(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X\le 2)P(X\; \backslash leq\; 2)$

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx \mathrm{0,03}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,23}=\mathrm{0,38}P(X\; \backslash leq\; 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\backslash approx\; 0\{,\}03+0\{,\}12+0\{,\}23=0\{,\}38$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X\le 2)P(X\; \backslash leq\; 2)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,38}0\{,\}38$.

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)P(X=3)$

Es gilt:

$P(X\ge 4)\approx \mathrm{0,35}P(X\; \backslash geq\; 4)\; \backslash approx\; 0\{,\}35$.

Dann ist $P(X\le 3)=1-P(X\ge 4)=1-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,65}P(X\; \backslash leq\; 3)=1-P(X\; \backslash geq\; 4)=1-0\{,\}35=0\{,\}65$.

Man erhält dann:

$P(X=3)=P(X\le 3)-P(X\le 2)=\mathrm{0,65}-\mathrm{0,38}=\mathrm{0,27}P(X=3)=P(X\; \backslash leq\; 3)-P(X\; \backslash leq\; 2)=0\{,\}65-0\{,\}38=0\{,\}27$

Die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)P(X\; =\; 3)$ beträgt näherungsweise $\mathrm{0,27}0\{,\}27$.

Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $nn$ und $pp$ zu und begründe Deine Zuordnung

Gegeben sind $n=10n=10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_1=\mathrm{0,2}p\_\{1\}=0\{,\}2$ und $p_2=\mathrm{0,4}p\_\{2\}=0\{,\}4$, sowie $n=40n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}p\_\{3\}=0\{,\}1$.

Der Erwartungswert ist $\mu =n\cdot p\backslash mu=n\backslash cdot\; p$.

Dann folgt:

${\mu }_1=n\cdot p_1=10\cdot \mathrm{0,2}=2\backslash mu\_1=n\backslash cdot\; p\_1=10\backslash cdot\; 0\{,\}2=2$

Bei Abbildung 4-2 ist $\mu =2\backslash mu=2$, d.h. $p_1=\mathrm{0,2}p\_1=0\{,\}2$ gehört zu Histogramm II.

Nun müssen noch die Histogramme I und III zugeordnet werden.

Es gilt: ${\mu }_2=n\cdot p_2=10\cdot \mathrm{0,4}=4\backslash mu\_2=n\backslash cdot\; p\_2=10\backslash cdot\; 0\{,\}4=4$ und ${\mu }_3=n\cdot p_3=40\cdot \mathrm{0,1}=4\backslash mu\_3=n\backslash cdot\; p\_3=40\backslash cdot\; 0\{,\}1=4$

Die beiden Erwartungswerte ${\mu }_2\backslash mu\_2$ und ${\mu }_3\backslash mu\_3$ sind gleich groß, d.h. der Erwartungswert kann hier nicht zur Unterscheidung herangezogen werden. Deshalb wird als zweite Unterscheidungsmöglichkeit die Standardabweichung betrachtet.

Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=10n=10$ und $p_2=\mathrm{0,4}p\_2=0\{,\}4$ ist kleiner als die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n=40n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}p\_3=0\{,\}1$.

Es gilt:

$n=10;p_2=\mathrm{0,4}:\sigma =\sqrt{10\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,6}}=\sqrt{\mathrm{2,4}}n=10;\backslash ;p\_2=0\{,\}4:\; \backslash sigma=\backslash sqrt\{10\; \backslash cdot\; 0\{,\}4\; \backslash cdot\; 0\{,\}6\}=\backslash sqrt\{2\{,\}4\}$

$n=40;p_3=\mathrm{0,1}n=40;\backslash ;p\_3=0\{,\}1$ : $\sigma =\sqrt{40\cdot \mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,9}}=\sqrt{\mathrm{3,6}}\backslash sigma=\backslash sqrt\{40\; \backslash cdot\; 0\{,\}1\; \backslash cdot\; 0\{,\}9\}=\backslash sqrt\{3\{,\}6\}$.

Da bei Histogramm III eine kleinere Streuung vorliegt als bei Histogramm I, gehört Histogramm III zu $n=10n=10$ und $p_2=\mathrm{0,4}p\_2=0\{,\}4$ und Histogramm I zu $n=40n=40$ und $p_3=\mathrm{0,1}p\_3=0\{,\}1$.