Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m<0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen

Gegeben: $f(x)=x^2$, $y=m\cdot x$ mit $m<0$ und $A=36$

Berechne die Schnittpunkte:

Setze $f(x)=y$:

$x^2=m\cdot x$

Wende den Satz vom Nullprodukt an:

$x=0\vee x=m$

Für $m<0$ und $m<x<0$ verläuft die Gerade oberhalb des Graphen von $f$.

Berechnung der eingeschlossenen Fläche für $m<0$ :

$${\displaystyle {\int }_m^0(m\cdot x-x^2)\mathrm{d}x={[\frac{1}{2}m\cdot x^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_m^0=-(\frac{1}{2}{m}^3-\frac{1}{3}{m}^3)=-\frac{1}{6}{m}^3}$$

Bestimmung der gesuchten Zahl $m:-\frac{1}{6}{m}^3=36\iff m=-6$.

Der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=-6\cdot x$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $36$ ein.