B3 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $K$ mit den Eckpunkten $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3}$ und $B_{4}$ hat folgende Eigenschaften:

$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ist ein Rechteck in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene, $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ ist ein Rechteck in einer zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene parallelen Ebene. Die Vierecke $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ und $A_{1} A_{4} B_{4} B_{1}$ liegen in Ebenen, die parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene verlaufen.

Sechs der Eckpunkte sind gegeben durch

$A_{1} (50 | - 5 | 0)$ , $A_{2} (50 | 5 | 0)$ , $A_{3} (\frac{\sqrt{75}}{3} | 5 | 0)$ , $A_{4} (\frac{\sqrt{75}}{3} | - 5 | 0)$ , $B_{2} (10 | 5 | 30)$ , $B_{3} (\frac{\sqrt{75}}{3} | 5 | 30)$ .

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Übersicht – Abiturkurs Geometrie
Gib die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an
$x_{1}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{1}$ -Koordinate von $B_{2} = 10$ .
$x_{2}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{2}$ -Koordinate von $A_{4} = - 5$ .
$x_{3}$ -Koordinate von $B_{1}$ entspricht der $x_{3}$ -Koordinate von $B_{2} = 30$ .
Die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ sind $B_{1} (10 | - 5 | 30)$ .
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Suche passende, gegebene Vektoren.
Begründen Sie, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$ .
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trapez
Begründe, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist
Die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ist ein Trapez mit $A_{2} A_{3} ‖ B_{2} B_{3}$ , wie anhand der $x_{2}$ - und $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte ablesbar ist. (Siehe auch die Berechnung der entsprechenden Vektoren in nächsten Abschnitt.)

Berechne das Volumen des Körpers $K$
Berechne die Vektoren und ihre Beträge:
$\vec{A_{2} A_{3}} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} - 50 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $| A_{2} A_{3} | = 50 - \frac{\sqrt{75}}{3} \approx 47,11$
$\vec{B_{2} B_{3}} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 30 \end{array}) - (\begin{array}{c} 10 \\ 5 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} - 10 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ und $| B_{2} B_{3} | = 10 - \frac{\sqrt{75}}{3} \approx 7,11$
$\vec{A_{3} B_{3}} = (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 30 \end{array}) - (\begin{array}{c} \frac{\sqrt{75}}{3} \\ 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array})$ und $| A_{3} B_{3} | = 30$
$\vec{A_{1} A_{2}} = (\begin{array}{c} 50 \\ 5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 50 \\ - 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 10 \\ 0 \end{array})$ und $| A_{1} A_{2} | = 10$
Es gilt: $V_{Körper} = A_{Grundfläche} \cdot h$
$V_{Körper} = A_{Trapez} \cdot h = \frac{(| A_{2} A_{3} | + | B_{2} B_{3} |) \cdot | A_{3} B_{3} |}{2} \cdot | A_{1} A_{2} |$
$V_{Körper} = \frac{(50 - \frac{\sqrt{75}}{3} + 10 - \frac{\sqrt{75}}{3}) \cdot 30}{2} \cdot 10 \approx 8134$
Das Volumen des Körpers $K$ beträgt rund $8134 VE$ .
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Teil 1
Es gilt: $A_{2} A_{3} ‖ B_{2} B_{3}$ , wie anhand der $x_{2}$ - und $x_{3}$ -Koordinaten der Punkte ablesbar ist.
Teil 2
Berechne die entsprechenden Vektoren und ihre Beträge.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten des Punktes B1 an

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Begründe, dass die Seitenfläche A2A3B3B2 ein Trapez ist

Berechne das Volumen des Körpers K

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Gib die Koordinaten des Punktes $B_{1}$ an

Begründe, dass die Seitenfläche $A_{2} A_{3} B_{3} B_{2}$ ein Trapez ist

Berechne das Volumen des Körpers $K$