(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X\le 2)$

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx \mathrm{0,03}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,23}=\mathrm{0,38}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\le 2)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,38}$.

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$

Es gilt:

$P(X\ge 4)\approx \mathrm{0,35}$.

Dann ist $P(X\le 3)=1-P(X\ge 4)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}$.

Man erhält dann:

$P(X=3)=P(X\le 3)-P(X\le 2)=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,38}=\mathrm{0,27}$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,27}$.

Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründe Deine Zuordnung

Gegeben sind $n=10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_1=\mathrm{0,2}$ und $p_2=\mathrm{0,4}$, sowie $n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}$.

Der Erwartungswert ist $\mu =n\cdot p$.

Dann folgt:

${\mu }_1=n\cdot p_1=10\cdot \mathrm{0,2}=2$

Bei Abbildung 4-2 ist $\mu =2$, d.h. $p_1=\mathrm{0,2}$ gehört zu Histogramm II.

Nun müssen noch die Histogramme I und III zugeordnet werden.

Es gilt: ${\mu }_2=n\cdot p_2=10\cdot \mathrm{0,4}=4$ und ${\mu }_3=n\cdot p_3=40\cdot \mathrm{0,1}=4$

Die beiden Erwartungswerte ${\mu }_2$ und ${\mu }_3$ sind gleich groß, d.h. der Erwartungswert kann hier nicht zur Unterscheidung herangezogen werden. Deshalb wird als zweite Unterscheidungsmöglichkeit die Standardabweichung betrachtet.

Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=10$ und $p_2=\mathrm{0,4}$ ist kleiner als die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}$.

Es gilt:

$n=10;p_2=\mathrm{0,4}:\sigma =\sqrt{10\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=\sqrt{\mathrm{2,4}}$

$n=40;p_3=\mathrm{0,1}$ : $\sigma =\sqrt{40\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}}=\sqrt{\mathrm{3,6}}$.

Da bei Histogramm III eine kleinere Streuung vorliegt als bei Histogramm I, gehört Histogramm III zu $n=10$ und $p_2=\mathrm{0,4}$ und Histogramm I zu $n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}$.