Zeige rechnerisch: $f_k^{\prime }(x)=(-k\cdot x+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$

Gegeben ist $f_k(x)=\frac{1}{k}\cdot x\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$.

Mit der Produkt- und Kettenregel folgt:

$f_k^{\prime }(x)=\frac{1}{k}(1\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}+x(-k^2)\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x})$

$f_k^{\prime }(x)=\frac{1}{k}\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}(1-k^{2}x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$

Also ist $f_k^{\prime }(x)=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$.

Zeige, dass $\frac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist

Gegeben ist $f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}$.

Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle bei $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ ist $f_k^{\prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=0$.

Es ist $f_k^{\prime }=(-kx+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot x}$ (Aufgabe a).

Setze $x={\displaystyle \frac{1}{k^2}}$ ein: $f_k^{\prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=(-k\cdot \frac{1}{k^2}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k^2\cdot \frac{1}{k^2}}=(-\frac{1}{k}+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0\cdot {\mathrm{e}}^{-1}=0$ für alle $k\ne 0$.

Wegen $f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}\ne 0$ für alle $k\ne 0$ ist $\frac{1}{k^2}$ eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.

Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum besitzen

Für ein Minimum muss $f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)>0$ sein.

$\Rightarrow f_k^{\prime \prime }\left(\frac{1}{k^2}\right)=-k\cdot {\mathrm{e}}^{-1}>0\iff k<0$.

Damit besitzen genau die $f_k$ mit $k<0$ ein Minimum an der Extremstelle $\frac{1}{k^2}$.