Teil 2 Stochastik I: mit Hilfsmitteln

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Im Juni und Juli 2024 findet die Fußball-Europameisterschaft in Deutschland statt. Ein Tourismusunternehmen bietet für fußballbegeisterte Kunden diverse Möglichkeiten, an der Veranstaltung in Deutschland teilzunehmen. Im Nachfolgenden werden nur Kunden betrachtet, welche sich für die Fußball-Europameisterschaft interessieren.
Fußballbegeisterte Kunden können bei dem Tourismusunternehmen Anreise ( $A$ ), Unterkunft ( $U$ ) und Eintritt zu einem Spiel ( $S$ ) buchen. $50 %$ aller Fans buchen die Anreise. Von diesen buchen $80 %$ gleichzeitig eine Unterkunft. Von den Fans, die eigenständig anreisen, buchen $60 %$ eine Unterkunft. Unabhängig davon, ob die Anreise bzw. die Unterkunft beim Tourismusunternehmen gebucht oder nicht gebucht wurde, bucht ein fester Anteil aller Fans den Eintritt für den Besuch eines Spieles. Von allen Fans entscheiden sich $36 %$ für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt.
Das Buchungsverhalten eines beliebig herausgegriffenen fußballbegeisterten Kunden des Tourismusunternehmens wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
1. Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
  $[$ Teilergebnis: $P ({(A; U; S)}) = 0,01]$ (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments
  Das ist bekannt: "Von allen Fans entscheiden sich $36 %$ für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt." $\Rightarrow P ({(A; U; S)}) = 0,36$
  Weiterhin ist $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,8 \cdot x$
  $\Rightarrow 0,36 = 0,5 \cdot 0,8 \cdot x = 0,4 \cdot x \Rightarrow x = \frac{0,36}{0,4} = 0,9$ und $1 - x = 1 - 0,9 = 0,1$
  Mit diesem Ergebnis erhält man die folgenden $8$ Wahrscheinlichkeiten:
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,8 \cdot 0,9 = 0,36$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,8 \cdot 0,1 = 0,04$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,2 \cdot 0,9 = 0,09$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,2 \cdot 0,1 = 0,01$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,6 \cdot 0,9 = 0,27$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,6 \cdot 0,1 = 0,03$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,9 = 0,18$
  $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,4 \cdot 0,1 = 0,02$
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  Das ist bekannt: "Von allen Fans entscheiden sich $36 %$ für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt." $\Rightarrow P ({(A; U; S)})$ ist damit gegeben.
  Weiterhin ist $P ({(A; U; S)}) = 0,5 \cdot 0,8 \cdot x$ . Löse nach $x$ auf.
  Erstelle das Baumdiagramm und gibt die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments an.
2. Gegeben sind folgende Ereignisse:
  $E_{1}$ : „Ein zufällig ausgewählter Kunde bucht die Anreise oder den Eintritt zu einem Spiel.“
  $E_{2}$ : ${(A; U; S); (A; U; S); (A; U; S)}$
  $E_{3}$ : $E_{1} \cup E_{2}$
  Ermitteln Sie eine aufzählende Mengenschreibweise für $E_{3}$ . (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  Ermittle eine aufzählende Mengenschreibweise für $E_{3}$
  Zu $E_{1}$ gehören die folgenden Ereignisse:
  $E_{1} = {(A; U; S), (A; U; S), (A; U; S), (A; U; S), (A; U; S), (A; U; S)}$
  Dann ist $E_{1} = {(A; U; S), (A; U; S)}$ .
  Gegeben ist $E_{2}$ : ${(A; U; S); (A; U; S); (A; U; S)}$ .
  Es folgt $E_{1} \cup E_{2} = {(A; U; S), (A; U; S), (A; U; S), (A; U; S), (A; U; S)}$ .
  Dann erhält man $E_{3} : E_{1} \cup E_{2} = {(A; U; S), (A; U; S), (A; U; S)}$
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  Bestimme die zu $E_{1}$ gehören Ereignisse und dann $E_{1}$ .
  Gegeben ist $E_{2}$ : ${(A; U; S); (A; U; S); (A; U; S)}$ .
  Gib nun $E_{1} \cup E_{2}$ an und schließlich $E_{3} : E_{1} \cup E_{2}$ .
2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Ein Hotel, welches zur Europameisterschaft ausschließlich mit Fans belegt ist, bietet neben den gewöhnlichen Services zwei zusätzliche Dienste an, welche die Gäste wählen können. Diese sind ein Fahrdienst zum Spiel im örtlichen Stadion ( $F$ ) sowie ein Besuch des Trainingsgeländes der ansässigen Nationalmannschaft ( $N$ ). Von früheren Großereignissen ist bekannt, dass drei von fünf Gästen den Fahrdienst wählen. Insgesamt entscheiden sich $50 %$ aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste. Außerdem gilt: $P_{F} (N) = 0,25$ .
Bestimmen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt $400$ Gäste des
Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Bestimme mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt $400$ Gäste des Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen
Gegeben: "Drei von fünf Gästen wählen den Fahrdienst. Insgesamt entscheiden sich $50 %$ aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste. Außerdem gilt: $P_{F} (N) = 0,25$ ."
Drei von fünf Gästen wählen den Fahrdienst $\Rightarrow P (F) = \frac{3}{5} = 0,6$
$50 %$ aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste $\Rightarrow P (F \cap N) + P (F \cap N) = 0,5$
$P_{F} (N) = 0,25$
$P_{F} (N) = \frac{P (F \cap N)}{P (F)} \Rightarrow P (F \cap N) = P_{F} (N) \cdot P (F) = 0,25 \cdot 0,6 = 0,15$
$F$
$F$
$N$
$0,15$
$0,05$
$0,2$
$N$
$0,45$
$0,35$
$0,8$
$0,6$
$0,4$
$1$
Es ist $P (F) = 0,6 \Rightarrow P (F) = 1 - 0,6 = 0,4$ .
Weiterhin gilt: $P (F \cap N) = 0,15 \Rightarrow P (F \cap N) = 0,6 - 0,15 = 0,45$
Es ist $P (F \cap N) + P (F \cap N) = 0,5 \Rightarrow P (F \cap N) = 0,5 - 0,45 = 0,05$ .
$P (N) = 0,15 + 0,05 = 0,2 \Rightarrow P (N) = 1 - 0,2 = 0,8$
Schließlich ist $P (F \cap N) = 0,4 - 0,05 = 0,35$ .
Anzahl der Gäste, die keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen: $N = 400 \cdot P (F \cap N) = 400 \cdot 0,35 = 140$ .
3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Bei der Zusammenstellung der sechs Gruppen für die Gruppenphase wurden zunächst die vermeintlich sechs stärksten Mannschaften zufällig per Los auf die sechs Gruppen verteilt.
Diese sechs Mannschaften werden als „Gruppenköpfe“ bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gruppenkopf unter den $16$ Mannschaften, die ins Achtelfinale einziehen, vertreten ist, beträgt $p = 0,8$ .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
$E_{4}$ : „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“ (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenereignis
Berechne die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
$E_{4}$ : „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“
Bekannt ist: "Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gruppenkopf unter den $16$ Mannschaften, die ins Achtelfinale einziehen, vertreten ist, beträgt $p = 0,8$ ."
$P (E_{4}) = 1 - P ("kein Gruppenkopf kommt ins Achtelfinale") = 1 - {0,8}^{6} = 0,737856$
Die Wahrscheinlichkeit, dass nicht alle Gruppenköpfe das Achtelfinale erreichen, beträgt 0,737856.
Berechne $P (E_{4}) = 1 - P ("kein Gruppenkopf kommt ins Achtelfinale")$ .
4
Die Aufgabe 4 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Ein Fanshop vor einem Stadion bietet den Fans genau die folgenden drei Artikel zum Kauf:
Im Folgenden werden nur Fans betrachtet, die mindestens einen der obigen drei Artikel kaufen, wobei kein Fan denselben Artikel mehrfach kauft.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Ausgaben in Euro eines Fans im Fanshop.
Die folgende Tabelle zeigt die unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufallsgröße $X$ .
1. Vervollständigen Sie die Tabelle, indem Sie die fehlenden Zufallswerte $x$ von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile eintragen. Berechnen Sie anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert
  Vervollständige die Tabelle, indem Du die fehlenden Zufallswerte $x$ von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile einträgst
  Fahne: F; Hose: H; Trikot: T
  Gegenstand
  F
  H
  F+H
  T
  T+F
  T+H
  T+F+H
  Kosten in €
  10
  50
  60
  100
  110
  150
  160
  Damit erhält man die folgende ausgefüllte Tabelle:
  Berechne anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist
  Berechne den Erwartungswert:
  $E (X) = 10 \cdot 0,1 + 50 \cdot 0,2 + 60 \cdot 0,2 + 100 \cdot 0,15 + 110 \cdot 0,05 + 150 \cdot 0,25 + 160 \cdot 0,05$
  $E (X) = 1 + 10 + 12 + 15 + 5,5 + 37,5 + 8 = 89$
  Bei $250$ Fans erhält man durchschnittliche Tageseinnahmen von $89 \cdot 250 = 22250 €$ .
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  Teil 1
  Überlege, welche Kosten möglich sind, wenn $1$ oder $2$ oder $3$ Artikel gekauft werden.
  Teil 2
  Berechne mit der ausgefüllten Tabelle den Erwartungswert $E (x)$ .
  Die zu erwartenden Einnahmen sind dann $250 \cdot E (x)$ .
2. Aufgrund der zunehmenden Anzahl an umweltbewussten Fans überlegt der Inhaber des Fanshops nur noch GREEN-Label zertifizierte Trikots und Hosen anzubieten. Er müsste dafür aber die Verkaufspreise dieser Artikel deutlich erhöhen. Ein befreundeter Geschäftsmann behauptet, dass erfahrungsgemäß mindestens $80 %$ der Fans den Preisanstieg akzeptieren würden und dadurch eine deutliche Gewinnsteigerung zu erwarten sei. Sollte dies der Fall sein, will der Inhaber des Fanshops die Umstellung wagen. Allerdings glaubt er, dass deren Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese).
  Um eine Entscheidung zu treffen, befragt er $100$ zufällig ausgewählte Fans, ob diese
  höhere Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte in Kauf nehmen würden.
  Entwickeln Sie für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$ . Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden. (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  Entwickle für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$
  Es ist $X =$ Anzahl der Fans, die den Preisanstieg akzeptieren würden
  $H_{0} : p \geq 0,80$
  $H_{1} : p < 0,80$ (linksseitiger Test) $n = 100, α = 0,05$
  $A = {0, . . . . . . ., k}$ und $A = {k + 1, . . . . . . ., 100}$
  $P (X \leq k) = F (100,0,80, k) \leq 0,05$
  Laut Tafelwerk (oder TR) gilt:
  $F (100,0,80,72) \approx 0,034 < 0,05$
  $F (100,0,80,73) \approx 0,0558 > 0,05$
  Also ist $k = 72$ und $A = {0, . . . . . . ., 72}, A = {73, . . . . . . ., 100}$
  Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden
  Wenn $75$ Kunden angegeben haben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden, wird die Nullhypothese beibehalten ( $75 \in A$ ).
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  Teil 1
  Es ist $X =$ Anzahl der Fans, die den Preisanstieg akzeptieren würden
  $H_{0} : p \geq 0,80$ ; $H_{1} : p < 0,80$ (linksseitiger Test) $n = 100, α = 0,05$
  $A = {0, . . . . . . ., k}$ und $A = {k + 1, . . . . . . ., 100}$
  Suche ein $k$ , sodass $P (X \leq k) \leq 0,05$
  Teil 2
  Liegt die Zahl $75$ im Annahme- oder Ablehnungsbereich?

	$F$	$F$
$N$	$0,15$	$0,05$	$0,2$
$N$	$0,45$	$0,35$	$0,8$
	$0,6$	$0,4$	$1$

Gegenstand	F	H	F+H	T	T+F	T+H	T+F+H
Kosten in €	10	50	60	100	110	150	160

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Stochastik I: mit Hilfsmitteln

Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments

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Ermittle eine aufzählende Mengenschreibweise für E3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt 400 Gäste des Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen

Berechne die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:

E4: „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“

Vervollständige die Tabelle, indem Du die fehlenden Zufallswerte x von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile einträgst

Berechne anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich 250 Fans an einem Spieltag zu rechnen ist

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Entwickle für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5%

Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn 75 Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle eine aufzählende Mengenschreibweise für $E_{3}$

Bestimme mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt $400$ Gäste des Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen

$E_{4}$ : „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“

Vervollständige die Tabelle, indem Du die fehlenden Zufallswerte $x$ von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile einträgst

Berechne anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist

Entwickle für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5 %$

Gib an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden