Berechne die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5$.

Setze $f(x)=g(x)$ und löse die Gleichung.

Löse die Gleichung ${\displaystyle \frac{1}{2}}x\cdot (x^2-6x+9)=0$ mit dem Satz vom Nullprodukt.

$\Rightarrow x=0\vee x^2-6x+9=0$

Die quadratische Gleichung kann mit einer binomischen Formel geschrieben werden:

$x^2-6x+9=0\Rightarrow (x-3{)}^2=0\Rightarrow x=3$

Die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen, sind $x=0$ oder $x=3$.

Zeige: Der Graph von $g$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$

Gegeben sind $P(3|f(3))$, $f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5$ und $g(x)=-3\cdot x+5$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot x^2-6\cdot x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Berechne $f^{\prime }(3)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot 3^2-6\cdot 3+{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{27}{2}}-18+{\displaystyle \frac{3}{2}}=-3=m_g$

Der Graph von $g$ ist eine Gerade. Im gemeinsamen Punkt $P$ haben diese Gerade und der Graph von $f$ die gleiche Steigung. Daher ist der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt $P$.