A2
🎓 Prüfungsbereich für Nordrhein-Westfalen
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Aufgabe 1
Gegeben sind die Funktionen und mit , und .
Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von und gemeinsame Punkte besitzen. (4 P)
Der Punkt ist einer dieser gemeinsamen Punkte.
Zeigen Sie: Der Graph von ist die Tangente an den Graphen von im Punkt . (1 P)
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Aufgabe 2
Betrachtet wird die in definierte Funktion mit .
Geben Sie die Wertemenge von an. (2 P)
Für die erste Ableitungsfunktion von gilt .
Die Graphen von und schneiden sich in einem Punkt.
Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von in diesem Punkt. (3 P)
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Aufgabe 3
Eine in definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion mit erster Ableitungsfunktion und zweiter Ableitungsfunktion hat folgende Eigenschaften:
hat bei eine Nullstelle.
Es gilt und .
hat ein Minimum an der Stelle .
Abbildung 1 zeigt die Positionen von und .
Abbildung 1
Begründen Sie, dass der Grad von mindestens ist. (2 P)
Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen von . (3 P)
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Aufgabe 4
Gegeben ist die in definierte Funktion mit .
Die Nullstellen von sind und .
Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von mit der x-Achse einschließt, den Inhalt hat. (2 P)
Der Hochpunkt des Graphen von liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen
(vgl. Abbildung 2).
Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von mit der -Achse einschließt, überein.
Bestimmen Sie den Wert von . (3 P)
Abbildung 2
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Aufgabe 5
Die Zufallsgröße ist binomialverteilt mit den Parametern und . Für den Erwartungswert und die Standardabweichung von gilt: .
Berechnen Sie und . (2 P + 1 P)
In einer Urne befinden sich schwarze und weiße Kugeln. Aus der Urne wird mit Zurücklegen -mal eine Kugel gezogen.
(i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau -mal eine schwarze Kugel gezogen wird. (1 P)
(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von
. (1 P)
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Aufgabe 6
Eine Zufallsgröße ist binomialverteilt mit .
Das unvollständige Histogramm der Verteilung ist in Abbildung 3 dargestellt.
Es gilt: .
Abbildung 3
(i) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit . (1 P)
(ii) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit . (1 P)
Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 4-1 bis 4-3 zeigen Ausschnitte aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen und .
Zu den Zufallsgrößen gehören die folgenden Werte für die Parameter und :
Ordnen Sie den Histogrammen I bis III die passenden Werte von und zu und begründen Sie Ihre Zuordnung. (3 P)
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