Begründe, dass der Graph von $f_{2}f\_\{2\}$ symmetrisch bezüglich der y-Achse ist

Es ist $f_2(x)=x^4+(2-2)\cdot x^3-2\cdot x^2=x^4-2x^{2}f\_2(x)=x^\{4\}+(2-2)\; \backslash cdot\; x^\{3\}-2\; \backslash cdot\; x^\{2\}=x^4-2x^2$.

Der Funktionsterm von $f_{2}f\_2$ enthält nur Potenzen von $xx$ mit geraden Exponenten, d.h. der Graph von $f_{2}f\_2$ ist symmetrisch zur y-Achse

Berechne diesen Wert von $kk$

Gegeben ist $f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^{2}f\_\{k\}(x)=x^\{4\}+(2-k)\; \backslash cdot\; x^\{3\}-k\; \backslash cdot\; x^\{2\}$.

Berechne die 1. und 2. Ableitung:

$f_k^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3+3\cdot (2-k)\cdot x^2-2kxf\_\{k\}\text{'}(x)=4x^\{3\}+3\backslash cdot\; (2-k)\; \backslash cdot\; x^\{2\}-2k\; x$

$f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x^2+2\cdot 3\cdot (2-k)\cdot x-2kf\_\{k\}\text{'}\text{'}(x)=12x^\{2\}+2\backslash cdot\; 3\backslash cdot\; (2-k)\; \backslash cdot\; x-2k$

Bekannt ist: Es gibt einen Wert von $kk$, für den $x=1x=1$ eine Wendestelle von $f_{k}f\_\{k\}$ ist.

Demnach muss $f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=0f\_\{k\}\text{'}\text{'}(1)=0$ sein.

$\Rightarrow f_k^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=12+6\cdot (2-k)-2k=0\Rightarrow 24-6k-2k=0\Rightarrow 24-8k=0\backslash Rightarrow\backslash ;f\_\{k\}\text{'}\text{'}(1)=12+6\backslash cdot\; (2-k)\; -2k=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;24-6k-2k=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;24-8k=0$

$\Rightarrow k=3\backslash Rightarrow\backslash ;k=3$

Der Wert von $kk$ ist gleich $33$.