B2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 6

Die Aufgabe 6 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Zur Modellierung der oberen Randlinie von Element E2 verwendet das Architekturbüro für $-4 \leq x \leq 4{,}8$ die Funktion $f$ mit $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}$ .

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem $1\;\mathrm{~m}$ in der Realität.

Siehe Abbildung 2:

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 vergleichbar gebaut werden, allerdings soll der Streckenverlauf in diesem Abschnitt steiler sein. Zur Modellierung dient hier eine Funktion $h$ mit

$h(x)=u \cdot\left(-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}\right)+1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text { mit } u>0$ .

Zeigen Sie, dass $h_{u}^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_{u}{ }^{\prime}$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f^{'}$ übereinstimmen. (1 P + 2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Begründe, dass $h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)$ gilt
Gegeben ist $f(x)=-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}+1{,}2$ und $h(x)=u \cdot\left(-\frac{1}{256} x^{4}+\frac{1}{8} x^{2}\right)+1{,}2$ .
Dann ist $f'(x)=-\dfrac{1}{64}x^3+\dfrac{1}{4}x$ .
Für $h^{'} (x)$ folgt: $h'(x)=u\cdot\left(-\frac{1}{64} x^{3}+\frac{1}{4} x\right)=u\cdot f'(x)$
Begründe, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_{u}{ }^{\prime}$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f^{'}$ übereinstimmen
Da der Graph von $h_{u}{ }^{\prime}$ durch eine Streckung in $y$ -Richtung mit einem positiven Streckfaktor $u > 0$ aus dem Graphen von $f^{\prime}$ hervorgeht, stimmen die Lage und die Art der Extremstellen von $h_{u}^{\prime}$ und $f^{\prime}$ überein.
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Teil 1
Berechne die Ableitung von $h (x)$ und vergleiche mit der Ableitung von $f (x)$ .
Teil 2
Der Graph von $h_{u}{ }^{\prime}$ geht durch eine Streckung in $y$ -Richtung mit einem positiven Streckfaktor $u > 0$ aus dem Graphen von $f^{\prime}$ hervor. Was bedeutet das für die Lage und Art der Extremstellen?

Ermitteln Sie den Wert von $u$ , bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat. (2 P)

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$\displaystyle u\cdot\left(-\frac{1}{64}\cdot 4{,}8^{3}+\frac{1}{4}\cdot 4{,}8\right)$	$=$	$\displaystyle -0{,}85$
	↓	Berechne den Term in der Klammer.
$\displaystyle u\cdot(-0{,}528)$	$=$	$\displaystyle -0{,}85$	$\displaystyle :(-0{,}528)$
$\displaystyle u$	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}610$

Aufgabe 6

Begründe, dass h′(x)=u⋅f′(x)h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)h′(x)=u⋅f′(x) gilt

Begründe, dass für jedes u>0u>0u>0 die Lage und Art der Extremstellen von hu′h_{u}{ }^{\prime}hu​′ mit der Lage und Art der Extremstellen von f′f'f′ übereinstimmen

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Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle x=4,8x=4{,}8x=4,8 die Steigung m=−0,85m=-0{,}85m=−0,85 hat

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Begründe, dass $h^{\prime}(x)=u \cdot f^{\prime}(x)$ gilt

Begründe, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_{u}{ }^{\prime}$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f^{'}$ übereinstimmen

Ermittele den Wert von u, bei dem diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4,8$ die Steigung $m = - 0,85$ hat