Nachweis, dass das tägliche Wachstum $30\mathrm{\%}30\backslash \; \backslash \%$ beträgt.

Folgende Größen sind bekannt:

Grundwert $\text{G}=100\backslash text\{G\}=100$

Prozentwert $\text{W}=13-10=3\backslash text\{W\}=13-10=3$

Berechnen des Prozentsatzes:

Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:

$\mathrm{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{G}}}\Rightarrow \mathrm{p}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}\backslash mathrm\{p=\backslash dfrac\{W\}\{G\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; p=\backslash dfrac\{3\}\{10\}=0\{,\}3\}$

Der Zuwachs der Fruchtfliegen beträgt dann:

$\mathrm{0,3}\cdot 100=30\mathrm{\%}\backslash hspace\{40mm\}0\{,\}3\backslash cdot\; 100=30\backslash \; \backslash \%$

Berechnen der Anzahl an Fruchtfliegen nach 30 Tagen.

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{\mathrm{x}}\backslash mathrm\{f(x)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{x\}\}$

einsetzen von $3030$ für $\text{x}\backslash text\{x\}$

$\mathrm{f}(30)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{30}\backslash mathrm\{f(30)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{30\}\}$

$\mathrm{f}(30)=10\cdot \mathrm{2619,996}\backslash mathrm\{f(30)=10\; \backslash cdot\; 2619\{,\}996\}$

$\mathrm{f}(30)\approx 26200\backslash mathrm\{f(30)\backslash approx\; 26200\}$

Nach $3030$ Tagen sind in Box $\text{A}\backslash text\{A\}$ ca. $2620026\; 200$ Fruchtfliegen.

Da die Anzahl der Fruchtfliegen nach $3030$ Tagen ca. $2620026\backslash \; 200$ beträgt, kann also erst nach mehr als $3030$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ sein.

Jetzt kannst du systematisch ausprobieren, indem du für $\text{x}\backslash text\{x\}$ die Werte $\mathrm{31,32},\dots 31\{,\}32,\dots$ in $\mathrm{f}(\mathrm{x})\backslash mathrm\{f(x)\}$ einsetzt und berechnest, wann das erste Mal die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ ist.

Mit dem Taschenrechner berechnet erhälst du dann :

$\mathrm{f}(35)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{35}=97278,\dots \backslash mathrm\{f(35)=10\backslash cdot\; 1\{,\}3^\{35\}\; =\; 97\; \backslash \; 278,\backslash ldots\}$

$\mathrm{f}(36)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{36}=126462,\dots \backslash mathrm\{f(36)=10\backslash cdot\; 1\{,\}3^\{36\}\; =\; 126\; \backslash \; 462,\backslash ldots\}$

Also ist nach $3636$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $100000100\backslash \; 000$.

Damit sind erstmals nach $\mathbf{36}\backslash mathbf\{36\}$ Tagen mehr als $100000100\backslash \; 000$ Fruchtfliegen

in Zuchtbox $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$.

Du musst hier auf $3636$ aufrunden und nicht auf $3535$ abrunden, da erst ab ungefähr $\mathrm{35,1}35\{,\}1$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ ist.

Die Anzahl der Fruchtfliegen ist nach $3535$ Tagen immer noch kleiner als $100000100\; \backslash \; 000$, erst nach einem weiteren Tag, also nach $3636$ Tagen ist die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000100\backslash \; 000$ .

Begründung, dass die Graphen A und B durch die Funktionen f und g dargestellt werden.

$1.)1.)\backslash$Graph $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ verläuft durch die Punkte $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$ und $(3\mathrm{\mid }22)(3|22)$.

Für die Funktion $\text{f}\backslash text\{f\}$ gilt:

$\mathrm{f}(0)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^0\backslash mathrm\{f(0)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{0\}\}$

$\mathrm{f}(0)=10\backslash mathrm\{f(0)=10\}$

$\mathrm{f}(3)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^3\backslash mathrm\{f(3)=10\; \backslash cdot\; 1\{,\}3^\{3\}\}$

$\mathrm{f}(3)\approx 22\backslash mathrm\{f(3)\backslash approx22\}$

Graph $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ gehört zur Funktion $\text{f}\backslash text\{f\}$ .

$\backslash rule\{80mm\}\{0.5mm\}$

$2.)2.)\backslash$Graph $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ verläuft durch die Punkte $(0\mathrm{\mid }20)(0|20)$ und $(3\mathrm{\mid }29)(3|29)$.

Für die Funktion $\text{g}\backslash text\{g\}$ gilt:

$\mathrm{g}(0)=20\cdot {\mathrm{1,13}}^0\backslash mathrm\{g(0)=20\backslash cdot\; 1\{,\}13^0\}$

$\mathrm{g}(0)=20\backslash mathrm\{g(0)=20\}$

$\mathrm{g}(3)=20\cdot {\mathrm{1,13}}^3\backslash mathrm\{g(3)=20\backslash cdot\; 1\{,\}13^3\}$

$\mathrm{g}(3)\approx 29\backslash mathrm\{g(3)\backslash approx29\}$

Graph $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ gehört zur Funktion $\text{g}\backslash text\{g\}$ .

Bestimmung des Tages an dem in Zuchtboxen A und B gleich viele Fruchtfliegen enthalten sind.

Die Anzahl der Fruchtfliegen in den Zuchtboxen $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ wird von den Funktionen $\text{f}\backslash text\{f\}$und $\text{g}\backslash text\{g\}$ beschrieben. Sind also in beiden Zuchtboxen gleich viele Fliegen, so müssen sich die Graphen von $\text{f}\backslash text\{f\}$ und $\text{g}\backslash text\{g\}$, also Graphen $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ schneiden.

Aus der Abbildung erkennt man, dass der Schnittpunkt von Graph $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ und Graph $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ bei ca. $(5\mathrm{\mid }37)(5|37)$ liegt.

Nach ungefähr $\boxed{{\displaystyle 5}}\backslash boxed\{5\}$ Tagen sind in beiden Zuchtboxen ca. $\boxed{{\displaystyle 37}}\backslash boxed\{37\}$ Fruchtfliegen enthalten.

Näherungsweise Bestimmung der Funktionsgleichung $\text{h}\backslash text\{h\}$ für den Graphen $\text{C}\backslash text\{C\}$ .

Bestimmen von $\mathbf{\text{a}}\backslash textbf\{a\}$ aus Abbildung 3.

Graph $\text{C}\backslash text\{C\}$ verläuft durch $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$, somit ist $\mathrm{a}=10\backslash mathrm\{a\; =\; 10\}$

Abbildung 3 kann man entnehmen, dass Graph $\text{C}\backslash text\{C\}$ näherungsweise z. B. durch den Punkt $\text{p}\backslash text\{p\}$ $(10\mathrm{\mid }34)(10|34)$ verläuft.

Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes p in die Funktionsgleichung $\mathrm{h}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{q}}^{\mathrm{x}}\backslash mathrm\{h(x)=10\backslash cdot\; q^x\}$ erhalten wir:

$34=10\cdot {\mathrm{q}}^{10}\backslash mathrm\{34=10\backslash cdot\; q^\{10\}\}$

Die Funktionsgleichung $\text{h}\backslash text\{h\}$ lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{h}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{1,13}}^{\mathrm{x}}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{h(x)=10\backslash cdot\; 1\{,\}13^x\}\}$

Begründete Vermutung:

Das Experiment zu Graph $\text{C}\backslash text\{C\}$ wurde wegen $(0\mathrm{\mid }10)(0|10)$ wie bei Zuchtbox $\mathbf{\text{A}}\backslash textbf\{A\}$ mit $1010$ Fruchtfliegengestartet.

Da der Graph einen ähnlichen [Anmerkung: den gleichen] Wachstumsfaktor hat wie der Graph von Zuchtbox $\mathbf{\text{B}}\backslash textbf\{B\}$ (Funktion $\text{g}\backslash text\{g\}$), wurde das Experiment vermutlich ebenfalls bei einer kühleren Temperatur durchgeführt, z. B. im Keller.