t \\ \Rightarrow y = 0 \cdot x + 2 \\ \Rightarrow y = 2 \end{array}$
Die Funktion hat also die Formel $g_{1} (x) = 2$ .
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Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{2}$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
Die Steigung
Die Steigung lässt sich mithilfe der Punkte $A$ und $B$ berechnen, da $g_{2}$ durch beide Punkte verläuft.
$m = \frac{y_{C} - y_{A}}{x_{C} - x_{A}} = \frac{4 - 2}{6 - (- 2)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Die Gerade hat also eine Steigung von $m = \frac{1}{4}$ .
Der y-Achsenabschnitt
Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzt man einen der beiden Punkte und die Steigung in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}{l} y = m \cdot x + t \\ \Rightarrow 2 = \frac{1}{4} \cdot (- 2) + t \end{array}$
$y$ $=$ $m \cdot x + t$
↓
$A$ und $m$ einsetzen
$2$ $=$ $\frac{1}{4} \cdot (- 2) + t$
$2$ $=$ $- 0,5 + t$ $+ 0,5$
$2,5$ $=$ $t$
Die Gerade schneidet also die y-Achse bei $t = 2,5$ .
Die Funktionsgleichung
Die Funktion $g_{2}$ hat die Funktionsgleichung $g_{2} (x) = \frac{1}{4} \cdot x + 2,5$ .
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Berechne die Steigung der Funktion mithilfe der Punkte $A$ und $C$
Setze $A$ oder $C$ und die Steigung in die Gleichung ein und löse nach dem y-Achsenabschnitt auf
Setze die Steigung und den y-Achsenabschnitt in die Funktionsgleichung ein
Die Gerade $g_{4}$ mit der Funktionsgleichung $g_{4}$ : $\frac{1}{2} y + 1 - 3 x = 0$ schneidet die
Gerade $g_{5}$ : $y = - 0,5 x + 4,5$ im Punkt $D$ .
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $D .$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Die x-Koordinate von $D$
Um die Koordinaten des Punktes D zu ermitteln, berechnet man zuerst die x-Koordinate.
Dafür stellt man zuerst die Funktionsgleichung $g_{4}$ nach $y$ um:
$\frac{1}{2} y + 1 - 3 x$ $=$ $0$ $- 1 + 3 x$
$\frac{1}{2} y$ $=$ $3 x - 1$ $\cdot 2$
$y$ $=$ $6 x - 2$
$\Rightarrow g_{4} (x) = 6 x - 2$
Die y-Koordinate von $D$
Jetzt setzt man die beiden Funktionsterme gleich und löst nach $x$ auf:
$6 x - 2$ $=$ $- 0,5 x + 4,5$ $+ 0,5 x$
$6,5 x - 2$ $=$ $4,5$ $+ 2$
$6,5 x$ $=$ $6,5$ $: 6,5$
$x$ $=$ $1$
Jetzt setzt man die x-Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, um die y-Koordinate zu berechnen:
$g_{4} (1) = 6 \cdot 1 - 2 = 4$
Der Punkt $D$ hat also die Koordinaten $(1 | 4)$ .
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Stelle $g_{4}$ nach $y$ um
Setze die beiden Funktionsterme gleich
Löse nach $x$ auf
Berechne mithilfe von $x$ auch die y-Koordinate

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

	$d (A, B) $
$=$	$\sqrt{(x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2}}$
$=$	$\sqrt{(6 - (- 2))^{2} + (4 - 2)^{2}}$
$=$	$\sqrt{8^{2} + 2^{2}}$
$=$	$\sqrt{64 + 4}$
$=$	$\sqrt{68}$
$=$	$\sqrt{17 \cdot 4}$
$=$	$2 \cdot \sqrt{17}$
$\approx$	$8,25$

$y$	$=$	$m \cdot x + t$
	↓	$A$ und $m$ einsetzen
$2$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot (- 2) + t$
$2$	$=$	$- 0,5 + t$	$+ 0,5$
$2,5$	$=$	$t$

$\frac{1}{2} y + 1 - 3 x$	$=$	$0$	$- 1 + 3 x$
$\frac{1}{2} y$	$=$	$3 x - 1$	$\cdot 2$
$y$	$=$	$6 x - 2$

$6 x - 2$	$=$	$- 0,5 x + 4,5$	$+ 0,5 x$
$6,5 x - 2$	$=$	$4,5$	$+ 2$
$6,5 x$	$=$	$6,5$	$: 6,5$
$x$	$=$	$1$

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Die Steigung

Der y-Achsenabschnitt

Die Funktionsgleichung

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Die Steigung

Der y-Achsenabschnitt

Die Funktionsgleichung

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Die x-Koordinate von D

Die y-Koordinate von D

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Die x-Koordinate von $D$

Die y-Koordinate von $D$