B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Die Aufgabe 6 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $- 4 \leq x \leq 4,8$ die Funktion $f$ mit $f (x) = - \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2} + 1,2, x \in ℝ$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1 m$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion $h$ mit

$h (x) = u \cdot (- \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2}) + 1,2, x \in ℝ, mit u > 0$ .

Zeigen Sie, dass $h_{u}^{'} (x) = u \cdot f^{'} (x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_{u}^{'}$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f^{'}$ übereinstimmen. (1 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Begründe, dass $h^{'} (x) = u \cdot f^{'} (x)$ gilt
Gegeben ist $f (x) = - \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2} + 1,2$ und $h (x) = u \cdot (- \frac{1}{256} x^{4} + \frac{1}{8} x^{2}) + 1,2$ .
Dann ist $f^{'} (x) = - \frac{1}{64} x^{3} + \frac{1}{4} x$ .
Für $h^{'} (x)$ folgt: $h^{'} (x) = u \cdot (- \frac{1}{64} x^{3} + \frac{1}{4} x) = u \cdot f^{'} (x)$
Begründe, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_{u}^{'}$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f^{'}$ übereinstimmen
Da der Graph von $h_{u}^{'}$ durch eine Streckung in $y$ -Richtung mit einem positiven Streckfaktor $u > 0$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervorgeht, stimmen die Lage und die Art der Extremstellen von $h_{u}^{'}$ und $f^{'}$ überein.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Berechne die Ableitung von $h (x)$ und vergleiche mit der Ableitung von $f (x)$ .
Teil 2
Der Graph von $h_{u}^{'}$ geht durch eine Streckung in $y$ -Richtung mit einem positiven Streckfaktor $u > 0$ aus dem Graphen von $f^{'}$ hervor. Was bedeutet das für die Lage und Art der Extremstellen?
Ermitteln Sie den Wert von $u$ , bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat
Es ist $h^{'} (x) = u \cdot (- \frac{1}{64} x^{3} + \frac{1}{4} x)$ .
Berechne $h^{'} (4,8) = - 0,85$ .
$u \cdot (- \frac{1}{64} \cdot {4,8}^{3} + \frac{1}{4} \cdot 4,8)$ $=$ $- 0,85$
↓
Berechne den Term in der Klammer.
$u \cdot (- 0,528)$ $=$ $- 0,85$ $: (- 0,528)$
$u$ $\approx$ $1,610$
Für $u \approx 1,610$ hat diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Berechne $h^{'} (4,8) = - 0,85$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$u \cdot (- \frac{1}{64} \cdot {4,8}^{3} + \frac{1}{4} \cdot 4,8)$	$=$	$- 0,85$
	↓	Berechne den Term in der Klammer.
$u \cdot (- 0,528)$	$=$	$- 0,85$	$: (- 0,528)$
$u$	$\approx$	$1,610$

Aufgabe 6

Begründe, dass h′(x)=u⋅f′(x) gilt

Begründe, dass für jedes u>0 die Lage und Art der Extremstellen von hu′ mit der Lage und Art der Extremstellen von f′ übereinstimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle x=4,8 die Steigung m=−0,85 hat

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass $h^{'} (x) = u \cdot f^{'} (x)$ gilt

Begründe, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_{u}^{'}$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f^{'}$ übereinstimmen

Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat