Berechnen der Kantenlänge des Würfels.

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Würfels lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\mathrm{a}\cdot \mathrm{a}\cdot \mathrm{a}={\mathrm{a}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Würfel\}=a\backslash cdot\; a\backslash cdot\; a=a^3\}$

Wir lösen die Formel nach $\text{a}\backslash text\{a\}$ auf.

$\mathrm{a}=\sqrt[3]{{\mathrm{V}}_{\mathrm{W}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}}}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt[3]\{V\_\{Würfel\}\}\}$

$\mathrm{a}=\sqrt[3]{100}\mathrm{c}\mathrm{m}\Rightarrow \mathrm{a}\approx \mathrm{4,64}\text{ cm}\backslash mathrm\{a=\backslash sqrt[3]\{100\}\backslash \; \backslash \; cm\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; a\backslash approx\; 4\{,\}64\backslash cm\}$

Berechnen des Durchmessers der Kugel.

Von der Kugel sind folgende Größen bekannt,

die Masse der Kugel $\mathrm{m}=550\mathrm{g}\backslash mathrm\{m=550\backslash \; g\}$ und die Masse von $1{\text{ cm}}^{3}1\backslash cm^3$ Messing $=\mathrm{8,73}\text{ g}=8\{,\}73\backslash \; \backslash text\{g\}$

d.h. die Dichte von Messing beträgt: $\rho =\mathrm{8,73}{\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}\backslash mathrm\{\backslash rho=8\{,\}73\backslash dfrac\{g\}\{cm^3\}\}$

Damit wir den Durchmesser der Kugel berechnen können, müssen wir zuerst das Volumen der Kugel mithilfe der bekannten Größen berechnen.

Die Formel zur Berechnung der Dichte lautet:

$\rho ={\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}}\backslash mathrm\{\backslash rho=\backslash dfrac\{m\}\{V\}\}$; wir lösen die Formel nach $\text{V}\backslash text\{V\}$ auf.

$\mathrm{V}={\displaystyle \frac{\mathrm{m}}{\rho }}\backslash mathrm\{V=\backslash dfrac\{m\}\{\backslash rho\}\}$; wir setzen die bekannten Größen ein und berechnen das Volumen der Kugel.

${\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\displaystyle \frac{550\cancel{\mathrm{g}}\cdot \mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}{\mathrm{8,73}\cancel{\mathrm{g}}}}\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}\approx 63\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{550\backslash \; \backslash cancel\{g\}\backslash cdot\; cm^3\}\{8\{,\}73\backslash \; \backslash cancel\{g\}\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; V\_\{Kugel\}\backslash approx63\backslash \; cm^3\}$

Jetzt können wir den Durchmesser der Kugel berechnen, wir lösen die Formel

$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{4}{3}\cdot {\mathrm{r}}^3\cdot \pi }}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{V\_\{Kugel\}=\backslash dfrac\{4\}\{3\}\backslash cdot\; r^3\backslash cdot\; \backslash pi\}\}$ nach $\text{r}\backslash text\{r\}$ auf.

$\mathrm{r}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot {\mathrm{V}}_{\mathrm{K}\mathrm{u}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}}{4\cdot \pi }}}\backslash mathrm\{r=\backslash sqrt[3]\{\backslash dfrac\{3\backslash cdot\; V\_\{Kugel\}\}\{4\backslash cdot\; \backslash pi\}\}\}$

$\mathrm{r}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot 63\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}{4\cdot \pi }}}\Rightarrow \mathrm{r}\approx \mathrm{2,47}\mathrm{c}\mathrm{m}\backslash mathrm\{r=\backslash sqrt[3]\{\backslash dfrac\{3\backslash cdot\; 63\backslash \; cm^3\}\{4\backslash cdot\; \backslash pi\}\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; r\backslash approx2\{,\}47\backslash \; cm\}$

Der Durchmesser der Kugel beträgt dann ungefähr $\mathrm{4,94}\text{ cm}4\{,\}94\backslash cm$.

Die Kugel passt also nicht in den Würfel, da der Durchmesser der Kugel größer ist, als die Kantenlänge des Würfels.