Nachweis, dass das tägliche Wachstum $30\%$ beträgt.

Folgende Größen sind bekannt:

Grundwert $\text{G}=100$

Prozentwert $\text{W}=13-10=3$

Berechnen des Prozentsatzes:

Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:

$\mathrm{p}={\displaystyle \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{G}}}\Rightarrow \mathrm{p}={\displaystyle \frac{3}{10}}=\mathrm{0,3}$

Der Zuwachs der Fruchtfliegen beträgt dann:

$\mathrm{0,3}\cdot 100=30\%$

Berechnen der Anzahl an Fruchtfliegen nach 30 Tagen.

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{\mathrm{x}}$

einsetzen von $30$ für $\text{x}$

$\mathrm{f}(30)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{30}$

$\mathrm{f}(30)=10\cdot \mathrm{2619,996}$

$\mathrm{f}(30)\approx 26200$

Nach $30$ Tagen sind in Box $\text{A}$ ca. $26200$ Fruchtfliegen.

Da die Anzahl der Fruchtfliegen nach $30$ Tagen ca. $26200$ beträgt, kann also erst nach mehr als $30$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000$ sein.

Jetzt kannst du systematisch ausprobieren, indem du für $\text{x}$ die Werte $\mathrm{31,32},\dots$ in $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ einsetzt und berechnest, wann das erste Mal die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000$ ist.

Mit dem Taschenrechner berechnet erhälst du dann :

$\mathrm{f}(35)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{35}=97278,\dots$

$\mathrm{f}(36)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^{36}=126462,\dots$

Also ist nach $36$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen erstmals größer als $100000$.

Damit sind erstmals nach $\mathrm{𝟑𝟔}$ Tagen mehr als $100000$ Fruchtfliegen

in Zuchtbox $\text{𝐀}$.

Du musst hier auf $36$ aufrunden und nicht auf $35$ abrunden, da erst ab ungefähr $\mathrm{35,1}$ Tagen die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000$ ist.

Die Anzahl der Fruchtfliegen ist nach $35$ Tagen immer noch kleiner als $100000$, erst nach einem weiteren Tag, also nach $36$ Tagen ist die Anzahl der Fruchtfliegen größer als $100000$ .

Begründung, dass die Graphen A und B durch die Funktionen f und g dargestellt werden.

$1.)$Graph $\text{𝐀}$ verläuft durch die Punkte $(0|10)$ und $(3|22)$.

Für die Funktion $\text{f}$ gilt:

$\mathrm{f}(0)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^0$

$\mathrm{f}(0)=10$

$\mathrm{f}(3)=10\cdot {\mathrm{1,3}}^3$

$\mathrm{f}(3)\approx 22$

Graph $\text{𝐀}$ gehört zur Funktion $\text{f}$ .

$2.)$Graph $\text{𝐁}$ verläuft durch die Punkte $(0|20)$ und $(3|29)$.

Für die Funktion $\text{g}$ gilt:

$\mathrm{g}(0)=20\cdot {\mathrm{1,13}}^0$

$\mathrm{g}(0)=20$

$\mathrm{g}(3)=20\cdot {\mathrm{1,13}}^3$

$\mathrm{g}(3)\approx 29$

Graph $\text{𝐁}$ gehört zur Funktion $\text{g}$ .

Bestimmung des Tages an dem in Zuchtboxen A und B gleich viele Fruchtfliegen enthalten sind.

Die Anzahl der Fruchtfliegen in den Zuchtboxen $\text{𝐀}$ und $\text{𝐁}$ wird von den Funktionen $\text{f}$und $\text{g}$ beschrieben. Sind also in beiden Zuchtboxen gleich viele Fliegen, so müssen sich die Graphen von $\text{f}$ und $\text{g}$, also Graphen $\text{𝐀}$ und $\text{𝐁}$ schneiden.

Aus der Abbildung erkennt man, dass der Schnittpunkt von Graph $\text{𝐀}$ und Graph $\text{𝐁}$ bei ca. $(5|37)$ liegt.

Nach ungefähr $5$ Tagen sind in beiden Zuchtboxen ca. $37$ Fruchtfliegen enthalten.

Näherungsweise Bestimmung der Funktionsgleichung $\text{h}$ für den Graphen $\text{C}$ .

Bestimmen von $\text{𝐚}$ aus Abbildung 3.

Graph $\text{C}$ verläuft durch $(0|10)$, somit ist $\mathrm{a}=10$

Abbildung 3 kann man entnehmen, dass Graph $\text{C}$ näherungsweise z. B. durch den Punkt $\text{p}$ $(10|34)$ verläuft.

Durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes p in die Funktionsgleichung $\mathrm{h}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{q}}^{\mathrm{x}}$ erhalten wir:

$34=10\cdot {\mathrm{q}}^{10}$

Die Funktionsgleichung $\text{h}$ lautet dann:

$\mathrm{h}(\mathrm{x})=10\cdot {\mathrm{1,13}}^{\mathrm{x}}$

Begründete Vermutung:

Das Experiment zu Graph $\text{C}$ wurde wegen $(0|10)$ wie bei Zuchtbox $\text{𝐀}$ mit $10$ Fruchtfliegengestartet.

Da der Graph einen ähnlichen [Anmerkung: den gleichen] Wachstumsfaktor hat wie der Graph von Zuchtbox $\text{𝐁}$ (Funktion $\text{g}$), wurde das Experiment vermutlich ebenfalls bei einer kühleren Temperatur durchgeführt, z. B. im Keller.