A2 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Eine Funktion $g$ ist gegeben durch die Gleichung

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 5, x \in ℝ$ .

Geben Sie eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung berechnen
Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an
Gegeben ist $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 6 x + 5$ :
$\Rightarrow$ $g^{'} (x) = x^{2} - x - 6$
Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ lautet $g^{'} (x) = x^{2} - x - 6$ .
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Berechne die 1. Ableitung.
Berechnen Sie die Extremstellen von $g$ und die Art der Extremstellen. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Berechne die Extremstellen von $g$
Die möglichen Extremstellen ergeben sich aus der notwendigen Bedingung:
$g^{'} (x) = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$
Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel:
$x_{1,2}$ $=$ $- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
↓
Setze $p = - 1$ und $q = - 6$ ein.
$=$ $- \frac{(- 1)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{(- 1)}{2})}^{2} - (- 6)}$
↓
Vereinfache.
$=$ $\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6}$
$=$ $\frac{1}{2} \pm \sqrt{6,25}$
$=$ $0,5 \pm 2,5$
$x_{1} = 0,5 - 2,5 = - 2$ und $x_{2} = 0,5 + 2,5 = 3$
Die Extremstellen von $g$ sind $x_{1} = - 2$ und $x_{2} = 3$ .
Berechne die Art der Extremstellen
Für Bestimmung der Art der Extremstellen kann entweder die 2. Ableitung verwenden werden oder es wird, so wie hier, das Vorzeichenwechselkriterium verwendet.
Mit $g^{'} (- 3) = (- 3)^{2} - (- 3) - 6 = 6 > 0$ und $g^{'} (0) = - 6 < 0$ folgt, dass bei $x = - 2$ ein lokales Maximum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $+ \mapsto -$ ).
Mit $g^{'} (0) = - 6 < 0$ und $g^{'} (4) = 4^{2} - 4 - 6 = 6 > 0$ folgt, dass bei $x = 3$ ein lokales Minimum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $- \mapsto +$ ).
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Teil 1
Setze $g^{'} (x) = 0$ und löse die quadratische Gleichung.
Teil 2
Für die Bestimmung der Art der Extrema benutze z.B. das Vorzeichenwechselkriterium.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

$x_{1,2}$	$=$	$- \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
	↓	Setze $p = - 1$ und $q = - 6$ ein.
	$=$	$- \frac{(- 1)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{(- 1)}{2})}^{2} - (- 6)}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6}$
	$=$	$\frac{1}{2} \pm \sqrt{6,25}$
	$=$	$0,5 \pm 2,5$

Aufgabe 1

Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von g an

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Berechne die Extremstellen von g

Berechne die Art der Extremstellen

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Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $g$ an

Berechne die Extremstellen von $g$