Gib eine Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $gg$ an

Gegeben ist $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-6x+5g(x)=\backslash frac\{1\}\{3\}\; x^\{3\}-\backslash frac\{1\}\{2\}\; x^\{2\}-6\; x+5$:

$\Rightarrow \backslash Rightarrow\backslash ;$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-x-6g\text{'}(x)=x^2-x-6$

Die Funktionsgleichung der ersten Ableitung von $gg$ lautet $g^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2-x-6g\text{'}(x)=x^2-x-6$.

Berechne die Extremstellen von $gg$

Die möglichen Extremstellen ergeben sich aus der notwendigen Bedingung:

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x^2-x-6=0g\text{'}(x)=0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-x-6=0$

Löse die Gleichung z.B. mit der pq-Formel:

$x_1=\mathrm{0,5}-\mathrm{2,5}=-2x\_1=0\{,\}5-2\{,\}5=-2$ und $x_2=\mathrm{0,5}+\mathrm{2,5}=3x\_2=0\{,\}5+2\{,\}5=3$

Die Extremstellen von $gg$ sind $x_1=-2x\_1=-2$ und $x_2=3x\_2\; =3$.

Berechne die Art der Extremstellen

Für Bestimmung der Art der Extremstellen kann entweder die 2. Ableitung verwenden werden oder es wird, so wie hier, das Vorzeichenwechselkriterium verwendet.

Mit $g^{\mathrm{\prime }}(-3)=(-3{)}^2-(-3)-6=6>0g^\{\backslash prime\}(-3)=(-3)^\{2\}-(-3)-6=6>0$ und folgt, dass bei $x=-2x=-2$ ein lokales Maximum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $+\mapsto -+\backslash mapsto\; -$).

Mit und $g^{\mathrm{\prime }}(4)=4^2-4-6=6>0g^\{\backslash prime\}(4)=4^\{2\}-4-6=6>0$ folgt, dass bei $x=3x=3$ ein lokales Minimum vorliegt (Vorzeichenwechsel von $-\mapsto +-\backslash mapsto\; +$).