B5 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die folgende Aufgabe ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 m$ . Die Wasseroberfläche liegt $20 m$ unterhalb der Fahrbahn.

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10 m$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16 m$ .

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm $s (x) = {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot (x^{4} + 2560 x^{2}) + \frac{125}{256}$ beschrieben.

Begründen Sie, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie von Graphen
Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist
Gegeben ist $s (x) = {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot (x^{4} + 2560 x^{2}) + \frac{125}{256}$ .
Die Funktion $s$ ist eine ganzrationale Funktion, der Funktionsterm enthält nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten, d.h. $s$ ist symmetrisch zur y-Achse
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Betrachte die Potenzen von $x$ .
Zwei der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt haben eine Länge von jeweils $\frac{643061}{64000} m [\approx 10,00 m]$ .
Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = - 7,2$ und $x = 7,2$ befinden, d. h. $72 m$ links bzw. rechts der Brückenmitte.
Geben Sie außerdem an, an wievielter Position von der Brückenmitte aus sich diese Halteseile befinden. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = - 7,2$ und $x = 7,2$ befinden, d. h. $72$ m links bzw. rechts der Brückenmitte.
Es gilt: $s (- 7,2) = s (7,2) = {(\frac{1}{8})}^{6} \cdot ({7,2}^{4} + 2560 \cdot {7,2}^{2}) + \frac{125}{256}$ .
Also ist $s (7,2) = \frac{643061}{640000} \approx 1$ $[\approx 10,00 m]$
Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 m$ .
Durch die Halteseile wird der mittlere Brückenabschnitt in $25$ Teile unterteilt, d.h. ein Teil entspricht einem Abstand von $\frac{400 m}{25} = 16 m .$
Das Halteseil an der Stelle $x = 7,2$ befindet sich $72 m$ von der Mitte der Brücke entfernt.
Es gilt: $72 = 8 + 4 \cdot 16$
Das erste Halteseil ist $8 m$ von der Mitte entfernt, dann folgen $4$ Halteseile im Abstand von $16 m$ , d.h. es ist das insgesamt $5$ . Halteseil.
Entsprechend gilt das auch für $x = - 7,2$ .
Es handelt sich also um die fünften Halteseile rechts bzw. links der Brückenmitte.
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Berechne $s (- 7,2) = s (7,2)$ .
Durch die Halteseile wird der mittlere Brückenabschnitt in $25$ Teile unterteilt, d.h. ein Teil entspricht einem Abstand von $\frac{400 m}{25} = 16 m$ .
Überlege, das wievielte Halteseil befindet sich bei $72 m$ .
Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40 m$ und einen Höhenunterschied von $5 m$ .
Geben Sie eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist
Gegeben: Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40 m = 4 L E$ und einen Höhenunterschied von $5 m = 0,5 L E$ .
Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0,5 L E$ betragen.
Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $s (x) - s (x - 4) = 0,5$ .
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Zwei Punkte des Tragseils haben einen horizontalen Abstand von $40 m = 4 L E$ und einen Höhenunterschied von $5 m = 0,5 L E$ .
Die gesuchte Koordinate ist $x$ . Dann hat die zweite Koordinate wegen der Längeneinheit den Wert $x - 4$ und die Differenz der beiden Funktionswerte soll $0,5 L E$ betragen.
Stelle die entsprechende Gleichung auf.
Geben Sie die Bedeutung des Terms $(s (- 20 + 1,6 \cdot 1) + s (- 20 + 1,6 \cdot 2) + \dots + s (- 20 + 1,6 \cdot 23) + s (- 20 + 1,6 \cdot 24)) \cdot 10$
im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
Gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an und begründe Deine Angabe
Mit dem Term kann die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden.
Betrachtet man im Modell den mittleren Abschnitt ausgehend vom linken Pfeiler, so gibt der Term $s (- 20 + 1,6 \cdot 1)$ die Länge des ersten Halteseils rechts des Pfeilers an, der Term $s (- 20 + 1,6 \cdot 2)$ gibt die Länge des zweiten Halteseils an usw. Der Term $s (- 20 + 1,6 \cdot 23)$ gibt im Modell die Länge des $23$ . Halteseils und der Term letzte Halteseil vor dem rechten Pfeiler.
Durch Multiplikation mit dem Faktor $10$ erhält man die Länge in der Realität.
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Betrachtet man im Modell den mittleren Abschnitt ausgehend vom linken Pfeiler, so gibt der Term $s (- 20 + 1,6 \cdot 1)$ gibt die Länge des ersten Halteseils rechts des Pfeilers an.
Entsprechendes gilt auch für die anderen Terme, sodass insgesamt die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Brückenabschnitt berechnet werden kann.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Begründe, dass der Term von s damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist

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Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen x=−7,2 und x=7,2 befinden, d. h. 72 m links bzw. rechts der Brückenmitte.

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Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist

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Gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an und begründe Deine Angabe

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Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist

Zeige rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = - 7,2$ und $x = 7,2$ befinden, d. h. $72$ m links bzw. rechts der Brückenmitte.