A2

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Aufgabe 1

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{3}-3 \cdot x^{2}+\frac{3}{2} \cdot x+5, x \in \mathbb{R}$ , und $g(x)=-3 \cdot x+5, x \in \mathbb{R}$ .

Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen. (4 P)

Der Punkt $P(3 \mid f(3))$ ist einer dieser gemeinsamen Punkte.
Zeigen Sie: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ . (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$
Gegeben sind $P(3 \mid f(3))$ , $f(x)=\frac{1}{2} \cdot x^{3}-3 \cdot x^{2}+\frac{3}{2} \cdot x+5$ und $g(x)=-3 \cdot x+5$ .
$f'(x)=\dfrac{3}{2}\cdot x^2-6\cdot x+\dfrac{3}{2}$
Berechne $f'(3)=\dfrac{3}{2}\cdot 3^2-6\cdot 3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{2}-18+\dfrac{3}{2}=-3=m_g$
Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$ .
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Berechne $f^{'} (3)$ und vergleiche mit der Steigung der Geraden.
Beachte, der Punkt $P$ ist einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ .

2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^{2}\right)}$ .
1. Geben Sie die Wertemenge von $f$ an. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wertemenge
  Gib die Wertemenge von $f$ an
  Der kleinste Funktionswert ist $f (0) = e^{0} = 1$ .
  $\Rightarrow\;$ Wertemenge: $y \in \mathbb{R}, y \geq 1$ .
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  Kleinster Funktionswert ist $f (0) = e^{0} = 1$ .
2. Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ von $f$ gilt $f^{\prime}(x)=2 x \cdot f(x)$ .
  Die Graphen von $f$ und $f^{\prime}$ schneiden sich in einem Punkt.
  Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
  Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt
  Bekannt ist: Für die erste Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ von $f$ gilt $f^{\prime}(x)=2 x \cdot f(x)$ .
  Die Graphen von $f$ und $f^{\prime}$ schneiden sich in einem Punkt.
  Setze $f(x)=f'(x)\;\Rightarrow\;f(x)=2x\cdot f(x)\xrightarrow{f(x)\neq 0}1=2x\;\Rightarrow\;x=\dfrac{1}{2}.$
  Die Steigung des Graphen von $f$ in dem Punkt $\left(\dfrac{1}{2}\Bigg|f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)$ ist dann:
  $f^{\prime}(\frac{1}{2})=2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot f(\frac{1}{2})=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{e}^{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ .
  Die Steigung im Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $f^{\prime}$ ist $\mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ .
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  Setze $f (x) = f^{'} (x)$ und bestimme $x$ .
  Setze den berechneten $x$ -Wert in $f^{'} (x)$ ein.
3
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ und zweiter Ableitungsfunktion $f^{''}$ hat folgende Eigenschaften:
$f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle.
Es gilt $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ und $f^{\prime \prime}\left(x_{2}\right) \neq 0$ .
$f^{\prime}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ .
Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_{1}, x_{2}$ und $x_{3}$ .
Abbildung 1
1. Begründen Sie, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
  Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist
  Da $f^{\prime}$ an der Stelle $x_{3}$ ein Minimum hat (und $f^{\prime}$ nicht konstant sein kann, da $f$ laut Aufgabenstellung keine lineare Funktion ist), ist der Grad von $f^{\prime}$ mindestens $2$ und damit der Grad von $f$ mindestens $3$ .
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  $f^{\prime}$ hat an der Stelle $x_{3}$ ein Minimum. Daher ist der Grad von $f^{\prime}$ mindestens $2$ .
  Was folgt daraus für den Grad von $f$ ?
2. Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
  Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$
  Bekannt ist:
  $f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle. $\;\Rightarrow\;$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_{1}$ die $x$ -Achse.
  Es gilt $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ und $f^{\prime \prime}\left(x_{2}\right) \neq 0$ . $\;\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{2}$ ein Extremum.
  $f^{\prime}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ . $\;\Rightarrow\;$ der Graph von $f$ hat bei $x_{3}$ einen Wendepunkt.
  Mögliche Lösung:
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  Bekannt ist:
  $f$ hat bei $x_{1}$ eine Nullstelle. $\;\Rightarrow\;$ der Graph von $f$ schneidet bei $x_{1}$ die $x$ -Achse.
  Es gilt $f^{\prime}\left(x_{2}\right)=0$ und $f^{\prime \prime}\left(x_{2}\right) \neq 0$ . $\;\Rightarrow$ der Graph von $f$ hat bei $x_{2}$ ein Extremum.
  $f^{\prime}$ hat ein Minimum an der Stelle $x_{3}$ . $\;\Rightarrow\;$ der Graph von $f$ hat bei $x_{3}$ einen Wendepunkt.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto-x^{2}+2 a x$ mit $a \in \mathbb{R}, a>1$ .
Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
1. Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat
  Bekannt ist: Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
  Berechne das Integral $\displaystyle\int_{0}^{2 a} f(x) \mathrm{d} x=\left[-\frac{1}{3} x^{3}+a x^{2}\right]_{0}^{2 a}=-\frac{8}{3} a^{3}+4 a^{3}=\frac{4}{3} a^{3}$ .
  Damit hat das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ .
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  Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
  Berechne das Integral $\displaystyle\int_{0}^{2 a} f(x) \mathrm{d} x$ .
2. Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen
  (vgl. Abbildung 2).
  Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.
  Bestimmen Sie den Wert von $a$ . (3 P)
  Abbildung 2
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Bestimmen Sie den Wert von $a$
  Das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, hat den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ .
  Weiterhin ist $f(x)=-x^{2}+2 a x$ und die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2 a$ .
  Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x = a$ .
  Berechne $y_{HP}=f(a)=-a^2+2\cdot a\cdot a=a^2$ $\;\Rightarrow\;$ $HP\left(a \mid a^{2}\right)$ ist der Hochpunkt des Graphen von $f$ .
  Eine Quadratseite hat also die Länge $a^{2}$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(a^{2})^{2}$ .
  Demnach gilt für $a > 1$ :
  $\frac{4}{3} a^{3}=(a^2)^2=a^4\;\Rightarrow\;a=\dfrac{4}{3}$
  Der Wert von $a$ ist $\dfrac{4}{3}$ .
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  Aufgrund der Symmetrie einer Parabel liegt die Maximalstelle von $f$ genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, d.h. an der Stelle $x = a$ .
  Berechne $y_{HP}=f(a)$ .
  Eine Quadratseite hat also die Länge $y_{HP}$ und der Flächeninhalt des Quadrates ist dann $(y_{HP})^2$ .
  Löse die Gleichung $\frac{4}{3} a^{3}=(y_{HP})^2$ nach $a$ auf.
5
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$ . Für den Erwartungswert $μ \mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ gilt: $\mu=60, \sigma=6$ .
1. Berechnen Sie $p$ und $n$ . (2 P + 1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Berechne $p$ und $n$
  Gegeben sind $\mu=n \cdot p=60$ und $\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot(1-p)}=6$
  $\Rightarrow\;\sqrt{60 \cdot(1-p)}=6 \Leftrightarrow 60 \cdot(1-p)=36$
  $\Rightarrow\;1-p=\dfrac{36}{60}=0{,}6\;\Rightarrow\;p=0{,}4$
  Dann folgt:
  $n=\dfrac{60}{p}=\dfrac{60}{0{,}4}=150$
  Die Werte sind $n = 150$ und $p = 0,4$ .
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  Gegeben sind $\mu=n \cdot p=60$ und $\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot(1-p)}=\sqrt{60\cdot(1-p)}=6$ .
  Löse die Gleichung nach $p$ auf und berechne dann $n$ .
2. In einer Urne befinden sich $4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. Aus der Urne wird mit Zurücklegen $150$ -mal eine Kugel gezogen.
  (i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$ -mal eine schwarze Kugel gezogen wird. (1 P)
  (ii) Beschreiben Sie ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von
  $0{,}4^{5} \cdot\binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}$ . (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  (i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$ -mal eine schwarze Kugel gezogen wird
  Gegeben sind $p_{\text{schwarz}}=0{,}4$ , $n = 150$ und $k = 60$ .
  Es ist $P_{150 ; 0{,}4}(X=60)=\binom{150}{60} \cdot 0{,}4^{60} \cdot 0{,}6^{90}$ .
  (ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}4^{5} \cdot\binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}$
  Beispiel: Von den $150$ gezogenen Kugeln sind die ersten fünf schwarz. Von den weiteren $145$ gezogenen Kugeln sind genau $55$ schwarz.
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  (i)
  Gib den Term für $P_{150 ; 0{,}4}(X=60)$ an.
  (ii)
  Gegeben sind $p_{\text{schwarz}}=0{,}4$ , $n = 150$ und $k = 60$ .
  Der erste Faktor des gegebenen Terms ist $0{,}4^{5}$ . Welche Bedeutung hat dieser Faktor?
  Der zweite Faktor ist der Term $\binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}$ . Welche Bedeutung hat dieser Term?
6
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n = 10$ .
Das unvollständige Histogramm der Verteilung ist in Abbildung 3 dargestellt.
Es gilt: $P(X \geq 4) \approx 0{,}35$ .
Abbildung 3
1. (i) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$ . (1 P)
  (ii) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$ . (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  (i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$
  $P(X \leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx 0{,}03+0{,}12+0{,}23=0{,}38$
  Die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$ beträgt näherungsweise $0,38$ .
  (ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$
  Es gilt:
  $P(X \geq 4) \approx 0{,}35$ .
  Dann ist $P(X \leq 3)=1-P(X \geq 4)=1-0{,}35=0{,}65$ .
  Man erhält dann:
  $P(X=3)=P(X \leq 3)-P(X \leq 2)=0{,}65-0{,}38=0{,}27$
  Die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$ beträgt näherungsweise $0,27$ .
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  (i)
  Lies die Wahrscheinlichkeiten $P (X = 0), P (X = 1)$ und $P (X = 2)$ ab und addiere die Werte.
  (ii)
  Gegeben ist: $P(X \geq 4) \approx 0{,}35$ .
  $P(X \leq 3)=1-P(X \geq 4)$ und $P(X=3)=P(X \leq 3)-P(X \leq 2)$ .
2. Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 4-1 bis 4-3 zeigen Ausschnitte aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A, B$ und $C$ .
  Zu den Zufallsgrößen gehören die folgenden Werte für die Parameter $n$ und $p$ :
  $\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}& n=10 \text { und } p=0{,}2 \\& n=10 \text { und } p=0{,}4 \\& n=40 \text { und } p=0{,}1\end{aligned}$
  Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründen Sie Ihre Zuordnung. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründe Deine Zuordnung
  Gegeben sind $n = 10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_{1}=0{,}2$ und $p_{2}=0{,}4$ , sowie $n = 40$ und $p_{3}=0{,}1$ .
  Der Erwartungswert ist $\mu=n\cdot p$ .
  Dann folgt:
  $\mu_1=n\cdot p_1=10\cdot 0{,}2=2$
  Bei Abbildung 4-2 ist $\mu=2$ , d.h. $p_1=0{,}2$ gehört zu Histogramm II.
  Nun müssen noch die Histogramme I und III zugeordnet werden.
  Es gilt: $\mu_2=n\cdot p_2=10\cdot 0{,}4=4$ und $\mu_3=n\cdot p_3=40\cdot 0{,}1=4$
  Die beiden Erwartungswerte $\mu_2$ und $\mu_3$ sind gleich groß, d.h. der Erwartungswert kann hier nicht zur Unterscheidung herangezogen werden. Deshalb wird als zweite Unterscheidungsmöglichkeit die Standardabweichung betrachtet.
  Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n = 10$ und $p_2=0{,}4$ ist kleiner als die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit $n = 40$ und $p_3=0{,}1$ .
  Es gilt:
  $n=10;\;p_2=0{,}4: \sigma=\sqrt{10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6}=\sqrt{2{,}4}$
  $n=40;\;p_3=0{,}1$ : $\sigma=\sqrt{40 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9}=\sqrt{3{,}6}$ .
  Da bei Histogramm III eine kleinere Streuung vorliegt als bei Histogramm I, gehört Histogramm III zu $n = 10$ und $p_2=0{,}4$ und Histogramm I zu $n = 40$ und $p_3=0{,}1$ .
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  Gegeben sind $n = 10$ und die Wahrscheinlichkeiten $p_{1}=0{,}2$ und $p_{2}=0{,}4$ , sowie $n = 40$ und $p_{3}=0{,}1$ .
  Berechne $\mu=n\cdot p=10\cdot 0{,}2=2$ . Welches Histogramm passt zu $\mu=2$ ?
  Bei den anderen beiden Histogrammen ist $μ \mu$ jeweils gleich groß. Berechne hier die Standardabweichung $\sigma$ und vergleiche dann.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot x^{3}-3 \cdot x^{2}+\frac{3}{2} \cdot x+5$	$=$	$\displaystyle -3 \cdot x+5$	$\displaystyle -5+3x$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot x^{3}-3 \cdot x^{2}+\frac{9}{2} \cdot x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammere $\dfrac{1}{2}x$ aus.
$\displaystyle \dfrac{1}{2}x\cdot(x^2-6x+9)$	$=$	$\displaystyle 0$

A2

Aufgabe 1

Berechne die Stellen, an denen die Graphen von fff und ggg gemeinsame Punkte besitzen

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Zeige: Der Graph von ggg ist die Tangente an den Graphen von fff im Punkt PPP

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Aufgabe 2

Gib die Wertemenge von fff an

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Bestimme die Steigung des Graphen von fff in diesem Punkt

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Aufgabe 3

Begründe, dass der Grad von fff mindestens 333 ist

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Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von fff

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Aufgabe 4

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von fff mit der x-Achse einschließt, den Inhalt 43a3\frac{4}{3} a^{3}34​a3 hat

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Bestimmen Sie den Wert von aaa

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Aufgabe 5

Berechne ppp und nnn

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(i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau 606060-mal eine schwarze Kugel gezogen wird

(ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von0,45⋅(14555)⋅0,455⋅0,6900{,}4^{5} \cdot\binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}0,45⋅(55145​)⋅0,455⋅0,690

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Aufgabe 6

(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X≤2)P(X \leq 2)P(X≤2)

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X=3)P(X=3)P(X=3)

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Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von nnn und ppp zu und begründe Deine Zuordnung

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Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Gib die Wertemenge von $f$ an

Bestimme die Steigung des Graphen von $f$ in diesem Punkt

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist

Skizziere in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von $f$

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3} a^{3}$ hat

Bestimmen Sie den Wert von $a$

Berechne $p$ und $n$

(i) Gib einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau $60$ -mal eine schwarze Kugel gezogen wird

(ii) Beschreibe ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}4^{5} \cdot\binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}$

(i) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 2)$

(ii) Ermittele näherungsweise die Wahrscheinlichkeit $P (X = 3)$

Ordne den Histogrammen I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründe Deine Zuordnung